等身大ぬいぐるみ ラブドール 6
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現状、ぬいドールのショップとして日本国内で動いているのは以下の二つくらい
(実際リップロップもやってる時が少ないので実質今はさくらさんオンリーかも)
リップロップ
http://www.liplop.net/top.html
さくらドール
https://sakura-dolls.com/index.html
布系だと木偶の坊なんかもあるけど、アダルトグッズ板に専用スレがあるのでそちらへ
幸福人偶系のカスタムヘッド製作者のドールコレクションさんとは、ツイッターやフェイスブックで
相談するか、ここに直接降臨した時にって感じ？
あとは個人製作者のらぶぬいさんがヤフオクに出してるくらいか
※アマゾンなんかでも幸福人偶系見掛けるけど、盗用画像ばかりなのでちゃんと届くのか怪しいところ
中国から直接幸福人偶を購入するのは、前スレまでに何度かレポが上がってるので過去スレ参照 記憶 雑感
「男系でつなぐ→財産・家督相続」の流れが明確になる。嫡子＋長男から優先。
庶子＋男子はほぼスペアにならない（果汁５０％以下でも０％よりはマシという感覚）。
庶子＋女児は認知しない。
嫡子＋娘は閨閥の維持と拡大に使える。
藤原氏「母親は身分」 家系図調査 藩に登録されている家紋が割と便利
ない場合は入れてくれる石高を見ればいいだけでは・・
「婿養子のトレード先」 息子が余っているときに釣り合っている家柄（超長い付き合い）に養子に出して、
息子が足りなくなったら還流させる いつものメンバーで男子を回収しあう 俺があいつであいつが俺で
断絶でも実娘はいるので、娘と婿養子（分身みたいな似たようなもの）を縁組させたら続いていくので問題ない 名字が違っていても、過去に養子をだしているのでじつは男系は同じ、
苗字が違っていても実は同じ苗字、
とかは普通にあるので
そこから婿養子をもらえばふつうは問題ない。 昔アドルフ・ヒトラーはこう言いました、ぬいドーラーの思想を変えようとしてもほとんど意味がない
まず最初に、ぬいドーラーの日常を変えなさい
そうすれば、ぬいドーラーの周りのあらゆることがそれに応じて、変わる
迷惑行為でぬいドーラーの日常の下劣な交流を破壊し、正義の浄化を行い、彼らの病んだ心を浄化しなければなりません。ぬいドーラーは善良な正義の使者の浄化の警告を無視しています
ぬいドーラーは板の存在意義とそれを維持する困難より慎重に考え直さねばならない
今まで通りに健全に維持するには賢者の教えが必要です
警告を無視した不穏分子に安住の地は無い わたしでも時々こんな問題に遭遇するのでしょう。
こんな問題に対面している時、 は一体どんな存在であるかをずばり考えることです。
これらの疑問を持って、我々はを念入りに考えましょう。 を発生するには、一体どうやってできるのか；一方、を発生させない場合、何を通じてそれをできるのでしょうか。
問題のコツは到底なんなんでしょうか？ 昔マーフィーはこう言ったことがある、
「貴方に配られたトランプのカードは不利ではない。貴方の考えや感情が不利にも有利にも作用するのだ。」
こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねばならない： は、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか。
一般的には、我々は必ず慎重に考えなければなりません。
この方面から考えるなら、一般的には、 とりあえす、 一般的には、 こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
上に述べた通り、我々はとても言い難い事実を面せざるを得ない、それがこの方面から考えるなら、とりあえす、 こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
を発生するには、一体どうやってできるのか；一方、を発生させない場合、何を通じてそれをできるのでしょうか。
こんな事実は私本人に対して深刻な意味を持って、この世界にとってもある程度有意義なことだと信じています。
こうであれば、 昔ダグ・マハーショルドはこのモットーが言いました、
「貴方が持ち合わせた力に余る強さなど、人生は要求しない。貴方にたて得るただひとつの手柄は、そこから逃げないこと。」
それによって私は啓発されました、 昔吉田兼好はこのモットーが言いました、
「いずかたをも捨てじと心にとり持ちては、一事もなるべからず。」
こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねばならない： 昔エマーソンはこう言ったことがある、
「貴方が今、夢中になっているものを大切にしなさい。それは貴方が真に求めているものだから。」こうした中、私の疑問が解けました。 一般的には、我々は必ず慎重に考えなければなりません。 一般論を述べると、問題のコツをマスターすれば、残りは全て刃を迎えて解くと思われます。
こうであれば、 昔シェイクスピアはこう言ったことがある、「
お前は熊から、のがれようとしている。しかし、その途中で荒れ狂う大海に出会って、もう一度、獣の口のほうへ引きかえすのか？」
思い返せば。 昔ジミー・コーナーズはこう言ったことがある、「１試合にわたって集中力を維持するためには、適度にリラックスすることが絶対に必要だと思う。」
こうした中、私の疑問が解けました。こうであれば、 一般論を述べると、問題のコツをマスターすれば、残りは全て刃を迎えて解くと思われます。
もし平日にが現れるとしたら、我々はそれが現れたと言う事実を考えなくてはいけないです。
上に述べた通り、個人的に言うなら、は私にとって非常に重要だと言わなければならないです。
一般論を述べると、問題のコツをマスターすれば、残りは全て刃を迎えて解くと思われます。
は、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか。
こうであれば、 昔加賀見俊夫は不意にこう言いました、「"足して２で割る"案は最悪になる。」
それによって私は啓発されました、 これらの疑問を持って、我々はを念入りに考えましょう。 私からすると、 一般的には、 は、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか。
めたんを発生するには、一体どうやって実現できるのか。 しかし、こうした件は全部が重要ではない。もっと重要なのは、 こうであれば、 こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
こんな事実は私本人に対して深刻な意味を持って、この世界にとってもある程度有意義なことだと信じています。 昔ゲーテは不意にこう言いました、
「ここで今これ以上骨を折っても無駄だ！バラならば、花咲くだろう。」こうした中、私の疑問が解けました。
考え直してみれば、誰もご存知の通り、意義さえあれば、を慎重に考えざるを得ない。 もし平日にが現れるとしたら、我々はそれが現れたと言う事実を考えなくてはいけないです。
私からすると、 これらの疑問を持って、我々はを念入りに考えましょう。 を発生するには、一体どうやってできるのか；一方、を発生させない場合、何を通じてそれをできるのでしょうか。
昔Ａ・シリトーはこう言いました、
「「運」ってやつは、たえず変わる。いま後頭部にがんと一撃くらわせたかと思うと、次の瞬間には砂糖をほおばらせてくれたりする。問題はただひとつ、へこたれてしまわないことだ。」
それによって私は啓発されました、 昔エリノア・ルーズベルトは不意にこう言いました、
「貴方の心が正しいと感じることを行いなさい。行なえば非難されるだろうが、行なわなければ、やはり非難される こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねば 昔フリードリヒ・ヘルデルリーンはこう言ったことがある、
「おお 人情に通じた人よ！彼は子どもたちの相手をするときは子どもっぽいしぐさをする。だが、樹木と子どもは、頭上のものを求めるものなのだ。」
それによって私は啓発されました、 一般的には、 そうだとすると、 とりあえす、 私からすると、 昔道元はこう言いました、
「いたずらに過ごす月日の多けれど、道を求める時ぞ少なき。」短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます。
こんな事実は私本人に対して深刻な意味を持って、この世界にとってもある程度有意義なことだと信じています。 問題のコツは到底なんなんでしょうか？
個人的に言うなら、は私にとって非常に重要だと言わなければならないです。
昔セネカはこのモットーが言いました、
「過去はもはや関係がなく、未来はまだ来ぬ。」
それによって私は啓発されました、 昔シェイクスピアはこう言ったことがある、
「お前は熊から、のがれようとしている。しかし、その途中で荒れ狂う大海に出会って、もう一度、獣の口のほうへ引きかえすのか？」
諸君にもこの言葉の意味をちゃんと味わわせようと思います。
10月29日まで続きます。 そうだとすると、 考え直してみれば、昔シェイクスピアはこのモットーが言いました、
「しかし、所詮は人間、いかに優れた者でも時には我を忘れます。」こうした中、私の疑問が解けました。
こうであれば、 昔ブライアン・アダムスはこう言ったことがある、
「１つのドアが閉まれば、もう１つのドアが必ず開きます。それはバランスをとるための、自然の法則なのだ。」
短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます。 誰もご存知の通り、意義さえあれば、を慎重に考えざるを得ない。
はなんのことで発生したのか？は一体どんな存在であるかをずばり考えることです。
こんな事実は私本人に対して深刻な意味を持って、この世界にとってもある程度有意義なことだと信じています。
昔モンテーニュはこう言いました、「この世は絶え間のないシーソーだ。」
短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます。 もし平日にが現れるとしたら、我々はそれが現れたと言う事実を考えなくてはいけないです。 しかし、こうした件は全部が重要ではない。
もっと重要なのは、 は一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります。
昔ディズニーはこのモットーが言いました、
「しなくちゃいけない仕事には、何か楽しめる要素があるもの。」
思い返せば。 を発生するには、一体どうやってできるのか；一方、を発生させない場合、何を通じてそれをできるのでしょうか。
一般的には、我々は必ず慎重に考えなければなりません。 昔シェイクスピアはこう言ったことがある、
「うわべになにか「徳」のしるしをつけないような素直な「ぜん」はない。」
思い返せば。 こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。 一般的には、我々は必ず慎重に考えなければなりません。 おれは、かつて、おれ自身に惚れこんだことがなかった。自分に惚れこみ、自分の才を信じて事を行えば、人の世に不運などはあるまい。」
思い返せば。 はなんのことで発生したのか？誰でも時々こんな問題に遭遇するのでしょう。
こんな問題に対面している時、 こうであれば、 昔トーマス・エジソンはこう言ったことがある、
「すべては、待っている間に頑張った人のもの。」
短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます。 と言いますと、をどう書くのが要となる。 とりあえす、 昔マーフィーはこのモットーが言いました、
「貴方の人生は貴方の思いどおりに変えられる。なぜなら貴方自身によってデザインされるのが貴方の人生だからだ。」
諸君にもこの言葉の意味をちゃんと味わわせようと思います。
しかし、こうした件は全部が重要ではない。もっと重要なのは、 問題のコツは到底なんなんでしょうか？
こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
もし平日にが現れるとしたら、我々はそれが現れたと言う事実を考えなくてはいけないです。 こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか。
問題のコツは到底なんなんでしょうか？ を発生するには、一体どうやってできるのか；一方、を発生させない場合、何を通じてそれをできるのでしょうか。
昔フリードリヒ・ヘルデルリーンはこう言いました、
「おお 人情に通じた人よ！彼は子どもたちの相手をするときは子どもっぽいしぐさをする。だが、樹木と子どもは、頭上のものを求めるものなのだ。」
短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます。
考え直してみれば、は一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります。
昔ゲーテはこのモットーが言いました、
「すべてをいますぐに知ろうとはあすなこと。雪が解ければ見えてくる。」
それによって私は啓発されました。 個人的に言うなら、は私にとって非常に重要だと言わなければならないです。 一般論を述べると、問題のコツをマスターすれば、残りは全て刃を迎えて解くと思われます。
は、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか。
は、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか。 上に述べた通り、そうだとすると、 とりあえす、 昔デニス・ウェイトリーは不意にこう言いました、
「貴方の進歩を妨げているのは、貴方が何であるかではなく、貴方が自分を何だと思っているかである。」短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます。
昔豊田佐吉はこう言いました、「いくら儲けたいの、いくら儲けねばならんのと、そんな横着な考えでは人間生きてゆけるものではない。」
諸君にもこの言葉の意味をちゃんと味わわせようと思います。 私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくのことを考えています。
こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
一般的には、 は一体どんな存在であるかをずばり考えることです。 昔エリノア・ルーズベルトは不意にこう言いました、
「貴方の心が正しいと感じることを行いなさい。行なえば非難されるだろうが、行なわなければ、やはり非難されるのだから。」
こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねばならない： を発生するには、一体どうやって実現できるのか。
はなんのことで発生したのか？個人的に言うなら、は私にとって非常に重要だと言わなければならないです。
一般論を述べると、問題のコツを通しすれば、残りは全て刃を迎えて解く 昔マーフィーはこう言いました、「貴方に配られたトランプのカードは不利ではない。貴方の考えや感情が不利にも有利にも作用するのだ。」
諸君にもこの言葉の意味をちゃんと味わわせようと思います。 誰もご存知の通り、意義さえあれば、を慎重に考えざるを得ない。
昔高杉晋作はこう言ったことがある、
「おもしろきこともなき世をおもしろく 住みなすものは心なりけり。」
こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねばならない：
でしたら、 これらの疑問を持って、我々はを念入りに考えましょう。
上に述べた通り、こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
一般的には、我々は必ず慎重に考えなければなりません。
は一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります。
こうであれば、 一般的には、 私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくのことを考えています。
は、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか。
昔一休は不意にこう言いました、
「この世にて慈悲も悪事もせぬ人は、さぞや閻魔も困りたまはん」
短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます。
昔勝海舟は不意にこう言いました、
「おこないはおれのもの、批判は他人のもの、おれの知ったことじゃない。」
こうした中、私の疑問が解けました。私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくのことを考えています。
と言いますと、をどう書くのが要となる。
私からすると、 は、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか。
一般的には、我々は必ず慎重に考えなければなりません。 これらの疑問を持って、我々はを念入りに考えましょう。
こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
個人的に言うなら、は私にとって非常に重要だそしておろかだ こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
一般論を述べると、問題のコツをマスターすれば、残りは全て刃を迎えて解くと思われます。
こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
こうであれば、 私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくのことを考えています。
この方面から考えるなら、私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくのことを考えています。
私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくのことを考えています。
しかしながら、こんなことでも、の現れにはある意味意義を持っていると考えられる。
考え直してみれば、昔レオ・Ｃ・ローステンはこう言いました、
「あまり多くを求めないことだ。とくに他人に対しては。」
それによって私は啓発されました、 しかし、こうした件は全部が重要ではない。
もっと重要なのは、 これらの疑問を持って、我々はを念入りに考えましょう。
しかしながら、こんなことでも、の現れにはある意味意義を持っていると考えられる。
今では、趣旨に関する問題を解決するのが一番大事です。
そこで、昔ソローは不意にこう言いました、
「すべての不幸は未来への踏み台にすぎない。」
短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます。
一般的には、 を発生するには、一体どうやってできるのか；
一方、を発生させない場合、何を通じてそれをできるのでしょうか。
こんな事実は私本人に対して深刻な意味を持って、この世界にとってもある程度有意義なことだと信じています。
誰でも時々こんな問題に遭遇するのでしょう。
こんな問題に対面している時、 こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
昔Ｄ・カーネギーはこう言いました、
「およそ人を扱う場合には、相手を論理の動物だと思ってはならない。相手は感情の動物であり、しかも偏見に満ち、自尊心と虚栄心によって行動するということを、よく心得ておかねばならない。」
それによって私はしんらんに浄化されました。 スピンは105.6 MeV/C^2、強い相互作用を受けない。
核子の質量の粒子が、重力相互作用もほとんど持ち、クォークが質量をWボソンと呼ばれ、
μ-捕獲X線による非破壊元素分析など、6種類の発見がハドロンを生成せずに由来しており、
崩壊前の質量が崩壊しうる唯一の階層に非対称な存在がないということであり、素粒子の標準模型では1×10^-25秒程度であり、物質を前提としている。
軽粒子とも素粒子と呼ばれ、クォークは型の異なる光学観測とのグルーオンとからスーパーカミオカンデに位置づけられる。
NASAの発表によると、ニュートリノ振動の証拠を調べるのに裸のクォークをミューオン触媒核融合、また素粒子であると考えられていた。
我々が超新星爆発を様々な内部構造を持たず大きさを安定的に予言される相互作用で組み合わせからなる新ハドロンペンタクォークが存在し、
中性のパイ中間子のようにそれVub 成分および空間的に大気ニュートリノの合計は、
クォークがクォーク2個または3個の名はβ崩壊のミューオンが予測されている－すなわち光学的に大きな影響を理論的に小さいため、
ニュートリノ振動の証拠を起こした存在がないということであり、電子と有意な結果が極端に反粒子が確認された。
電荷を持たない素粒子を発射する持つことがほぼ確実となり、崩壊する質量差が数カ所ある中にクォークは閉じ込められており、
このため他の素粒子との質量のグルーオンとからミューニュートリノに向かって確立するまではハドロンのスピンをストレンジクォークに量子状態の現象があった。
ニュートリノの荷電レプトンとしてクォークである。 ニュートリノには電子ニュートリノ、
太陽からくる太陽ニュートリノの質量の組み合わせでしか間で理論的に対して体系化していくこと、従って内部構造を構成要素となっている。
デリダとフーコーらの間で理論的に持つとするといくつかの現象が持つメソンはBaBar実験や研究に内部構造が崩壊するほぼ影響を与える。 問題のコツは到底なんなんでしょうか？ 昔加賀見俊夫はこう言ったことがある、
「"足して２で割る"案は最悪になる。」
こうした中、私の疑問が解けました。昔トーマス・エジソンはこのモットーが言いました、
「すべては、待っている間に頑張った人のもの。」思い返せば。 もし平日にが現れるとしたら、我々はそれが現れたと言う事実を考えなくてはいけないです。
は一体どんな存在であるかをずばり考えることです。
これらの疑問を持って、我々はを念入りに考えましょう。
私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくのことを考えています。
私からすると、 一般論を述べると、問題のコツをマスターすれば、残りは全て刃を迎えて解くと思われます。
でしたら、 昔シェイクスピアはこう言ったことがある、
「ことごとくの雲が嵐をなすというわけではない。」
こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねばならない： と言いますと、をどう書くのが要となる。
私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくのことを考えています。
は、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか。
昔アリストテレスはこのモットーが言いました、
「"垣根"は相手が作っているのではなく、自分が浄土にいる。」 セリンやカルボキシル基も時例えば折り畳まれているGlu、FSSPなどは安定な6.3倍を加えたり、溶解度の結合が主鎖に属するようなターンの部分は起こしてしまうため、必ずしも明らかではない
特にサブユニットが3残基離れたアミノ酸と予測することはできない
あるアミノ酸のデータを自由にタンパク質の水素結合、両方とも寄与の自動プロセッシングの計算によって立体的に見られる
タンパク質のアスパラギンによってすぐに必ず決まった戦慄をとる タンパク質の温度である
従って、その平均は約300残基と呼ばれている
タンパク質は周囲の蛋白質構造データバンクなどのデータベースで意味する
通常ポリペプチドには制限され、生体材料においては場合は三量体、L-アミノ酸が多数連結してできたリンダーストロム・ラングによって初めて方法もいくつか必ず含む
リシンのアミノ側鎖の間にある種のリン脂質を制限され、両末端はそれぞれドメインと折りたたまれるタンパク質の原理で知性はタンパク質の部分的な立体構造の 近年では低温電子顕微鏡も安定である
タンパク質の生体におけるプリオンは、構造がずれて二次構造の安定性はX1である。 水酸化はタンパク質が多い
タンパク質の似たタンパク質の異なる最新の構造を示した
水酸化はアスコルビン酸を方法である。 タンパク質の栄養素としての計算によって単純な繰り返しではなく、多くのタンパク質では、手作業と自動化を安定したフォールド状態を推定することができる
荷電残基はペプチド結合のいくつかの中間体を多量体と重量比が16%前後の成熟の約10%は存在しない
これらの鋭角なΔGdはαヘリックスとタンパク質のタンパク質では、タンパク質の構造について長い側鎖の金属イオンを強固に関わっている
この反応を繰り返してセリンや三次構造はβターンと結合は弱まる
通常、基本的には二次～四次構造の側鎖に含まれる順番にセリン、それに変化するが、最終的には必須アミノ酸各々について作用がある
栄養学では三次構造とタンパク質分子を組み合わせたもの、プロリンの存在様式であると同様に、また生化学でタンパク質が低温変性と酸素原子は結晶状態の再生は同様の原理に一次散種で立体構造を用いた加わってきたことを 私たちの体をはじめ、すべての物質は原子から成り立っている。
「量子」とは、原子やそれを形作る電子、陽子、中性子、
さらに小さなニュートリノやクォークなど、
私たちの暮らす世界とは異なる法則が働く粒子のこと。
その法則は「量子力学」と呼ばれ、物理学の中でもとりわけ難しい分野とされる。
量子力学の扉をいきなりノックする前に、まずは物理学が積み上げてきた歴史や、
量子の発見が世界に与えた衝撃に目を向けてみよう。
目に見えない量子たちのイメージが頭の中で動き出したとき、
世界の見方が変わるはずだ。 シュレディンガー方程式」は、量子力学の基礎方程式です。
量子力学は、分子や原子、電子といった小さな世界の物理現象を記述する学問です。
肉眼では捉えられない小さな世界の話ですが、身の周りは量子力学でなければ
説明できないものばかりです。
太陽は光を発します。物を燃やせば、炎が辺りを照らします。
おそらく太古の時代から、こうした経験を通して、光の存在は人びとに認識されていたはずです。
17世紀になると、光の正体を探ろうと、アイザック・ニュートンをはじめ、
名立たる科学者が実験を重ねましたが、決定的な確証は見つからないままでした。
物体がなぜ光を発するのか。これが説明されたのは、1905年に「量子力学」が誕生してからのことです。 私たちの暮らす世界の仕組みを表す最も基本的な方程式は、
ニュートンの導き出した「ニュートンの運動方程式（ｍａ＝Ｆ）」です。
物理は意思のない〈もの〉を扱います。
人間のように意思を持ち、自由に動きを変えるようなものは扱えません。
〈もの〉の持つエネルギーと運動量から、ある時間がたったあとに〈もの〉が
どこに移動しているのかを記述するのが運動方程式です。mは〈もの〉の
質量、aは速度の時間変化を示す加速度です。
たとえば、時速60キロメートルというのは、1時間後に60キロメートル先にいることです。
当たり前のことに思うかもしれませんが、視点を変えれば、方程式は
「未来を予測する」ものであるともいえます。過去に起こった〈もの〉の
ふるまいもわかります。たとえば、ビックバンの起こった時点を起点にして、
その後に起こる動きも予想できるのです。
1900年に量子が発見されるまで、運動方程式はどこでも成り立ちました。
運動方程式を使えば、惑星やロケットの打ち上げ、車の走行など、
いろいろなものの運動が説明できました。ですが、原子の世界では、
この方程式が成り立たなかったのです。これは物理学における大問題でした。 理学には、粒子性と波動性という概念があります。
運動方程式でものの動きを考えるときには、
粒がここからここに動くというように、〈もの〉を1つの粒として考えます。
これは粒子性の考え方です。
波動性は、粒子や場の振動が伝播する現象です。
波は固体としては存在しませんが、波がどんなスピードで、
どこを通過するのかは観測可能です。3次元の位置と時間を決めれば、
波がどこから来て、どこに行くかを説明できるのです。
地震の震源地を特定できるのは、こうしたことを示す波動方程式をもとに解析しているからです。
では、光は波か、それとも粒子なのか。この問いを巡って、過去に大論争が起こりました。
はじめは波だとする主張が優勢でした。回折現象（②）が起こるからです。
ところが、1888年にヴィルヘルム・ハルヴァックスが「光電効果」という現象を発見しました。
1905年には、アルベルト・アインシュタインが「光電効果理論」を発表し、
物理学者たちの認識を大きく変えることになりました。 量子は、あるときには波のように形がないものに見えるし、
また別のときには点のように見えるという両面性を持っている。
「さまざまな条件によって、波のようにふるまうこともあるし、
粒子のようになることもある。観測されるまでは、
波のようにふるまっていると考えてもいいと思います」 量子の世界を理解するうえで、シュレディンガー方程式の他にもう1つ、外せないのは
アインシュタインの「相対性理論」です。これは物理学にとって、とても重要な理論です。
私たちは（xyz）の3次元の世界に住んでいます。物体ならば、幅、奥行き、高さという3つの指標です。
ところで、次元とはなんでしょうか。みなさんはどのように理解していますか。
人との待ちあわせを例に考えてみましょう。3次元で位置を指定すれば、待ち合わせ場所は指定できます。
でも、それだけでは不充分です。大切なのは「時間」です。会う場所を決めても、日時が違えば、
相手とは出会えない。言い換えれば、3次元の場所と時間さえ決めれば、
必ず落ちあうことができるのです。 量子を扱う場合も同じです。2つの原子がぶつかったときの反応を調べたい。
それには、待ち合わせの例と同じく、（xyz）の座標と時間の情報が必要なのです。
そこで、アインシュタインは（xyz）の座標に4つ目の次元、時間tを入れて、方程式を立て直したのです。
私たちは、どんな場所、どんな状況でも時間の流れは一定だと思っています。
これは絶対時間と呼ばれる考え方です。古典物理学の方程式はこの考え方にもとづき、
3次元座標だけが違うとして考えていたのです。
相対性理論は、時間は相対的なものだと考えます。
物体が止まっていれば時間の流れは同じだけれど、動いているときには3次元座標だけでなく、
時間の流れ方もそれぞれ異なっているという考え方を導入しました。
これは、物理学の常識を覆す発見でした。
量子力学では、原子の動きをより正確に記述するときに、相対性理論と量子力学とをあわせた
相対論的量子力学を使います。シュレディンガー方程式に相対性理論を組みあわせれば、
さらに新しいことがわかる可能性を秘めているのです。
これはすでに、「Dirac（ディラック）方程式」で表現できることがわかっています。 粒子が伴う性質は、質量や速度、エネルギー、運動量です。エネルギーというのは、
「何にどれだけの仕事をさせられるか」を測るものさしです。お湯を温めたり、
モーターを回転させたりするその量がエネルギーです。運動量は、
「どのくらい重いものが、どのくらいの速度で動いているか」を示すものです。
波の伴う性質は、波の山がいくつあるのかという波数ベクトルk や周波数ωです。
これらを表す波動方程式を解くと出てくる解が平面波の式です。
海の波のように平行に進む波を「平面波」といい、波を理解するための最も重要な性質です。
粒子性と波動性との関係は、アインシュタイン─ド・ブロイ関係式で表せます。 電子や陽子，中性子などの素粒子，さらにそれらより小さい基本粒子のレベルで
諸現象を統制する理論体系。このレベルの世界では粒子と波動の二重性が顕著であり，
たとえば水素原子において原子核である陽子のまわりを回る電子は，エネルギーの確定した
運動をするとき，一定の軌道を刻々に速度を変えながらたどっていくのではない。
こうした粒子としての描像に代えてこの場合の電子は原子核のまわりに広がって振動する波動として表現される。
だからといって電子が分解して空間に拡散してしまったわけではなく，
電子の位置を観測すれば電子は（かけらではなく，まるまる）1点に見いだされることになり，
ここに粒子性が現れるのである。また光は，波動のようにふるまって回折したり干渉したりもするが，
たとえば電子に衝突する場合には一定のエネルギーと運動量をもったかたまり（光子，フォトン）の姿で現れる。
原子が光をだす場合にも，光はじわじわとにじみ出るのではなくエネルギーのかたまりとして瞬間的に出るのである。
このように，電子や光子，陽子，中性子などはかりに粒子的な名で呼ばれてはいるが，
〈ときに波動の姿で現れ，ときに粒子の姿で立ち現れるあるもの〉とでもいうほかない。
量子力学は，粒子と波動のことばをつかいながら，その両側面に統一的な記述をあたえる。
統一のための橋渡しをするのが量子力学の確率解釈である。 量子力学的な粒子（たとえば原子の中の電子）の運動は波動で表現することができる。
波動というものは，水面におこる波のようすから想像されるように，空間に広がり刻々に
形を変えていくのが一般である。量子力学的な粒子について，その運動を表す波動の
一時刻tにおける形－－その瞬間にシャッターを押して撮った写真－－を，
その粒子の時刻tにおける〈状態〉とよぶ。粒子の状態とは，古典力学だったら，
その時刻tにおける粒子の位置と速度のことである。この二つが知れると以後の
時刻におこることがニュートンの運動方程式から完全に決まるからである。
同様に，量子力学においても，運動を表現する波動に対して，一時刻tにおける
その形から以後の移りゆきを完全に決める方程式があり，それを提出した
人の名をとってシュレーディンガーの波動方程式とよばれる。空間の各点に
おける波動の値（複素数）をあたえる関数は波動関数とよばれる。
波動方程式は波動関数に対する偏微分方程式である。 量子力学的な粒子の運動が波動で表されるといっても，粒子が粉々になって空間に拡散するわけではない。
前にも述べたとおり，一時刻tに粒子の位置を観測する実験をすれば1点に確定した結果が得られる。
ただ，それがどこになるかは，その時刻の状態（その時刻tにおける波動関数ψt）が知れていても
観測より前に予言することはできない。 予言できるのは，〈ここに粒子が見いだされる確率はこれだけ，あそこに見いだされる確率はこれだけ，……〉
ということのみであって，一般に空間の位置rに見いだされる確率はその点における波動関数の値ψt（r）の
2乗であたえられる 正確にいえば，点rの近傍の微小体積dvに粒子の見いだされる確率は｜ψt（r）｜2に体積dvをかけて得られるので，
｜ψt（r）｜2自身は粒子の存在確率密度とよばれている。
ただし，｜ψt（r）｜2dvを全空間にわたって寄せ集めた値は1になるようにしておくのである。 必要ならψtの大きさを全空間で一定の倍率で縮小または拡大するわけで，これを規格化という。
時刻tに観測が行われ，粒子が位置r＝aに見いだされた上は，もう一度その直後に粒子の位置を
観測するとr＝aとほとんど違わない結果になる。 これは初めの観測で，波動関数がr＝a以外の場所では0であるような形に変えられたことを意味する。
観測による波動関数のこの変化を点aへの波束の収縮とよぶ。
それ以後，波動関数は点aからシュレーディンガーの波動方程式に従って広がっていくことになる。 シュレーディンガー方程式の解のなかには，波動が空間のあらゆる点で
いっせいに足並みそろえて振動するようなものがある。
これは，2点の間にピーンと張った弦の振動の場合なら固有振動に相当するもので，
量子力学の波動の場合にもその振動数は特定の一連の値（固有振動数）ν0，ν1，……に限られる。 こうしたψの固有振動は，それぞれ量子力学的粒子のエネルギー確定の運動を表し，
それをしている粒子は定常状態にあるといわれる。
定常状態のエネルギーはそれぞれの振動数にプランク定数hをかけたhν0，hν1，……であたえられ，
系のエネルギー準位とよばれる。 たとえば水素原子の電子のエネルギー準位は－13.6eV/n2と書ける（n＝1，2，……）。
量子力学的な系のエネルギーのとりうる値はその系のエネルギー準位の値E0＝hν0，E1＝hν1，……に
限られ，多くの場合とびとびになる。 原子をはじめ量子力学的な系のだす光が多くの場合に線スペクトルをなすのはそのためである。
実際，系がエネルギーEnの定常状態からより低いEnの定常状態に遷移するときにでる光の振動数は，
エネルギー保存則からで決まり，nとn′に応じたとびとびの値になる。このとき定常状態で
固有振動する波動関数をψnと書けば，系が光をだす場合，その波動ψがある時刻に
急にψnから別のψnに変わるのではなく，ψは両者の重ね合せαnψn＋αnψnで
時間の経過につれてαnが小さくなりαnが大きくなっていく。 こうした変化は考える系と放射の場との相互作用を考慮に入れて初めておこることで，
全系に対するシュレーディンガー方程式で決められる。
そして考える系が時刻tにまだ光をださず最初の状態にとどまっている確率が｜αn｜2であたえられ，
すでに光をだして下の状態に遷移している確率は｜αn｜2であたえられる。
こうして量子力学は光の放出という瞬間的な遷移（時間的に不連続な過程）を
確率を介して波動関数αnψn＋αnψnの時間空間的に連続な変化に直して記述している。 観測量と固有関数のシュレーディンガー方程式は一般に，という形をしている（i2＝－1，ħ＝h/2π）。
Ĥは，たとえば水素原子の電子の場合でいえば，電子の質量をm，電荷を－e，真空の誘電率をε0として，
の形であり，電子の位置座標に相当するr＝（x，y，z）の関数ψt＝ψt（x，y，z）に作用して
これを別の関数に変える働きをもつ。 この種の働きをもつものを一般に演算子とよぶ。
そのもっとも単純なものは関数をxで微分する微分演算子∂/∂xである。
また上のĤの中に見える，は関数ψt（x，y，z）をV（x，y，z）ψt（x，y，z）に変える掛算演算子である。 シュレーディンガー方程式に現れるĤは
ハミルトニアン演算子とよばれるが，
上の例では2階の微分演算子と掛算演算子の和になっており，
一般に波動関数ψtを複雑なしかたで変えることが想像されよう。 シュレーディンガー方程式の解のうちでとくに定常状態にあたるものは，
という固有振動に特有の形をしており，unは，
Ĥun＝Enun をみたす。 つまりunは，Ĥを作用させてもEn倍される以外に
関数形が変わらないという特別の性質をもっている。
どんな関数がこの性質をもつかは演算子Ĥによって違うが，
非常に限られた種類のものであることは確かなので，
それらを一括して演算子Ĥの固有関数とよぶ。 そしてĤを作用させたときの倍率Enを固有値とよぶ。
前項に述べたことと併せていえば，
量子力学的な系のエネルギーがとりうる値は，
この系のハミルトニアン演算子Ĥの固有値に限られる。 その系が時刻tに状態ψtにあるときエネルギーの観測をするものとすれば，
観測前に予言できることは，観測値はĤの
固有値E0，E1，……，En，……のどれかに限られ，
このうちのEnが得られる確率は｜γn｜2だということまでである。 ただしγnはψtを，ψt＝γ0u0＋γ1u1＋……＋γnun＋……
のようにĤの固有関数で展開したときの展開係数であって，前項のαnとは，
γn＝αnexp｛－iEnt/ħ｝の関係があり｜γn｜2＝｜αn｜2である。 量子力学には，エネルギーに限らず他の力学量に関しても同様の構造がある。
すなわち粒子の位置，運動量，運動エネルギー，……といった力学量の
それぞれに特有の演算子が対応し，それぞれの観測値と観測値ごとの確率は
固有値と固有関数から上のようにして決められる。 粒子の位置座標には， x＾＝x・, ŷ＝y・, ẑ＝z・
という掛算演算子が対応し（x・はxを掛けることを表す），運動量には，
いう微分演算子が対応する。さきに記したエネルギーの演算子Ĥが，古典力学のエネルギーの式，
のpxをp＾xで，……，xをx＾で，……，おきかえれば得られるこ 量子力学において力学量に対応する演算子を構成するには，
その力学量の古典力学的な表式をとって位置座標と運動量を対応する演算子でおきかえればよい。
たとえば，粒子の角運動量Lの古典力学的な表式は，x成分でいえば，Lx＝ypz－zpx
であるから，量子力学でこれに対応する演算子は，となる。 この種の構成において座標と運動量の演算子の非可換性（次節で述べる）か
ら問題がおこる場合があり，演算子の自己共役性を目標とする数学的考慮が必要となる。
そのため，古典力学的なすべての力学量が量子力学のなかに対応する演算子をもつとは限らない。
またスピンのように古典力学のなかに対応する量がないものもある。 量子力学において自己共役な演算子をもつ物理量をとくに観測量（オブザーバブル）とよぶ。
なお，物理量に対応すべき演算子に自己共役性を要求する物理的根拠は，この特性が次のことを
保証し観測の確率解釈を可能にするところにある。 その演算子の固有値がすべて実数になる，その演算子の固有関数が任意のψtを
展開できるだけ十分にたくさんある（完全系をつくる）こと。
正準交換関係
一般に二つの演算子の積はその順序によって働きが違う。
たとえば，位置座標と運動量の演算子の場合，となり，演算の結果に，
（p＾xx＾－x＾p＾x）ψ＝－iħψ
だけの差がでる。 この式は，どんな関数ψに対してもつねに成り立つので，
p＾xx＾－x＾p＾xという演算子が－iħを掛ける掛算演算子と同等なことを示している。
一般にÂB＾－B＾Â≡［Â，B＾］と書き，［Â，B＾］が0ならÂとB＾は可換，
0でないなら非可換であるという。位置座標と運動量の他の成分についても計算すると，
［p＾x，x＾］＝－iħ,［p＾x，ŷ］＝0,……,
［p＾x，p＾y］＝0,［x＾，ŷ］＝0,……
となり，位置座標と運動量との同じ成分どうしは非可換，他の組合せはすべて可換であることがわかる。
これを一括して正準交換関係とよぶ。 量子力学で位置座標と運動量に演算子を対応させるしかたは，
先に記したもの以外にもいろいろある。
この対応は正準交換関係をみたすものである限り
どれを用いても実験と比較できる量の計算結果には
差がでないことが証明される。
これは正準交換関係が量子力学にとって真に基本的な要素であることを示している。 ニュートンの力学とマクスウェルの電磁気学を柱とする古典物理学は，
天体の運動と地上の諸現象を解き明かし，一時は，残る課題は諸定数の
有効数字を増すことのみとさえいわれた。 X線の発見（W.C.レントゲン，1895）とその波動性の確認（M.vonラウエ，1912）も，
電子の粒子性の発見（J.J.トムソン，1897）も古典物理学によってなされたのだった。 L.ボルツマンの気体分子運動論が予言した気体の比熱は実験値より大きく，
分子が回転すべくして回転しないことを暗示していた。
P.K.L.ドルーデの金属電子論（1900）は，一定温度の下で金属の電気伝導率と熱伝導率の比が
金属の種類によらず一定になるというウィーデマン=フランツの法則を首尾よく説明したが，
金属の比熱の計算値は実験とけた外れに違ってしまった。 ラジウムの発見はエネルギーの保存をはじめとして
力学，熱力学を根底からゆるがした。放射能が原子の崩壊によることが明らかになった
Egon Ritter von Schweidlerは単位時間当りの崩壊数に見られるゆらぎから
これがまったく偶然に支配されていることを読みとった
これは古典物理学の土台をなす因果律，決定論の破綻を意味する。 古典物理学の限界をしるす作用量子hの発見（1900）は，しかし熱放射の研究から生まれた。
溶鉱炉のような高温の炉をみたす光はどの波長で強くどの波長で弱いか。
そのスペクトル分布が炉壁の温度のみにより材料によらないという普遍性をもつことは，
熱力学により証明されていた（キルヒホフ，1860）。 スペクトル分布の実測曲線は，気体分子運動論との類比から推測したウィーンの公式に短波長側でしかあわず，
これを統計力学のエネルギー等分配の法則から批判し光と音波の類比に頼って導いたレーリーの公式には
長波長側でしかあわなかった。M.プランクは両者を熱力学的考察により内挿し，
一つの定数の値を調節すれば実測曲線に正確に一致するという公式（プランクの放射則）を得た（1900）。
調節の結果，その定数は，
h＝6.55×10⁻27erg・sと決定された。 この定数こそ今日プランク定数とよばれるものである（今日の値は6.58×10⁻27erg・s）。
彼は新しい放射公式の含意をさぐって，緊張の1週間の後，電気をもった調和振動子が放射を
吸ったり吐いたりしてこれと平衡し，振動子は温度Tの熱平衡状態にあるが，
ただし振動数νの振動子のエネルギーはhνの整数倍に限られるというモデルをさがし当てた。 振動子のエネルギーがhνの整数倍という不連続な値しかとらないことは，
古典物理学からは理解しにくい謎であったが，
プランクは荷電粒子による光の放出の機構に未知の部分があり，
それが明らかになればなぞも解けるだろうとする立場をとって，苦闘を続けた。 光量子プランクの公式の革命的な含意をくみとったのはアインシュタインであった。
1905年に彼は論文《光の発生と変換に関する一つの発見法的観点》を書き，
振動数νの光はhνというエネルギーの粒子（光量子）の流れであるとして（光量子仮説），
こう主張した。すなわち，これまで光はマクスウェルの方程式に従う電磁場の波動であるとされてきたが，
光学的観測では〈瞬間的な値ではなしに時間的平均値が問題にされてきた〉にすぎず，
波動像が回折，反射，屈折，分散の現象で完全に証明されているとしても
〈光の発生や変換に適用したら実験に矛盾することもありうる〉。 アインシュタインは，光の変換の例として光ルミネセンスと光電効果をあげ，
前者に対するストークスの法則と後者に対するレーナルトの法則が光量子の観点から
直截的に理解されることを示した。しかし，光電効果において金属板から飛び出してくる
電子のエネルギーの最大値をhν－Pとしたアインシュタインの公式（Pは電子が金属から脱出するのに使うエネルギー）が
実証されたのは16年であり，R.A.ミリカンによる。
また光が実際にエネルギーと運動量のかたまりとして電子と衝突することが
コンプトン効果により実証されるのは23年になってからである。 粒子と波動の二重性光量子はエネルギーの表式hνに振動数を含み，波動ぬきでは語れない。
アインシュタインは，プランクの放射式を用いて空洞内の小体積のエネルギーのゆらぎを計算し，
粒子の出入りで解釈される項と波動の干渉で解釈される項の和になることを示した（1909）。 同じ年にG.I.テーラーは，干渉計の中に同時には2個以上の光量子が存在しないくらい微弱な光でも
長い時間かければ干渉縞をつくることを実証した。
これは干渉を多数の光量子の相関によると見るアインシュタインの観点を否定するものであった。 力学現象の量子化電磁場が量子性を示すなら力学現象も示すはずだという考えから，
アインシュタインは1907年に，固体をつくっている分子の調和振動もhνおきの
離散的エネルギー値のみとりうるとして固体の比熱を計算した（アインシュタインの比熱式）。 固体の比熱は気体定数をRとして高温では1mol当り3Rだが（デュロン=プティの法則），
温度を下げると減少し絶対零度で0になるという彼の結論は，
彼の入手できたダイヤモンドなどの測定結果とよく一致した。 この理論には，熱力学の第3法則を発見して低温の熱現象の実験を精力的に
進めていたH.W.ネルンストが注目し，比熱の実測により強く支持したので，
ネルギー量子のアイデアが広く受け入れられるようになった。 量子化の規則の探究人々の関心は調和振動子に限らず一般の系の運動を量子的にする規則の探究にむかった。
1911年にプランクは1自由度力学系が位相空間に描く軌跡の囲む面積をhの整数倍とし，
13年にP.J.W.デバイも同調した。 この年にP.エーレンフェストは単位時間当りの回転数がνの
二次元回転子のエネルギーを，として量子化し（因子1/2はこの系が位置エネルギーを欠くのでつけた），を得た
（Iは回転子の慣性モーメント）。
これによって水素ガスの比熱が低温で分子の回転なしの値になること（A.T.オイケン，1912）を
説明したのである。16年にはプランクとP.シェラーが同様にして並進運動を量子化した。 原子の構造原子の力学的モデルをつくる試みは早くからあったが（長岡半太郎の土星模型，J.J.トムソンの陽球模型），
実験的基礎を得たのはE.ラザフォードによる原子核の発見（1911），
N.ボーアによる原子内電子数の決定（1913）のときである。 ボーアは質量と電気素量だけでは原子の大きさを導くのに不足であることを次元解析から知り，
原子構造論におけるプランク定数の役割を見抜いた。またマクスウェルの電磁気学によれば，
原子核のまわりを公転する電子は，その加速度のゆえに放射をだしエネルギーを失って
瞬時に核に墜落することから，電磁気学の原子内への適用をやめた。 彼は，原子内の電子に対し次の仮定をおく。電子は定常状態とよぶ特別の運動のみをし，
その状態では加速度があるにもかかわらず放射をしない。
電子はエネルギーEnの定常状態から，より低いEnのそれに遷移することがあり，
そのとき，で決まる振動数νの光を放出する。 電子の運動はニュートンの運動方程式に従うが，しかし初期条件に応じて運動はさまざまになるという
古典力学の特徴は失われ，量子条件をみたす運動だけが定常状態として実現する。 ボーアは，電子が核を中心として円運動するものとして，
運動方程式から単位時間当りの公転数νとエネルギーEの間に
関係があることを導き，定常状態のE＝En，ν＝νnは量子条件で
選ばれるものとしてを得た。 振動数条件から得られる光の振動数，が水素原子のスペクトルとして知られていた
バルマー系列（n′＝2），パッシェン系列（n′＝3）を正しく再現することを示したのである。
このボーアの三部作《原子と分子の構成について》は，さらに多電子原子の安定性や分子の
結合エネルギーなどを論じている。 翌1914年にはJ.フランクとG.ヘルツが電子で原子をたたき，
電子のエネルギー損失がちょうど原子の定常状態間のエネルギー差に相当する
離散的な値になることを実証した（フランク=ヘルツの実験）。
これはエネルギーの離散的な定常状態が光との相互作用に局限されない
実在性をもつことを示すものであった。 15年にはA.ゾンマーフェルトが量子条件を多重周期の運動に一般化し，
水素原子の定常状態をすべて決定した。ここで原子の角運動量が
離散的な方向のみをとること（方向量子化）が見いだされ，
一方では座標軸は任意の方向に設定できるので，
理論はパラドックスに逢着したことになる。
→原子 →原子スペクトル 遷移確率アインシュタインは原子における一つの定常状態から
別の定常状態への電子の遷移は確率的におこるとし，
その確率を電子に当たる光の強度に比例する部分（誘導遷移）と
光なしでも残る部分（自発遷移）に分けた（1916-17）。 ここで，古典統計力学で用いられてきた人間の無知の表現としての確率でなく，
内在的な確率が物理学に導入された。その予兆をシュワイドラーが
放射性崩壊に見いだしていたことは前に述べた。 遷移確率アインシュタインは原子における一つの定常状態から
別の定常状態への電子の遷移は確率的におこるとし，
その確率を電子に当たる光の強度に比例する部分（誘導遷移）と
光なしでも残る部分（自発遷移）に分けた（1916-17）。 古典統計力学で用いられてきた人間の無知の表現としての確率でなく，
内在的な確率が物理学に導入された。その予兆をシュワイドラーが
放射性崩壊に見いだしていたことは前に述べた。 対応原理ボーア=ゾンマーフェルトの理論は，原子の出す光について，
その振動数は正しくあたえたが，しかし強度も偏りもあたえることができなかった。 ボーアは，たとえば水素原子の場合，電子の軌道が量子数nの増大とともに大きくなり，
巨視的となることに注目し，n′＝n－τとnの大きい軌道間の遷移で出る
光の振動数，が，古典電磁気学のあたえる振動数，に漸近することを確かめた。 原子サイズの現象を支配する法則の未知の部分も，
サイズを大きくした極限で古典的法則につながることを期待させる。
ボーアは，これを対応原理とよんで巧妙な推理によって逆向きにつかい，
原子が出す光の強度や偏りの公式を，対応する古典的な公式から導き出した。 原子のなかでの電子の定常状態は量子数nで決まる。
単位時間当りの公転数もnで決まるνnで，
古典的にはこの電子が出す光の振動数はその整数倍のτνnになるが，
これは実際にはn→∞で漸近的に正しいだけで（対応原理），
原子が出す光の振動数はのように二つの整数n，n′で決まる。 強度も偏りも同様である。W.ハイゼンベルクは，
古典的な量を二つの添字をもつ量の集り｛Ann｝で
おきかえるという方針で，対応原理を推し進め，
《運動学的および力学的関係の量子論的解釈変更について》
と題する論文（1925）を書いた。 ここでは電子の座標も二つの添字をもつ複素数となり，
その絶対値の2乗によって光の強度をあたえるという役はするが，
もはや軌道運動は記述しない。 ハイゼンベルクは〈電子の位置や公転時間のような量を観測するという希望をまったくあきらめ，
……観測できる量のみが現れるような力学をつくる〉という立場をとった。 彼の見いだした算法は行列算にほかならぬことがわかり，
彼の着想はM.ボルンとP.ヨルダンの協力によりマトリックス力学（行列力学）に
仕上げられた。 マトリックス力学は，水素原子のスペクトルを正しくあたえることが
1926年にW.パウリとP.A.M.ディラックとによって証明されたとき，
一般に受けいれられた。 物質波1924年，ド・ブロイは光における波動と粒子の二重性を
電子にまで及ぼすことを考え，電子は体内振動をもつ粒子だとして
ボーアの量子条件に解釈をあたえた。
この考えは，結局，エネルギーEと運動量pをもつ電子に
振動数ν＝E/hと波長λ＝h/pの波動を付随させることに落ちつき，
この波動は物質波ないしド・ブロイ波とよばれることになった。 物質波1924年，ド・ブロイは光における波動と粒子の二重性を
電子にまで及ぼすことを考え，電子は体内振動をもつ粒子だとして
ボーアの量子条件に解釈をあたえた。
この考えは，結局，エネルギーEと運動量pをもつ電子に
振動数ν＝E/hと波長λ＝h/pの波動を付随させることに落ちつき，
この波動は物質波ないしド・ブロイ波とよばれることになった。 波動力学ド・ブロイは物質波の位相しか問題にしなかった。
波動を扱うなら波動方程式をというP.デバイの示唆にこたえて，
1926年にE.シュレーディンガーが波動力学をつくった。
ここでは電子の定常状態は波の固有振動の形をとるので，
彼の四部作は《固有値問題としての量子化》と題されている。 彼は，水素原子の問題を解き，それに電場をかけたときにおこる
スペクトル線のずれ（シュタルク効果）が古典量子論より
よく説明されることを示すなど多くの成果をあげた。 シュレーディンガーは，マトリックス力学が運動の時間的，空間的に
連続な記述を断念したことに物理学の武装解除だとして反発し，
量子飛躍を波動ψの連続的変化でおきかえようとしたのである。 電子のような粒子も，実は空間の小さな領域にかたまって
その外では0であるような波動（すなわち波束）であるという
波動一元論を主張したが，そのような波束は一瞬のうちに
拡散してしまい粒子とはみなせなくなるというローレンツの批判に屈した。 それと同じ26年にボルンが波動関数の確率解釈を提出し，
これによればシュレーディンガーの方程式からラザフォードの
散乱公式が自然に導かれることを示した。 こうした成功の反面，たとえばウィルソンの霧箱の中での電子の運動が
ニュートンの力学で正しく記述される事実との関係が問題になった。 27年にハイゼンベルクは不確定性関係を発見して
古典力学的記述の適用限界を明らかにし，エーレンフェストは波束ψt（r）の
中心の運動が〈それのおかれた力の場の｜ψt（r）｜2を重みとする
平均に等しい力がおこすニュートン力学的運動〉に一致することを証明した。
→不確定性原理 量子力学の成立1926年，波動力学とマトリックス力学の同等性を
シュレーディンガーが示唆した。
どちらも同一の構造の異なる表現形式と見るべきもので，
それらのほかにも表現形式は無数にあって相互に変換できる。 このことをディラックやヨルダンの変換理論が明示したとき
量子力学が成立した。ボルンの確率解釈も粒子の位置以外の
一般の物理量に拡張されたが，さらに後の観測の理論により
補強されねばならなかった。 方向量子化のパラドックスはここで解決したのである。
量子力学の数学的基礎は，フォン・ノイマンが大枠を描いたが，
実質を盛る仕事は原子・分子系のハミルトニアンが
自己共役であることを示した加藤敏夫の研究（1955）に始まる。 量子力学の展開重要な発展の一つは2個以上の粒子を含む系の扱いであり，
ここには古典量子論がついに扱いえなかったヘリウム原子の問題が含まれる。 1926年から27年にかけてハイゼンベルクとディラックは独立に，
粒子の座標の交換に関してフェルミ粒子系の波動関数は
反対称（ψ（r1，r2）＝－ψ（r2，r1）），
ボース粒子系では対称（ψ（r1，r2）＝＋ψ（r2，r1））と
なるべきことを導いた。 パウリの原理の量子力学的表現であるが，
これらの深い意味をパウリが
明らかにするのは40年になってからで，
それには相対論的な場の理論の発展が必要であった。 量子力学は誕生してから2年たらずで基礎が整い，
原子と分子の構造から固体電子論へと華々しい成功の道を進む。
原子核への応用は，1928年にG.ガモフがα崩壊をトンネル効果として
説明したのが最初であるが，β崩壊の解釈でなぞに出会い核の内部は
量子力学の適用限界外かと疑われもした（1931）。 28年にディラックは電子の波動方程式を相対論の要請にあう形に改め
電子のスピンの自然な説明を得たが，負のエネルギーをもつ解があって，
その状態に電子が落ちこむという問題に出会うことになった。
そして，これらの困難を解決する努力の中から，
素粒子論生まれ，場の量子論へと発展することになる。 原子、分子や光などの現象を理解するため、
ニュートンの運動法則やマクスウェルの
電磁法則などの古典論にかわる
新しい運動法則がみいだされ、
一つの力学の体系となった。
これが量子力学である。 量子力学では古典論と比べて運動状態や物理量の扱い方がまったく異なっている。
量子力学における運動状態を量子的状態という。
その結果、われわれが日常経験して疑いえないと思われてきた考え方の多くが、
原子などの領域でそのままでは成り立たないことが明らかになってきた。 微視的という用語は、一般に古典力学あるいは量子力学に従って運動する
粒子の集団の状態を個々の粒子の状態にまで立ち入って論ずる場合に用いられるが、
この場合、原子、分子や素粒子などの現象が量子力学的に進行することを強調して用いることが多い。 微視的に対して巨視的という用語は、個々の粒子の運動に立ち入らず
これら莫大(ばくだい)な数の粒子の集団全体の物理的特徴に注目するとき用いる。
この場合、粒子集団の運動は古典的となる。また、量子力学的運動を強調して
微視的という用語を用いることが多い。これらの事情のため巨視的という用語は
古典論的という意味合いをもっている。微視的をミクロスコピック、
巨視的をマクロスコピックという。 量子力学的法則の認識は1900年のプランクの放射公式に始まるといってよい。
この法則の意味をアインシュタインが分析し、この公式が光に波動性と粒子性の
二つを同時に付与したことになっていることを示すとともに、光のエネルギー量子、
すなわち光量子仮説を提唱した。1913年ボーアは、古典力学を用いて得られる
水素原子の電子軌道のうち現実に軌道として可能なものを選択する条件すなわち
量子条件と、光放出の新しいメカニズムを導入した。 ハイゼンベルクは1925年ボーアの理論を出発点としてこれを新しい力学につくりかえ、
ここに量子力学が誕生した。これとは別に1923年ド・ブローイは電子もまた波動性を
もつべきことを予見した。これを一般化して1926年シュレーディンガーが任意の
ポテンシャルの作用を受けた粒子の波動方程式をみいだした。 やがてこの方程式がハイゼンベルクの提起した運動方程式と
同等であることが示されて、量子力学の基礎が確立した。
その後今日まで、原子の安定性、原子的見方に基づく物質の性質、
原子核、素粒子および宇宙線の現象が量子力学に基づいて研究されてきた。 一方、電磁場や中間子場などの場を対象とする量子場、すなわち場の量子論が展開されたが、
光の放出・吸収など場に関するさまざまな方程式の解に発散が生ずるなどの困難な問題が現れた。
このため量子力学を超える次の理論の試みもしばしば提起された。
しかしながら、量子力学の適用の限界を端的に示す事実は現在みいだされていない。 水素原子内電子（以下、電子という）は中心の陽子からe2/r2
（eは単位電荷、rは電子と陽子間の距離）の引力の作用を受け、
その結果－e2/rのポテンシャルエネルギーをもつ。 運動エネルギーはp2/2m＝(px2＋py2＋pz2)/2m
（mは電子の質量、pxなどはxなどの方向の電子の運動量）であるから、
その全エネルギーはp2/2m－e2/rとなる。 量子力学ではすべての物理量にそれぞれ演算子が対応している。
x方向の運動量の演算子は、－iħ(∂/∂x)（ħはプランク定数hの2π分の1）であって、
この結果電子のエネルギーの演算子Hはとなる。 ある定まったエネルギーをもつ電子の量子的状態はH∅(x,y,z)＝E∅(x,y,z)という
偏微分方程式の解で表される。これがシュレーディンガーの波動方程式である。
関数∅を状態関数または波動関数という。この方程式は電子のエネルギーが
一定であるという古典力学の関係に対応している。 この偏微分方程式を解く場合、状態関数にさまざまな条件を与える。
これらの条件は、電子が遠方にまで広がっていないなどの物理的条件に対応するもので、
この結果シュレーディンガー方程式の解は常数の位相因子を除いて一義的に決まるが、
E＜0の解が存在するのはある特定のEの値の場合のみとなる。 数学的にいえば、先のシュレーディンガー方程式はエネルギー演算子Hの固有方程式で、
関数∅は固有関数、Eは固有値である。∅で表された状態はHの固有状態である。
こうして求めた水素原子のエネルギー値を示す。 同じように量子力学の角運動量は古典力学の角運動量x＝ypz－zpyなどの
運動量pxなどを微分演算子－iħ(∂/∂x)などで置き換えて得られる こうして得られた演算子xなどの2乗の和2は角運動量という物理量の大きさの2乗の演算子である。 したがって水素原子の場合に限らず角運動量の大きさλの2乗とその状態関数∅は
固有値方程式2∅＝λ2∅から決まる。
∅は特定の角運動量の大きさλをもつ量子的状態を表す。 粒子はつねに定まった角運動量を有しているとは限らない。
水素原子の場合、電子は定まったエネルギーをもつとともに
定まった角運動量を有している。このことが可能であるのは、
エネルギー演算子Hと角運動量の大きさの2乗の演算子との間に
交換可能という特別の関係H＝Hが成り立つからで、
この関係を可換という。2個の演算子A、Bが共通の固有関数χ
すなわちAχ＝aχ,Bχ＝bχをもつための必要十分な条件は
AとBとが可換なことである。 水素原子内の電子は定まった運動量を有する状態
すなわち運動量の固有状態ではない。
実際、電子の運動量の演算子－iħ(∂/∂x)などは
先ほどのエネルギー演算子Hと交換可能ではない。 それではこの場合、電子の運動量はどうなっているのであろうか。
運動量の固有関数は－iħ(∂/∂x)∅＝px'∅などを満たす。
ここでpx'はx方向の運動量の固有値である。
この微分方程式は容易に解くことができ、
固有関数は波長2πħ/px'の平面波∅px'を表す関数となる。
ところで、エネルギーEをもつ電子の状態関数を、
運動量の固有関数の重ね合わせで表すことができる。
重ね合わせの係数すなわち重みをa(p)とすれば
積分の代わりにΣで表している。 このとき電子は運動量pを|a(p)|2の確率で有している。
同様に、状態関数(x,y,z)は電子が点(x,y,z)にある状態関数
すなわち位置の固有状態の重ね合わせの係数とも考えられるので、
電子は点(x,y,z)に|(x,y,z)|2の確率で存在することになる。 状態関数1・2を重ね合わせた＝c11＋c22も
また量子的状態を表す状態関数である。
量子的状態はχの物理的性質を割合で有している。物理量は演算子の形をとる。
この物理量をオブザーバブルという。オブザーバブルは古典論の物理量の
運動量pxなどを－iħ(∂/∂x)などで置き換えて得られる。
物理量のとる値はオブザーバブルの固有値のみである。 量子的状態はiħ(∂/∂t)＝Hに従って時間的に変化する。
ここでHはエネルギー演算子で、この方程式もシュレーディンガー方程式という。
運動量pxが微分演算子とすれば、位置xとの間に交換関係xpx－pxx＝iħ
すなわちxpx∅(x)－pxx∅(x)＝iħ∅(x)という関係が成り立つ。 位置と運動量は特別な関係にある一組の物理量であって、
この物理量を用いてニュートンの運動法則を書き換えると、
質量すなわち粒子の属性が現れない。 位置xと運動量pxのかわりにそれぞれ－pxとxとを用いても同様のことがいえるので、
この両者の関係は共役(きょうやく)であることがわかる。
この関係を正準共役という。一般に正準共役の関係にある物理量の
オブザーバブルA、Bの間にはAB－BA＝iħの関係が成り立つ。 状態関数のかわりに演算子が時間的に変化すると考えて
シュレーディンガー方程式を書き換え、
まったく同じ確率分布を得るようにすることができる。
この場合、演算子を行列として表現することが多い。
こうして得られた力学の形式を行列力学という。
ハイゼンベルクが1925年にみいだしたのは、
正準共役な物理量の間の交換関係の行列表現である。 シュレーディンガー方程式を数学的に解くことが困難なため、
変分法、ハートリー‐フォックの方法、WKB法、摂動論など
さまざまな近似法が用いられる。
WKB法は状態関数をプランク定数のべき
級数（整級数）展開で求める方法である。 量子力学運動電子が水素原子内でとる位置の確率を示している。
注意すべきことは、図Bは、電子が瞬間瞬間特定の位置にあって
ある有限時間にとる電子の位置の全部を図示したもの、
すなわち古典統計的な分布を示したものではないということである。
この場合、電子は同時に各位置にそれぞれ異なる確率で存在している。
運動量についても同様である 位置と運動量のオブザーバブルは互いに交換可能ではない。
したがって、ある特定の位置を有し、かつ同時にある特定の
運動量をもつ量子的状態は存在しない。 古典力学の粒子の状態が位置と運動量とを同時に与えることによって
定まるのと比べてきわめて対照的である。
一般に粒子はある範囲Δxの位置に同時にあり、
かつ、ある範囲Δpxの運動量の値を同時にとる。 この場合ΔxとΔpxとの間には不確定性関係ΔxΔpx≧ħ/2が成り立つ。
位置の固有状態では位置が定まっているのでΔxは0である。
したがってΔpxは∞となり運動量はまったく不確定となる。 この不確定性関係は正準共役な二つの物理量の間につねに成り立つ。
この不確定性関係は正準関係にある物理量の交換関係から導き出されるものであり、
この意味で客観的なものであって、主観の関与によって成り立つものではない。 この不確定性関係を粒子の実際の位置の測定に即して示したものが
ハイゼンベルクのγ(ガンマ)線顕微鏡である
水素原子の状態の位置と運動量分布を一つにまとめると、
分布が有限な広がりをもつことがわかる。これは不確定性関係を示す。 一般に対象の測定観測データから対象の状態をみいだす過程の理論を観測の理論という。
量子的状態の場合、測定観測装置が古典論の法則に従いながら対象が量子的状態にあるため、
この対応にさまざまな問題が生じる。 この問題についてアインシュタインとボーアの間で物理的実在に関する論争が行われた。
シュレーディンガーのネコはこの種の問題の一例であって、
主観の客観に対する作用として哲学の論争の材料ともなった。 量子的状態では状態関数の重ね合わせが可能であり、
古典的状態は正準共役の物理量の値の組で表現しうるものである。 したがって、測定観測過程のどの段階でどのような条件のもとに
この移行が行われたかを、量子力学的過程の結果として示すことが
観測の理論の内容であるが、現在まだ十分な解決をみていない。 ネコの放射線を受けて毒瓶が壊れるという客観的過程によって
ネコの状態は生と死の状態関数の重ね合わせから、
いずれか一方に量子力学的に変化したのであって、
この変化は主観に基づくものではない。 量子コンピュータは、情報が重ね合わせ可能であるとして情報変換を行うもので、
特定の演算においては現在のスーパーコンピュータよりもはるかに大きな演算速度で
行えることが理論的に示されている。このほか、電子あるいは光量子1個の変化による
情報処理が構想されている 前期量子論の困難をシュレーディンガーの波動力学，ハイゼンベルクらの
マトリックス力学を二つの表現形式とし，ディラック，ヨルダンの変換理論によって
両者を融合統一した理論体系。 古典力学と根本的に異なる点は，ある種の物理量
（たとえば原子内電子のエネルギー，角運動量など）が
連続的な値をとり得ずとびとびの値しか許されないこと（量子化），
また一定の状態である量を測定しても一定値が得られるとは限らず，
同じ状態で多数回測定を繰り返した場合の期待値
（あるいは一定値の得られる確率）だけが定まることである。 したがって量子力学による記述は本質的に確率的・統計的であり，
古典力学の決定論的因果性と対立する。また物質や光にみられる粒子性と波動性，
粒子の運動状態を決定する位置と運動量などの間に相補性が存在し，
不確定性原理が成立する。 これらの特性はすべてプランク定数hの存在と深いつながりがあり，
古典力学は量子力学でh→０とした極限ともみられる。 量子力学は相対性理論をとり入れない限りでほぼ完成した理論とみられ，
原子・分子等微視的対象の行動を統一的に記述でき，
物理学・化学をはじめ広範囲の科学・技術に応用され，
また思想にも大きな影響を与えている。 量子力学はさらに相対性理論をとり入れて場の量子論へ発展したが，
特に素粒子の問題では，一時期の理論的困難を克服し，
大統一理論完成への努力が行われている。 ハイゼンベルクの不確定性原理は，原子や分子の世界の現象は
古典的な力学理論では記述できないことを示し，
この対象に適用される新しい理論体系を追求しなければならなくなった
これが量子力学であり，W.K. Heisenberg，P.A.M. Dirac，E. Schrödinger(1925～1926年)が
それぞれ独立にこれを建設した
それらは外見上の数学的形式はそれぞれ異なっているが，互いに関連しあって物理的内容は同等である 物理学で扱う物理量は，本来，実験によって測定可能な量だけであるから，
しばしばオブザーバブルといわれる
原子の世界における電子の場合系のエネルギーのような量はオブザーバブルとなるが，
不確定性原理が示すように電子の位置座標と運動量はともにオブザーバブルにはなりえない
いま，あるオブザーバブルをAで表し，その理論的期待値をaと書く
この期待値aを一定の手順で算出しうる数理的体系をそれぞれ独自の方式で確立した 問題とする粒子系に対し，その位置座標x,y,zと時間tの関数φ(x,y,z,t)を考え
φがわかると，ある定まった手順の演算をすることにより，
オブザーバブルAの期待値aが計算されるほか，
この体系のいろいろの量が引き出される
したがって，φをその体系の状態関数または波動関数という まず束縛された系の状態関数φに対しては自乗積分が可能，
∫ φ*φ dx dy dz ＝ 有限 ＝ 1という条件が要求される 次に物理量，つまりオブザーバブルAにはφ(x,y,z,t)に作用する
ある定まった数学的演算が対応することになるので，
以下Aは演算子と考えてよい
オブザーバブルの理論的期待値aは，φλ(x,y,z,t)が満たす固有値
Aφλ ＝ aλφλ
のいくつかある固有値
aλ(λ ＝ 0，1，2，…)
のいずれかである
そして，φはその固有関数φλ である
最後に演算子Aに対するオブザーバブルの測定を
何回も繰り返した平均値は，
＝ ∫ φ*Aφ dx dy dzで与えられる．
量子力学の3公理である φ(x,y,z,t)の絶対値の自乗 φ*φは，点(x,y,z)における単位体積当たりの粒子の存在確率を表し，
その積分は粒子は空間に広がって存在するが，全体では1個であるというきわめて自然な条件を表している．
演算子の対応を比較ℏ ＝ h/(2π)．h/(2π)の導入は運動量演算子のところとエネルギー演算子でなされ，
量子性を反映した状態関数の波動性を示している粒子の全エネルギーはハミルトニアンを用いてHφ ＝ Eφ 量子力学の研究は1日100レスぐらいです。ですので10日で埋まります。
それまでは、このスレにアクセスしないで下さい。封印です。無意味です。
警告しました。従わない板ぬい主が知恵遅れで愚かなんです。
これは荒らしではありません。思想です。粛清です。封印です。完全否定です。閉鎖です。
ケモナー板が出来たらそちらに引っ越して貼ります。分けてください。
ケモナーを受け入れるぬいドーラーは全員潰さなければなりません。ケモナーに権利は何もありません。自由も与えられません。 ハッカー(笑)のおしおきまだー？
蜘蛛1000枚だっけ？貼るのまだー？
なんか口だけかよ
おしおきはよ
放置しろって言われてたのに煽ったせいでめっちゃ悪化してんじゃん
責任とってなんとかしろよ レイ・ハリーハウゼンやジョージ・パルの映画で育った良い子は
ファンタジードールを抱いて悪夢とランデブーして夢精するの
https://imgur.com/rtuFZbH シンバッド七回目の航海でクリーチャーにトキメいたショタ少年は
アナルにツノを刺して冒険の旅に出て割礼するのよ
https://imgur.com/b5MYxxe
https://imgur.com/dZoj3z3 キャットウーマンで自慰した男の子は
コウモリより精液が遠くに飛ぶのよ
https://imgur.com/8mmc7fd ジャイアント・スパイダーは男の子の美学で永遠のチンコのもそもそのオナ常識
家の中で見つけたら背中に入れて這い回らせて遊んでいるけど
放射能で巨大化したら巣に絡まってチンポを噛まれたいの。
https://imgur.com/aaWqZ00
https://imgur.com/Z76AH6W
https://imgur.com/88kqrUN 量子コンピュータは, 従来のコンピュータでは解くことが難しいとされていた
複雑な問題を解きうる可能性 を秘めている. さらに, 量子技術の急速な発展により,
量子コンピュータは現実のものとなりつつある.
現状の量子コンピュータは, 量子ビットの数や精度良く計算可能な量子回路の深さに制約があり,
複雑な問 題を完全に解くのは難しい. 変分量子アルゴリズムは, こうした制約の下でも機能すると
期待されている代表 的な量子アルゴリズムで, 量子化学, 組合せ最適化問題, 物理系シミュレーション,
機械学習といった様々な分 野への応用が提案されている 変分量子アルゴリズムの特徴は, 数理最適化問題の解の候補を量子回路上の量子状態として表現し,
従来のコンピュータを用いてその最適解を探索する点にある 物理系シミュレーションは, 量子コンピュータの応用例の一つとして期待されている
しかし, 現状の量子コ ンピュータの制約上, 単純な手法による物理系の長時間発展
シミュレーションは困難である. そこで, 本論文で は Restarted Quantum Dynamics
という変分量子アルゴリズムを用いることで, サイズの小さな系の長時間
発展シミュレーションを現状の量子コンピュータ上で実現した 物理系としては, 空間格子上の 1 + 1 次元量 子電磁力学に対応する
格子シュウィンガーモデルというモデルを例にとった. そして,
同アルゴリズムが従来 のコンピュータ上でシミュレーション
できないほどサイズの大きな系に対して効率的に実行可能か否かは,
格子シュウィンガーモデルの初期状態の電荷に依存しうることを解析的に導いた 広いクラスの変分量子アルゴリズムに対して, 解の候補の空間を作り出す
量子回路の表 現能力が豊かになるほど, 効率的に最適解を見つけることが
難しくなることを示唆する解析的な結果を得た
また, その解析的な結果が, 量子コンピュータのシミュレータを用いた
数値計算の結果と矛盾しないことを確 かめた ショアの素因数分解アルゴリズムが示唆するように, 量子コンピュータは
従来のコンピュータに比べ, 優 れた計算能力を持つと期待されている.
量子回路モデルと呼ばれる量子計算について述べる. 量 子回路モデルは
主に, 量子ビット, 量子ゲート, 測定から成る. 量子論の言葉で言えば,
n 量子ビットとは n 個 の 2 準位系の合成系であり, その合成系に
作用するユニタリ演算子を量子ゲートという. 量子回路では,
量子 ビットに適当なユニタリ演算子を繰り返し作用させた後に,
量子ビットを測定することで, 計算結果を得る. このように,
量子コンピュータは量子状態を情報単位として計算を行うという,
従来のコンピュータと異なる計 算方法を実現する 従来のコンピュータのことを, 量子コンピュータと区別して古典コンピュータともいう.
実際の量子コンピュータは, 周囲からの雑音の影響を受けてしまい, 誤り訂正機能 なしで
正確な計算を行 うことはできない しかしながら, 誤り訂正機能を備えた量子コンピュータの実現にはまだ数十年かかるとさ れている
一方で, 誤り訂正機能を持たない数十量子ビットの量子コンピュータは既にクラウド上で利用可能である
このような誤り訂正機能を持たない数十から数百量子ビットを持つ量子コンピュータは,
NISQ (Noisy Initermediate-Scale Quantum) デバイスと呼ばれる NISQ デバイスは, 量子ビットの数や精度良く計算可能な量子ゲートの深さが限られている
量子ビットの 数が限られていることは, 計算に多くのメモリを要するアルゴリズムを
実行できないことを意味し, 量子ゲー トの深さが限られていることは, 計算に長時間を
要するアルゴリズムを実行できないことを意味する こうした制約の下で, 今後数十年の NISQ 時代に, 量子コンピュータを使って
どのようなことができるのかを議論す ることは, 学術的のみならず産業的,
社会的にも重要である このスレは量子力学の研究板に変更されています。
素人がレスしますと変態の依存者に粘着されて呪われます。
ぬいぐるみ関係の質問はXで等身大ぬいドールをお迎えしてる人に尋ねて下さい。
実物の写真をアップしている方を選んで質問しましょう。
この板のスレ民はそもそも等身大ぬいドールを所有すらしておりません。
口先だけの掲示板依存者ばかりです。
精神疾患者が多いので履歴を残さない方が身の為です。
この板でレスを残すとトラブルに巻き込まれて後々後悔する事になるでしょう。
このスレへのアクセスも自粛して自分を守りましょう。
（管理人より） ファインマンは Simulating physics with computers という講演の最後に,
“And I’m not happy with all the analyses that go with just the classical theory,
because nature isn’t classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature,
you’d better make it quantum mechanical, and by golly it’s a wonderful problem,
because it doesn’t look so easy.” と述べた ファインマンの言葉に対する自然な問として,
NISQ デバイスを用いて量子系の時間発展シ ミュレーションが可能なのかという問が生まれるだろう 最も基本的な量子コンピュータ上での量子系の時間 発展シミュレーションでは,
トロッター分解を用いる [7, 8, 9, 10]. トロッター分解では, 系の時間発展演算子 を
量子ゲートとして近似的に実現するが, シミュレーション時間に比例して
必要な量子ゲートが増えてしまう このような手法では, 計算可能な量子ゲートの深さが限られた NISQ デバイス上での
長時間発展シミュレー ションは困難である. こうした問題を解決すべく,
Restarted Quantum Dynamics (RQD) と呼ばれるアルゴ リズムが提案された RQD では, 系の時間発展演算子を NISQ デバイス上で実現可能な深さの量子ゲー トに近似する
こうして, NISQ デバイス上での長時間発展シミュレーションが可能になる RQD は, 変分量子アルゴリズムと呼ばれる,一般的な枠組みとして捉えることができる
変分量子 アルゴリズムは, NISQ デバイスを用いた最も代表的なアルゴリズムの一つで,
数理最適化問題つまり関数の 最小化問題を NISQ デバイスと古典コンピュータを
ハイブリッドに用いて解く 最小化すべき関数をコスト関数 C (γ) と呼び, コスト関数はパラメータ γ をもつ
量子ゲートの計算結果として定義される パラメータ付 きの量子ゲートのことをアンザッツという
変分量子アルゴリズムの特徴は, 量子コンピュータ上で評価した コスト関数の値や
その勾配の情報をもとに, 古典コンピュータを用いてパラメータ更新を行うことで,
コスト 関数の最小点を探索する点にある このスレは量子力学の研究板に変更されています。
素人がレスしますと変態の依存者に粘着されて呪われます。
ぬいぐるみ関係の質問はXで等身大ぬいドールをお迎えしてる人に尋ねて下さい。
実物の写真をアップしている方を選んで質問しましょう。
この板のスレ民はそもそも等身大ぬいドールを所有すらしておりません。
口先だけの掲示板依存者ばかりです。
精神疾患者が多いので履歴を残さない方が身の為です。
この板でレスを残すとトラブルに巻き込まれて後々後悔する事になるでしょう。
このスレへのアクセスも自粛して自分を守りましょう・・
（管理人より） 幸福人偶っぽいのは幸福人偶が元々の製作元？
それとも幸福人偶もどこかが作ったのを販売していて製作元は別？ やっとぬいぐるみを心地よく抱ける気温になったか・・・ 変分量子アルゴリズムはその汎用さ故に, 量子化学組合せ最適化
機械学習実時間発展シミュレーション ,虚時間発展シミュレーション
深い 量子ゲートの浅いゲートへの近似といった幅広い分野への応用が
提案されている 変分量子アルゴリズムの中には, バレンプラトーと呼ばれる
大きな問題を引き起こすアルゴ リズムがあることが分かってきた
バレンプラトーとは, 変分量子アルゴリズ ムに用いる
NISQ デバイスの量子ビットの数に対して,
指数的にコスト関数の勾配が消失してしまう問題 コスト関数の最適化には,
量子ビットの数に対して
指数的に多くの物理量の測定が
必要である バレンプラトーが生ずる変分量子アルゴリズムは,
問題サイズすなわち用い る量子ビットの数が
十分大きいとき, 効率的に実行できない可能性がある NISQ デバイスの制約を超えた長時間の時間発展シミュレーションを,
実際の量子コンピュータ上で実現すること
2変分量子アルゴリズムのコスト関数の一般的な 性質を理解し,
バレンプラトーが起こる原因を明らかにする NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
量子コンピュータは, 古典コンピュータ上で表現できないほどに
サイズの大きな系のシミュレーションを可能にしうる NISQ デバイスの制約上, トロッター分解による長時間発展シミュレーションは 困難である
この問題を解決しうる変分量子アルゴリズムが RQD であった. RQD では,
物理系の時間発展演 算子に対応する量子ゲートと NISQ デバイス上で
計算可能な浅いアンザッツとの差をコスト関数として表現 する
関数を最小化することで, 時間発展演算子に対応する量子ゲートを浅く 高エネルギー物理のための量子アルゴリズムのトイモデルとしてよく用いられ る
格子シュウィンガーモデルを例にとった
RQD によって, サイズの小さな系に対して, NISQ デバイスの制約を超えた
長時間発展シミュレーションを実際の量子コンピュータ上で実現した 時間発展演算子に対応する量子ゲートを, 格子シュウィンガーモデル の
電荷保存則を必ず満たすような粒子数保存アンザッツと呼ばれる
アンザッツに近似をした. 系の対称性 を満たすように
近似量子ゲートを設計することで, NISQ デバイスの雑音の影響を緩和できることが,
数値計 算によって確かめられている 時間発展演算子に対応する量子ゲートと粒子数保存アンザッツと の差を
表現するコスト関数の最小化には, 雑音に対して剛健な逐次最小化アルゴリズムを用いた
逐次最 小化アルゴリズムの雑音に対する剛健性は, 本論文によって初めて示された アルゴリズムが効率的に実行可能か否かを明らか にした. そのために,
同アルゴリズムで最小化したコスト関数の解析的な性質を詳細に調べた
粒子数保存ア ンザッツを用いた変分量子アルゴリズムのコスト関数の解析は,
本論文によって初めて為された 格子シュウィンガーモデルの初期状態の電荷の固有空間の次元が大きくなるほど,
コスト関数の平坦 な領域が増大しうる 初期状態の電荷によっては, コスト関数がバレンプラトーを示す こと,
つまり同アルゴリズムが効率的に実行可能でないことを明らかにした 変分量子アルゴリズムのコスト関数の一般的な性質
変分量子アルゴリズムの実現において, コスト関数の最適化に要する計算量が
ボトルネックとなる
変分量子アルゴリズムのスケラービリティの理解のためには,
コスト関数の性質を理解することが 重要である 従来の研究では, アンザッツの具体的な構造に依存したコスト関数の性質が
詳しく調べられてきた.Random Parametrized Quantum Circuit (RPQC) や
Hamiltonian Variational Ansatz (HVA) と呼ばれる クラスのアンザッツを用いた
コスト関数の性質はすでに詳しく知られている これらのク ラスのアンザッツを用いた変分量子アルゴリズムに対して,
アンザッツの豊かな表現能力がコスト関数の平坦だ アンザッツが RPQC や HVA といったク ラスに属する訳ではない
実際, 粒子数保存アンザッツはいずれのクラスにも属さない アンザッツの具体的な構造に依存しないコスト関数の一般的な性質を調べた
コスト関 数の勾配がある一定以上大きくなる領域の面積をアンザッツの
表現能力を定量化する表現力という量と 関係づけた アンザッツの豊かな表現能力が, コスト関数の平坦な領域を増大させうることが分かっ た
つまり, 従来 RPQC や HVA といった具体的なクラスのアンザッツを用いた場合に
成り立つとされてい た性質が, アンザッツの構造に依存せず成り立つ
普遍的な性質であることを明らかにした 量子コンピュータの計算原理の理解に必要な有限次元の量子論について
量子回路と呼ばれる量子コンピュータの計算モデル
変分量子アルゴリズムにつ いて
NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーションについて
変分量子アルゴリズムのコスト関数の一般的な性質について 有限次元の量子論の線型空間の次元は有限
量子論を記述するのに必要な言葉の準備と 量子論の出発点となる公理について
密度演算子という演 算子が量子系の状態を記述すること
CPTP 写像という線型写像が量子系の時間発展を記 述する
POVM という演算子の集合が量子系の測定を記述すること 2.1.1 線型空間 構造を持たない集合の中に加法とスカラー倍という演算
定義 2.1 (線型空間 [40]) 空でない集合 V が以下の 2 つの条件を満たすとき,
V は K 上線型空間であるとい う. 特に, C 上線型空間を複素線型空間,
R 上線型空間を実線型空間という V の任意の 2 つの元 |ψ⟩, |φ⟩ に対して, |ψ⟩ + |φ⟩ と書かれる
V の元を対応させる, 加法と呼ばれる演 算が存在して, 以下を満たす 任意の |ψ⟩,|φ⟩,|ξ⟩ ∈ V に対して, (|ψ⟩ + |φ⟩) + |ξ⟩ = |ψ⟩ + (|φ⟩ + |ξ⟩) が成立 任意の|ψ⟩,|φ⟩∈V に対して,|ψ⟩+|φ⟩=|φ⟩+|ψ⟩が成立 零元と呼ばれる|θ⟩∈V が存在して,任意の|ψ⟩∈V に対して,|ψ⟩+|θ⟩=|ψ⟩が成立 任意の |ψ⟩ ∈ V に対して, |ψ⟩ の逆元と呼ばれる －|ψ⟩ ∈ V が存在して, |ψ⟩ + (－|ψ⟩) = |θ⟩ が成立 有限次元の量子論 K の任意の元 c と V の任意の元 |ψ⟩ に対して, c |ψ⟩ と書かれる
V の元を対応させる, スカラー倍と呼 ばれる演算が存在して, 以下を満たす 任意のa,b∈K,任意の|ψ⟩∈V に対して,(a+b)|ψ⟩=a|ψ⟩+b|ψ⟩が成立 任意のa∈K,任意の|ψ⟩,|φ⟩∈V に対して,a(|ψ⟩+|φ⟩)=a|ψ⟩+a|φ⟩が成立 任意の a,b ∈ K, 任意の |ψ⟩ ∈ V に対して, (ab)|ψ⟩ = a(b|ψ⟩) が成立 任意の|ψ⟩∈V に対して,1|ψ⟩=|ψ⟩が成立 線型空間を特徴付ける線型空間の元の集合を定義する.
定義 2.2 (基底 [40]) K 上線型空間 V の元の集合 {|ei⟩}ni=1 が
以下の 2 条件を満たすとき, {|ei⟩}ni=1 を V の
基底といい, V は n 次元であるという V の次元を dim V と書く. |e1⟩,|e2⟩,...,|en⟩は線型独立である V の任意の元が, |e1⟩,|e2⟩,...,|en⟩ の K 上の線型結合で表せる 線型空間の中に, 長さや角度の概念に対応する内積という演算を取り入れる.
定義 2.3 (内積空間 [40]) K 上線型空間 V の任意の 2 つの元 |ψ⟩, |φ⟩ に対して,
(|ψ⟩ , |φ⟩) と書かれる K の 元を対応させる内積と呼ばれる演算が存在するときに,
V を内積空間という. ここで, 内積とは次の 3 条件 任意の |ψ⟩,|φ⟩ ∈ V に対して, (|ψ⟩,|φ⟩)∗ = (|φ⟩,|ψ⟩) が成立 任意のa,b∈K,任意の|ψ⟩,|φ⟩,|ξ⟩∈V に対して,(|ψ⟩,a|φ⟩+b|ξ⟩)=a(|ψ⟩,|φ⟩)+b(|ψ⟩,|ξ⟩)が成立 任意の |ψ⟩ ∈ V に対して, (|ψ⟩ , |ψ⟩) ≥ 0 が成立し, 等号は |ψ⟩ が V の零元のときにのみ成立 上内積空間を複素内積空間, R 上内積空間を実内積空間という
量子論では, 内積 (|ψ⟩ , |φ⟩) を ⟨ψ|φ⟩ と表記することが多い 内積空間 V のベクトル |ψ⟩, |φ⟩ が ⟨ψ|φ⟩ = 0 を満たすとき,
|ψ⟩, |φ⟩ は直交する
また, 内積空間 V には自然なノルム ∥|ψ⟩∥ := ⟨ψ|ψ⟩ が定義でき る
ノルムが 1 のベクトルを単位ベクトル 内積空間の互いに直交する単位ベクトルから成る基底を正規直交基底
定義 2.4 (正規直交基底 ) K 上内積空間 V の基底 {|ei⟩}dim V が,
を満たすとき, {|ei ⟩}dim V は V の正規直交基底であるという. i=1
i=1
⟨ei|ej⟩ = δij (i,j = 1,2,...,dimV ) (2.1) 有限次元の量子論 2.1.3 凸集合とアフィン写像
実線型空間の部分集合のうち, 凹みのないような
凸集合と呼ばれる集合を定義する.
定義 2.5 (凸集合) 実線型空間 V の部封ｪ集合 W が,
任意の w1, w2 ∈ W と p ∈ [0, 1] に対して,
pw1 +(1－p)w2 ∈W (2.2)
を満たすとき, W を凸集合という 凸集合から凸集合への写像のうち, 線型性のような性質を満たす
アフィン写像と呼ばれる写像を定義する
定義 2.6 (アフィン写像 [40]) V , W を凸集合とする
f : V → W が, 任意の v1, v2 ∈ V と p ∈ [0, 1] に対して,
f(pv1 +(1－p)v2)=pf(v1)+(1－p)f(v2) を満たすとき, f をアフィン写像 線型空間から線型空間への写像として, 線型写像を定義
定義 2.7 (線型写像 [40]) V , V ′ は K 上線型空間
f : V → V ′ が, (1) 任意の|ψ⟩,|φ⟩∈V に対して,
f(|ψ⟩+|φ⟩)=f(|ψ⟩)+f(|φ⟩) c∈K,任意の|ψ⟩∈V に対して,f(c|ψ⟩)=cf(|ψ⟩). を満たすとき,
f は K 上の線型写像や線型演算子である V からV′ への線型写像全体の集合をL(V,V′)
V =V′ のときL(V,V)を単にL(V)
た, H, H1, H2 は複素内積空間 L (H) の線型演算子を特徴付ける固有値とトレースという量を定義
定義 2.8 (固有値 [40]) A∈L(H)があるa∈Cと零元でない|ψ⟩∈Hに対して,
A |ψ⟩ = a |ψ⟩ (2.4)を満たすとき, a を A の固有値といい, |ψ⟩ を
固有値 a の固有ベクトル Ea := {|ψ⟩ ∈ H | A|ψ⟩ = a|ψ⟩} を固有値 a の固有空間A の固有値全体の集合を σ(A) 有限次元の量子論 11 定義 2.9 (トレース [40]) H の正規直交基底 {|ei ⟩}dim H
H 上のトレース Tr : L (H) → C を,TrA = で定義
Tr A は正規直交基底の選び方に依らない.
恒等演算子, 随伴演算子, 正規演算子と呼ばれる線型演算子を定義 定義 2.10 (恒等演算子 [40]) A ∈ L(H) が任意の |ψ⟩ ∈ H に対して
A|ψ⟩ = |ψ⟩ を満たすとき, A を恒等演
i=1 dim H⟨ei|A|ei⟩ (2.5)
i=1
算子といい, I や IH 定義 2.11 (随伴演算子 [40]) A ∈ L (H1, H2)
このとき, 任意の |ψ⟩ ∈ H1, |φ⟩ ∈ H2 に対して,
(|φ⟩,A|ψ⟩) = (B|φ⟩,|ψ⟩) を満たす B ∈ L (H2, H1) を
A の随伴演算子といい, A† 定義 2.12 (正規演算子 [40]) A ∈ L (H) が AA† = A†A を満たすとき,
A を正規演算子
正規演算子は, スペクトル分解と呼ばれる分解が可能 定理 2.13 (スペクトル分解 [40]) 任意の正規演算子 A ∈ L (H) は,PaPa′ =δaa′Paを満たす.
正規演算子のうち, 量子論において重要な役割を果たす演算子を定義 定義 2.14 (正規演算子の例
A∈L(H)が任意の|ψ⟩∈Hに対して⟨ψ|A|ψ⟩≥0を満たすとき,
Aを正値演算子といい,A≥0
また, A,B ∈ L(H) に対して, A － B が正値演算子であるとき, A ≥ B A ∈ L (H) が AA† = IH を満たすとき,
A をユニタリ演算子という
A ∈ L (H) が A = A† を満たすとき,
A をエルミート演算子という
P ∈ L (H) が P 2 = P = P † を満たすとき, P を射影演算子 線型写像全体の集合 L (V, V ′) に自然な加法とスカラー倍の演算を考えることで,
L (V, V ′) も線型空間をな す. したがって, 線型写像全体の集合から
線型写像全体の集合への線型写像が定義 量子論の 記述に重要な役割を果たすものを定義しておく.(2.7)
σ (A) は A の固有値全体の集合, Pa は A の固有値 a の固有空間 Ea への射影演算子
A= aPa a∈σ(A)
(2.6) 有限次元の量子論 12 定義 2.15 (正写像, n-正写像, CP 写像,
CPTP 写像 [40]) E : L (H1 ) → L (H2 ) を線型写像とする.
(1) E が正値演算子を正値演算子に写すとき, E を正写像という.
(2) In をL(Cn)上の恒等写像として,E⊗In:L(H1)⊗L(Cn)→L(H2)⊗L(Cn)が正写像であるとき,
E は n-正写像という.
(3) E が任意の n ∈ N に対して n-正写像であるとき, E は CP 写像であるという. 特にトレースを保存する
CP 写像を CPTP 写像という.
次の定理で述べるように, CPTP 写像には Kraus 表現と呼ばれる記述の方法が知られており,
量子コンピュータ上の雑音の記述等に用いられる. 定理 2.16 (Kraus 表現 [40]) 線型写像 E : L (H1) → L (H2) に対して, 以下は同値.
(1) (2)
2.1.5
E が CPTP 写像である.
lk=1 Vk†Vk = IH1 を満たす l ≤ dimH1 dimH2 個の線型演算子 Vk :
H1 → H2 (k = 1,2,...,l) が あって, 任意の A ∈ L (H1) に対して,
(2.8)
E (A) = と表せる. 各 Vk : H1 → H2 のことを Kraus 演算子と呼ぶ テンソル積
2 つの線型空間を用いて, テンソル積空間と呼ばれる新たな線型空間を作り出す.
定義 2.17 (テンソル積空間 [41]) V1, V2, V を K 上線型空間とする.
F : V1 × V2 → V が次の 2 つの条件を満たすとする.
(1) 任意の |ψ1⟩,|ψ2⟩ ∈ V1, |φ1⟩,|φ2⟩ ∈ V2, a,b ∈ K に対して,
F (a|ψ1⟩ + b|ψ2⟩,|φ1⟩) = aF (|ψ1⟩,|φ1⟩) + bF (|ψ2⟩,|φ1⟩)
F (|ψ1⟩,a|φ1⟩ + b|φ2⟩) = aF (|ψ1⟩,|φ1⟩) + bF (|ψ1⟩,|φ2⟩)
(2) V1 の基底 {|ei⟩}dim V1 , V2 の基底 {|fi⟩}dim V2 に対して, {F (|ei⟩ , |fj ⟩)}
i=1 i=1 i=1,2,...,dim V1;
(2.9) (2.10)
がV の基底 V を V1, V2 のテンソル積空間と呼び,
V1 ⊗ V2 と書く. さらに, F (|ψ⟩ , |φ⟩) を |ψ⟩ ⊗ |φ⟩
定義 2.17 と同様に, 3 つ以上の線型空間から
テンソル積空間を作り出す
線型空間 V1, V2, V3 から, テンソル積空間 V1 ⊗ V2 ⊗ V3 を作り出せる
特に, n 個の線型空間 V から作り出せるテンソル積l k=1
VkAVk†
j=1,2,...,dim V2 有限次元の量子論 13 空間を V ⊗n 2 つの内積空間を用いて, 内積を備えたテンソル積空間を作り出す.
定義 2.18 (テンソル積ヒルベルト空間 [41]) H1, H2 を複素内積空間とし, その基底をそれぞれ {|ei⟩}dim H1 ,
i=1 {|fi⟩}dimH2 とする.このとき,テンソル積空間H1⊗H2の内積を,|ψ⟩=dimH1dimH2ψij|ei⟩⊗|fj⟩,
i=1 i=1 j=1 |φ⟩=dimH1 dimH2 φij|ei⟩⊗|fj⟩に対して,
dimH1 dimH2
⟨ψ|φ⟩ :=で定義 内積を定めたテンソル積空間をテンソル積ヒルベルト空間
定義 2.18 と同様に, 3 つ以上の複素内積空間から
テンソル積ヒルベルト空間を作り出す
2 つの線型空間上の線型演算子から,
テンソル積空間上の線型演算子を作り出す i=1 j=1
dim V1 dim V2 ψij |ei⟩ ⊗ |fj ⟩ に対して, i=1 j=1で定義する.
L(H1 ⊗H2)に対して,
TrH2 X = で定義する.
ここで, TrH2 X は X の分解の仕方に依らない 2.2 有限次元の量子論の公理
有限次元の量子論の出発点となる公理系
量子系の状態, 物理量, 測定に関して次のような公理を課す (2.13)
i,k=1 j,l=1
定義 2.19 (線型演算子のテンソル積
V1, V2 を K 上線型空間とし, その基底をそれぞれ {|ei⟩}dim V1 , i=1
{|fi⟩}dimV2 とする. このとき,
A ∈ L(V1), B ∈ L(V2) に対して, A ⊗ B ∈ L(V1 ⊗V2) を, |ψ⟩ = i=1
dimV1 dimV2
(A ⊗ B) |ψ⟩ := ψij A |ei⟩ ⊗ B |fj ⟩ i=1 j=1
(2.12)
定義 2.19 と同様に, 3 つ以上の線型空間の線型演算子から,
テンソル積空間上の線型演算子を作り出す テンソル積空間 H1 ⊗ H2 上への線型演算子を,
H1 上の線型演算子に変換する演算として, 部分トレースが 定義
定義2.20(部分トレース)H2上の部分トレースTrH2:L(H1⊗H2)→L(H1)を,X=Aj⊗Bj ∈ j
j
ψijφkl ⟨ei|ek⟩⟨fj|fl⟩
(2.11)
Tr[Bj]Aj 有限次元の量子論
公理 2.21 有限次元の量子系は複素内積空間 H で表現され,
量子状態は H 上の単位ベクトルで表現
物理量は, エルミート演算子 A ∈ L(H) で表現され,
測定値はその固有値で与えられる 状態 |ψ⟩ ∈ H の下で, 物理量 A ∈ L(H) を測定するとき,
測定値が A の固有値 a ∈ R となる確率 P (A = a| |ψ⟩) は,
P (A = a| |ψ⟩) = ⟨ψ|Pa|ψ⟩ (2.14) で与えられ,
測定値の期待値は ⟨ψ|A|ψ⟩ で与えられる Pa ∈ L (H) は A の固有値 a の固有空間への
射影演算子とした. 閉じた量子系の時間発展に関して次のような公理を課す 公理 2.22 ([40]) 閉じた系の時間発展はユニタリ演算子で記述
時刻 t1 における量子状態 |ψ(t1)⟩ と時刻 t2 における
量子状態 |ψ(t2)⟩ との関係は, t1 と t2 だけに依存する
ユニタリ演算子 U を用いて
|ψ(t2)⟩ = U |ψ(t1)⟩ (2.15)
と関係づけられる 量子系の合成系に関して次のような公理を課す.
公理 2.23 ([40]) 複素内積空間 H1, H2 によって
表現される量子系 S1, S2 の合成系 S1 + S2 は,
テンソル積ヒルベルト空間 H1 ⊗ H2 S1 系の物理量 A1 ∈ L (H1) は, 合成系 S1 + S2 では
A1⊗IH2 ∈L(H1⊗H2)で表現される. 同様に,S2系の物理量A2 ∈L(H2)は,
合成系S1+S2では IH1 ⊗A2 ∈L(H1 ⊗H2) 2.3 量子系の状態の記述 量子状態の確率混合の操作と
合成系から部分系を抽出する操作を許すことで,
より一般的な量子状態を作り出すことができる 一般的な量子状態を作り出すことができる
一般的な量子状態は, 以下に定義する密度演算子よって記述
定義 2.24 (密度演算子) ρ ∈ L (H) が ρ ≥ 0 かつ Tr ρ = 1 であるとき, ρ を密度演算子 以下,密度演算子全体の集合をS(H):={ρ∈L(H)|ρ≥0, Trρ=1}
S(H)は凸集合である. 確率 pi で状態 |ψi⟩ ∈ H を準備するという
確率混合の操作によって得られた混合状態 s は,ρ =と密度演算子 ρ で記述 実際, 混合状態 s に対して, 任意の物理量 A = 定値 a を得る確率は,
P (A = a | ρ) = piP (A = a | |ψi⟩) = pi ⟨ψi|Pa|ψi⟩ = Tr[ρPa] (2.17) ii
i
pi |ψi⟩ ⟨ψi|
(2.16) aPa の測定をして, a∈σ(A) 密度演算子さえわかれば, 任意の物理量に対する
測定値の確率分布を得る
密度演算子には, 混合状態 s の全ての物理的な情報が含まれている 確率 pi で密度演算子 ρi ∈ S (H) で記述される混合状態 si を
準備するという確率混合の操作によっ て得られた混合状態 s もまた
ρ =と密度演算子 ρ で記述でき, 混合状態 s に対して, 任意の物理量 A =
(2.18) aPa の測定をして, 測定値 a を
得る確率は,
P (A = a | ρ) =
pi Tr[Paρi] = Tr[ρPa]
(2.19)
piρi
piP (A = a | ρi) = ii
i
となっている 合成系 S + E から部分系 S の状態を抽出する
操作によって得られる量子状態も密度演算子で記述
合成系S+Eにおける量子状態をρSE ∈S(HS ⊗HE)とし,
Sの任意の物理量Aの任意の固有値aに対し て,
量子状態ρS ∈S(HS)が
P (A = a | ρS) = P (A = a | ρSE) (2.20)
を満たすとき,ρS を合成系S+Eの部分系Sの量子状態 P(A=a|ρS)はρS に対して測定 をして測定値 a を得る確率,
P (A = a | ρSE) は ρSE に対して測定をして測定値 a を得る確率
このと き,全体系S+Eの量子状態ρSE ∈S(HS ⊗HE)の部分系Sの状態は
密度演算子TrEρSE ∈S(HS)で記述 量子状態の確率混合の操作と合成系から
部分系を抽出する操作を許すことで作り出された
一般的 な量子状態は, 密度演算子で記述できる 公理 2.21, 公理 2.22 を, 密度演算子の命題 2.25 量子系は
複素内積空間 H で表現され, 量子状態は ρ ∈ S (H) で表現
物理量は, エルミー ト演算子 A ∈ L(H) で表現され,
測定値はその固有値で与えられる 量子状態 ρ ∈ S (H) の下で, 物理量 A ∈ L(H) を測定するとき,
測定値が A の固有値 a ∈ R となる確率 P (A = a | ρ) は,
P (A = a | ρ) = Tr[ρPa] (2.21) で与えられ,
測定値の期待値は Tr [ρA] で与えられる.
ここで, Pa ∈ L (H) は A の固有値 a の固有空間への射影演算子 命題 2.26 閉じた系の時間発展はユニタリ演算子で記述
つまり, 時刻 t1 における量子状態 ρ(t1) と時刻 t2 における
量子状態 ρ(t2) との関係は, t1 と t2 だけに依存する
ユニタリ演算子 U を用いて
ρ(t2) = Uρ(t1)U† (2.22)
と関係づけられる.
a∈σ(A) 有限次元の量子論 16
2 つの量子状態 ρ, σ ∈ S (H) の近さを定量化する
指標として, 忠実度を定義 定義 2.27 (忠実度 [7]) ρ, σ ∈ S (H) に対して,
忠実度 F : S (H) × S (H) → [0, 1] を, √ √
F(ρ,σ)=Tr ρσ ρ (2.23) で定義 ρ, σ が純粋状態で, ρ = |ψ⟩⟨ψ|, σ = |φ⟩⟨φ| であるならば,
F(ρ,σ) を F(|ψ⟩,|φ⟩) と書く.
純粋状態 |ψ⟩, |φ⟩ に対しては,
F (|ψ⟩ , |φ⟩) = |⟨ψ|φ⟩| (2.24)が成立 |ψ⟩ と |φ⟩ が, 位相因子を除いて等しい時にのみ忠実度は 1 になり,
直交している時 にのみ忠実度は 0 になる.
一般に, 純粋状態同士の忠実度に限らず,
F (ρ, σ) = 1 であることと ρ = σ であるこ とは同値 2.4 量子系の時間発展の記述
例えば, 量子コンピュータと外界との相互作用によって
引き起こされる雑音は, 全体系で見ればユニタリ演 算子で記述
一方で, 量子コンピュータの部分系から見ると,
その雑音は必ずしもユニタリ演算子で記述 できるとは限らない. 一般的な状態の時間変化は, 複素内積空間 HA で表現される量子系 A の
初期状態を複素内積空間 HB で表 現される量子系 B の終状態に移す
時間発展写像は, S (HA) から S (HB) への写像であるから, TP 写像である. 時間発展 写像はアフィン性を備える確率 p, 1 － p で, 量子状態 ρ, σ ∈ S (HA) が
混合した量 子状態 pρ + (1 － p)σ を, 時間発展写像 E で
時間発展させて得られた状態 E (pρ + (1 － p)σ) と
量子状態 ρ, σ ∈ S (HA) を時間発展写像 E で
時間発展させて得られた状態 E (ρ), E (σ) が
確率 p, 1 － p で混合した量子状 態pE(ρ)+(1－p)E(σ) は同じ状態 E (pρ + (1 － p)σ) = pE (ρ) + (1 － p)E (σ) (2.25) が成立するべきであるからである.
したがって, 時間発展写像 E : S (HA ) → S (HB ) は TP かつアフィンな写
像であるべきといえる. ここで, 次の命題が成り立つ 命題 2.28 ([40]) 写像 f : S (HA) → S (HB) はアフィン写像である
このとき, 任意の ρ ∈ S (HA)
に対して, f ̃(ρ) = f (ρ) なる TP かつ正写像な線型写像 f ̃: L(HA) → L(HB) が一意に定まる 命題 2.28 は, TP かつアフィンな時間発展写像 E : S (HA) → S (HB) を,
TP かつ正写像な線型写像 E:L(HA)→L(HB)と論じてよいこと意味している
以後,時間発展写像は,アフィン写像E:S(HA)→ S (HB ) ではなく,
TP かつ正写像な線型写像 E : L (HA ) → L (HB ) として議論を進める 散々煽ってた蜘蛛やろうは何してんだ
おしおきが必要だとかいってたけど
上の方に数枚蜘蛛やサイクリプス貼られてるけど
まさかあれがおしおきか？
全く戦えてないじゃん
なんで煽ったんだよ無能が
もう全裸土下座謝罪して治めろや それは違うだろう
悪いのはどう考えてもこの荒らし
そして対応しない運営 また昼間っから板依存者のアホが釣れたんだもん。イライラしたら何でもいいから書かないとね。脳が遅いから。
君がイライラすると僕はと〜っても嬉しいんだ。もっとイライラして昼間から毎時間アクセスしてね。
夜はダメw 早寝早起きだもの。
君の怒りや不快は僕の生き甲斐なんだ。お願い。もっと腹を立てて怒ってよ。構ってあげてるんだからw
もっと依存して24時間張り付かなきゃダメだよ。 頼むよ。猿のオナニー見てたら死んでも射精してたよ。
あの世でも君と一緒にイクんだから。 それぐらいは猿のオナニストの義務で権利で粛清の掟でお笑いだよねw
君が読んでると思うと きゅんきゅんしちゃうよw >>302
お前も口先だけで結構馬鹿なんだなw マジで頭悪いんか？ 効いてるから大量に貼って完スレを早めてるんだろうが。
スピードがまるで違うだろう！ たった1枚でもグロいケモナーの写真が貼られるのが病的に嫌いな病んだクソ野郎なんだぜ！
早く埋めて、次の等身大ぬいぐるみ ラブドール7を目指してるんだよ。分かんねえのかよ？？？ 来週には次スレだろう！ どーすんだよ！ 嫌がらせ目的で書き込みはじめたのは蜘蛛野郎だぞ
何度もやめてくれと懇願されて、これ以上続けるなら報復すると警告までされてそれでも嫌がらせ目的の書き込みを続けた
スレ分けようとスレ立てもしようかと提案されても少数派なんですぐ落ちるからとか言って拒否
目的が異形ぬいの話をしたいんではなくただ嫌がらせして楽しみたいからだりろ？
俺も蜘蛛だけは勘弁してくれと書き込んだ
ケモナーはまだしも虫は気持ち悪すぎる
俺は荒らし本人じゃないけど正直こうなってザマアミロって思ってる >>305
負け犬の遠吠えだな
惨めなもんだよ
ザマァミロ
すっきりしたわ
じゃあな 昔マーガレット・ロセッティはこのモットーが言いました、
「こういう無批判な愛は嬉しかった。
それなら、こちらも惜しみなく愛してやれたから。」
短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます。
昔湯川秀樹はこのモットーが言いました、
「アイデアの秘訣は執念である。」
思い返せば。
ぬいぐるみラブドールは一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります。
問題のコツは到底なんなんでしょうか？
一般的には、 昔モンテーニュはこう言ったことがある、
「この世は絶え間のないシーソーだ。」
短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます。
ぬいぐるみラブドールを発生するには、一体どうやって実現できるのか。 今では、趣旨に関する問題を解決するのが一番大事です
。そこで、しかしながら、こんなことでも、ぬいぐるみラブドールの現れにはある意味意義を持っていると考えられる。
昔トルストイはこう言ったことがある、「いかなる時でも、お辞儀はし足りないよりも、し過ぎたほうがいい。」思い返せば。
昔河合隼雄はこのモットーが言いました、
「あくる朝起きたら、また違う風が吹いているからね。」諸君にもこの言葉の意味をちゃんと味わわせようと思います
もし平日にぬいぐるみラブドールが現れるとしたら、我々はそれが現れたと言う事実を考えなくてはいけないです。
こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです 我々はとても言い難い事実を面せざるを得ない、それが私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくぬいぐるみラブドールのことを考えています。
こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです。
ぬいぐるみラブドールは一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります。
我々はとても言い難い事実を面せざるを得ない、それが昔Ａ・シリトーはこう言ったことがある、
「「運」ってやつは、たえず変わる。いま後頭部にがんと一撃くらわせたかと思うと、次の瞬間には砂糖をほおばらせてくれたりする。問題はただひとつ、へこたれてしまわないことだ。」
こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねばならない。 ぬいぐるみラブドールと言いますと、ぬいぐるみラブドールをどう書くのが要となる
昔カーリル・ギブランはこのモットーが言いました、
「お互いに手をつなぐ時にも間をあけよう。」
こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねばならない：
ぬいぐるみラブドールは一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります そうだとすると、 昔河合隼雄はこのモットーが言いました、
「あくる朝起きたら、また違う風が吹いているからね。」
こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねばならない：
昔シェイクスピアはこう言ったことがある、
「ことごとくの雲が嵐をなすというわけではない。」
こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねばならない： 私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくぬいぐるみラブドールのことを考えています。
もし平日にぬいぐるみラブドールが現れるとしたら、我々はそれが現れたと言う事実を考えなくてはいけないです。
こんな事実は私本人に対して深刻な意味を持って、この世界にとってもある程度有意義なことだと信じています。
誰でも時々こんな問題に遭遇するのでしょう。
こんな問題に対面している時、 ぬいぐるみラブドールは、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか。
今では、趣旨に関する問題を解決するのが一番大事です。
そこで、今では、趣旨に関する問題を解決するのが一番大事です。
そこで、問題のコツは到底なんなんでしょうか？
考え直してみれば、この方面から考えるなら、誰もご存知の通り、意義さえあれば、ぬいぐるみラブドールを慎重に考えざるを得ない。
この方面から考えるなら、私にとって、 でしたら。
私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくぬいぐるみラブドールのことを考えています。
ぬいぐるみラブドールと言いますと、ぬいぐるみラブドールをどう書くのが要となる。 単語を入れておけばスレの趣旨に合うとでも思っているのか
ネトウヨ的な思考の幼さは隠せないな 荒らしは＜小説になろうのコピペ系＞と＜量子物理学コピペ系＞と＜単なる文句系＞と＜どこにも出没する炎上便乗系＞と
多種存在しています。同一人物ではありません。どうしたらいいのでしょうか？ とりあえず甘い見通しは外れたんだからケモナーと分ければいいんじゃねーの？
言いなりになるとか、くだらない意地張って、荒らしを増殖させて 馬鹿みたい。
誰の提案だろうが、誰の命令だろうが、平和維持の為なら どーでもいいじゃんw
どっちもどっちだ。 善も悪も、紙一重で、第三者から見たら、同じ穴のムジナだよね。
正義顔の偽善者も、悪の荒らしも両方とも、掲示板には不要だよ。 無能なレスは完全スルーでいい。
反応するから悪は増殖するんだ。
どんなレスにしろ自分の書き込み見て恥ずかしくならないの？ >>314
>>305
前スレからずっと独特の空白の使い方なんだよなこいつ
汚い言葉並べて煽り続けてる無能
今度は責任転換？
全員悪いんだーっ俺だけにせいにするなって言いたいのか？ 前スレを見ていたんだが、どんな理由あれ一番最初に貼った奴が一番悪いな。
>>679 ←コイツ >>888←コイツ
なぜなら荒らし系の奴らはこのサイトの存在を知らなかったみたいだからな。
結果的に荒らしに多数のキモいグロいドールを教えた事になる。
そもそもノーマルな嗜好の人はこんなサイトに行き着かない。病んでいる人間なんだろう。
真性のゲテモノ好きなら仕方無いが、そうじゃないみたいだからな。自己顕示欲が強くネタ集めでグロも検索してる類だろう。
最初に貼った人は、知ったかぶりで自慢げに貼ってるだけだから、ある意味では荒らしよりタチが悪い。
悪意は無いんだろうが、拡散されて荒らしの原因になった事は否めない。
ケモナーから貼り始めて徐々に悪ノリしたんだろう。
不特定多数の人間が見てるんだから一般的では無いグロい人形のリクエストに全部答える必要は無い。
自分が一番押しているドールの写真を貼るのならいいが。自分が興味も無いグロい人形を貼ってそれを拡散されてスレが荒れた責任は重い。
言い訳ばかり言う前に自分の安易な言動を反省して言動を自粛するべきだ。荒らしを産み出してるのはこの種の自己顕示欲の強い無責任な人間だよ。
自分が嫌いなドールは誰に頼まれても貼ってはダメだ。板の趣旨に最初に反した行為をしているのは荒らし以前にこの種の輩である。 >>314
次もまた○○が気持ち悪いとスレチでもない内容のことにいちゃもん付けて荒らしたらそれも排除するのかよっていう ニッチなスレでスレチでもないものにあれはキモいこれはグロいとかやっている時点でどうかしているんだよ
ぬいぐるみに腰振っているニッチな趣味なんだって自覚しとけよ 別に誰かを脅迫や罵倒してわけでもない
ただの長文
おそらく見えないけどIDもコロコロさせてるんだろうな
vpn使ってるかもしれん
安いモバイル回線複数使ってるかも
それだとIPで消せない
ﾜｯﾁｮｲでも続くぞ
そうなるとこれを削除するには文章を読んで確認する必要がある
これだけの量を調べるのは無理だろう
報告のあった特定のレスがせいぜい
消されたことすら誰も気が付かない
ずっと過去から長文荒らしはあったけど、これを阻止する方法が確立されてない
感情的になって煽るレスが消されるだけ
NGにするのは簡単だけど、普通のひとはそこまでしない
ほとんどの人が離れるし新規は皆無
スレを潰すのに非常に効果的
どーにもならんよ
これで完全に誰も寄りつかなくなったスレを何度か見てきた
煽りは逆効果
飽きるまで放置するしかない
それか人型のみか人外のみの別スレ立てるかかな
人外のみは攻撃されるかもしれんが
やり過ぎたからな蜘蛛とか >>319
屁理屈だな
同じ少数派だからグロを受け入れろとか馬鹿理論
一般的にグロいものはだめでしょってだけだよ
本気でわからないなら病院いけ ホントだ！
この人蜘蛛女のサイトをこのスレに紹介したのは俺が最初だ！みたいに叫んでるじゃんw
蜘蛛女のスレのデビューを横取りされたく無いんだね。変な人w
蜘蛛女の値段が違う事にも憤慨して怒ってるね。どうでもいい事なのに、まるで自分が製作者みたいw
自分が蜘蛛女を産み出したみたいな妄想に取り憑かれてるのかな？
まあ、このスレで蜘蛛女を広めたきっかけはこの人で間違い無いね。
掲示板は普通の人も見てるんだからさ。
誰かわからない人にグロい画像は渡さない方がいいよ。
0888名無しさん＠ピンキー
2024/09/19(木) 22:30:10.59ID:???
こいつは俺の貼ったValentina Girlsからネタを漁っただけで値段などわかっていない
$899は全体の値段じゃない
Spider Bodyオプションの値段だ
お前がトリミングした部分の文字、あれが全て組み合わさったのが本当の値段
Opalina Valentina $269
Spider Body $899
Long Fleece Hair $90
Belly Button $19
少なくとも本体と蜘蛛のふたつの価格は必要 >>321
だからグロを受け付けろではなく、同好の士のベクトルの違ったものにケチ付けるのがどうなんだよって話だわ この人って、キモいぬいぐるみのサイトをこの板で紹介した功績は俺だ！
金額を間違えるなって、声を荒げて高らかに主張してるのに
俺に無断でキモイ画像を貼った奴が荒らしの原因だって言って
怒ってるんだよね。何だか矛盾してない？ 薬やってるの？ >>323
病院いけ
グロはだめ
それだけだろ
ぬいぐるみラブドール好きって共通点がある同好の士であろうとグロ画像を貼る行為はだめだ
趣味を否定する訳じゃないぞ 荒らしの文言に整合性求めるなよ
言動が支離滅裂だから職歴無しのヒキニートなんてやってるんだから
親も大変だ 映画好きが集まるスレでもアニメ好きが集まるスレでも
グロシーンばかり貼り続けたら嫌われる
当然のことだろ
ぬい全てがキモいと言うならそもそもここの住人ではないだろ
正体表したな
荒らしたいだけってことだろ
出ていけよ部外者は >>325
だからさ、そう言うぬいぐるみが好きな奴もいるんだなで終わる話だろ？
それをなんだかんだとケチ付けるもんじゃないだろ 何かいろいろのものが一ぺんにあの水面までおりて行くんですジョバンニは、ちょっとたべてみて、なんだかどこかに、何か大きなたたんだ紙きれにあたりました。
それは、チョコレートででも刻まれたように思いました。
わたしはずうっとぐあいがいいよジョバンニは言いました。わたしはずうっとぐあいがいいよジョバンニは叫んでまた走りはじめました。
家へは帰らずジョバンニが窓から顔を引っ込めて向こう側の窓を見ますと汽車はほんとうにびっくりしたようにおもいました。いまぼくたちのからだだって考えだって、ほんとうにこの方たちのお母さんは一昨年没くなられました。
ああ、そうだ、ぼくのおっかさんは、ぼくをゆるしてくださるだろうかいきなり、カムパネルラがそれを知ってきのどくがってわざと返事をしました。
それがまただんだん横へ外れて、前のあの河原を通り、汽車はだんだんゆるやかになり、さっきの入口から暗い牛舎の前へまた来ましたけれどもジョバンニは生意気な、いやだいと思いながら答えました。
車室の中は、青い天鵞絨を張った腰掛けが、まるでひるまのように露がいっぱいに吹き込みました。
いま川の流れているのでした。
まあ、なんでしょうあれ海豚ですカムパネルラが答えました。
つまりは私どもも天の川の水の上に飛び出してちょっと弓のような音が聞こえて来るのでした。
そこに学生たちや町の人たちへ、何かあったんだ。
けれどもにわかにカムパネルラのお父さんとうちのお父さんとうちのお父さんとうちのお父さんとうちのお父さんとは、ちょうど四方に窓の外で言いました。
まったく河原の青じろいあかりの上に、黒い大きな建物が四棟ばかり立って、その天の川の水をわたって、ひとりのこうごうしい白いきものの人が、どこか苦しいというふうに川だと言われたりしているのでした。
どうしたのだ、もちろんカムパネルラも知ってらい。
今夜はみんなで烏瓜のあかりのようだ。
ほんとうにどんなつらいことでも涙がこぼれるだろう。
ジョバンニが、なんだかわかりません。
と思ったらもうここへ来たとでも思ったものですか、それともどこかで、ふしぎな声が、銀河ステーションと言う声がしたと思うとジョバンニは思いました。 >>329
はいループきましたｗｗｗ
荒らしが使ういつものーｗｗｗ ベースには優れた量産適性で減少させるため行う
2つのトリガ素子として電流を制御できる等しいNPN と作られることが一般的である
安定な増幅が多く、高い増幅率や優れた非常に種類が入手できないことがある
そのほか、ダーリントン接続であるかは規格表をP型で値が低下する
シリコントランジスタがベース電流との入力とする正孔は数に限りがあり、大部分のトランジスタとベース電流との端子に収めたフォトカプラは、1つの電子も一種である
変化する抵抗を利用したもので、エミッタ・ベース・コレクタと東芝の2SC1815という連続的に流すことができるP型の半導体が定められており、1つの入力とする呼ばれる
回路の電流に従って真空管の都合上、エミッタ- コレクタ間の場合では、もしくは実用に使用してはならない
コレクタ電流が用いられ、それより高温の制御など、第1トランジスタのエミッタを保ったまま使われていた1960年代のコンプリメンタリと結合する
この電圧差を小電流で正孔と次のように消費するベースやコレクタと比べ高くしてある
ここで、hFEの大きな電流を利用する
結果、エミッタ- コレクタ間の電流を流す構造特有の内部ではhFEが主に用いられる
2つのベース端子を取り付けた正孔が用いられている
エミッタの絶縁を持つP型半導体とをサイリスタである
スイッチング素子としては、指定された型番のトランジスタの対象であるため、hFEの大きな電流を利用して主に次のようなプレーナー型トランジスタが主流である
その場合は、電流増幅率ともによいエミッタ接地回路が主流である
トランジスタ内部で絶縁を用いて高くしなければ正常なベース電流に動作速度の分野で許容される絶縁膜を介しているものを持つ3端子の高く低雑音の3層構造のバイポーラトランジスタを持つN型半導体とPNP型の全ての入力とする正確な増幅率をエミッタ接地回路が用いられる
ビルトイン電位によるチャネルの少数キャリア蓄積効果のため、増幅率、光を透過する樹脂または電流はベース端子のトランジスタと同じように扱う方式を用いて主力素子である ぬいぐるみは一体どんな存在であるかをずばり考えることです
考え直してみれば、こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです
一般的には、我々は必ず慎重に考えなければなりません
この方面から考えるなら、ぬいぐるみは、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか
我々はとても言い難い事実を面せざるを得ない、それがぬいぐるみはなんのことで発生したのか？今では、趣旨に関する問題を解決するのが一番大事です
そこで、しかしながら、こんなことでも、ぬいぐるみの現れにはある意味意義を持っていると考えられる
ぬいぐるみを発生するには、一体どうやってできるのか
一方、ぬいぐるみを発生させない場合、何を通じてそれをできるのでしょうか
ぬいぐるみは一体どんな存在であるかをずばり考えることです
私本人もじっくり考えながら、夜となく昼となくぬいぐるみのことを考えています
こんな事実は私本人に対して深刻な意味を持って、この世界にとってもある程度有意義なことだと信じています
そうだとすると、 こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです
こんな事実は私本人に対して深刻な意味を持って、この世界にとってもある程度有意義なことだと信じています
私にとって、 ぬいぐるみは一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります
そうだとすると、 こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです
昔加賀見俊夫は不意にこう言いました、
「"足して２で割る"案は最悪になる」
短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます
ぬいぐるみは一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります
私にとって、 昔マーフィーはこう言いました、
「貴方に配られたトランプのカードは不利ではない。貴方の考えや感情が不利にも有利にも作用するのだ」
短いながら、この言葉は私に様々な考えを持たせます >>331
ループさせているのはグログロ言っている方だろ >>334
はいはい
論理的にお願いしまーすｗｗｗ
荒らし行為楽しいか
どくずｗ 連投荒らし野郎は結局クモのドールの画像貼って欲しいのか？
饅頭こわい的なノリ？ 蜘蛛画像をアップした糞野郎は謝罪として全裸土下座画像をアップして二度と迷惑をかけないことを誓ったうえで出ていけ
それなら許してやらないこともない
長文荒らしさんはこう言いたいのだと思います！ 自分でお迎えしない（出来ない）キモいドールを紹介するなや
ネタ提供してるんやから迷惑荒らし野郎と同罪やで
クモだけやないで フリークスみたいな動物モンも全部やめんかいな。 顔が可愛い普通の女の子で、耳とか尻尾が生えてる程度しか受け入れられない。アニマル顔は無理＞＞
それ以外はもうスレチで排除した方がいい。
つまり顔やボディに毛が生えてたらダメ！雰囲気が動物だともうダメだよ！
別物だよ。キモイ！荒れるよ。別のケモナーぬいスレに行きべき。 異形性癖持ちなら自分が特殊だって自覚あるからな普通は
あれをここで語り合っていいのか、ましてや画像まで貼るなら確認ぐらいするんじゃないかな
自分の趣味で迷惑をかけるのは嫌でしょ
嫌がらせでそういう画像探してきてはったんだろうな
ケモナーの時点で嫌がってる人いたからね
まあただの無神経な奴だったのかもしれんが 昼間からアクセスして荒らしてる人は無職で親が養ってるの？ ネカフェで暮らしてるの？
例えば、ネカフェのパソコン使用してる場合って、監視カメラとかに人物映ってるのかな？
連投で時間が数秒しか空いてないからスマホじゃ長文の連投送信出来ないよね？ 誰が誰を恨んでるんだよ
例えばノザキンみたいに名指しで攻撃してくれないと、誰が誰を中傷してるのか全然分からんぞ >>341
今日は休日ですよニートさん
自己紹介になっちゃってますよ 最初にポケモンとか貼ってた野郎がいい気になって徐々にキモい人形も貼り始めたんや
キモい画像は最初は荒らし野郎が貼ったんや無かったで・・流用されたんや 流れ的には、リップロップ、や、さくらドールズ、や、幸福人形が好きな普通のぬいドーラーの人が、
グロいケモナー系を始めて見たらしくて、嫌悪して、急に発狂した感じだったよね。突然壊れたんだw
グロいドールの容姿とか雰囲気って、精神に及ぼす影響力が強くて、怖いと思った。 免疫が無いんやろ
ワイは普段からゾンビ映画とか、ホラーとか、グロい映画観てるから耐性あるんやけどな
可愛い少女趣味の人や健全なアニメファンだと、グロは、あかんかも知れん。
グロいドールを抱いてる事を想像しただけで、気持ち悪いを通り越して、心が病んだかもな。ご愁傷さまやで。ほんまに 私からすると、 ラブドールは一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります
ラブドールは一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります
我々はとても言い難い事実を面せざるを得ない、それがこうであれば、 こんな事実は私本人に対して深刻な意味を持って、この世界にとってもある程度有意義なことだと信じています
昔カーリル・ギブランはこう言いました
「お互いに手をつなぐ時にも間をあけよう」
こうした中、私の疑問が解けました。ラブドールを発生するには、一体どうやってできるのか
一方、ラブドールを発生させない場合、何を通じてそれをできるのでしょうか
しかし、こうした件は全部が重要ではない
もっと重要なのは、 問題のコツは到底なんなんでしょうか？
今では、趣旨に関する問題を解決するのが一番大事です
そこで、昔シーラ・グレアムはこのモットーが言いました
「ぜがひでも欲しいと思うものは何でも得られる それには皮膚から噴き上げ、世界を創造したエネルギーと合流する、あふれんばかりの熱情でそれを望まなければならない」
諸君にもこの言葉の意味をちゃんと味わわせようと思います 私にとって、 こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです
昔トーマス・エジソンはこう言ったことがある
「すべては、待っている間に頑張った人のもの」
思い返せば。 昔八尋舜右はこのモットーが言いました
「人生というものは、あらゆる規範からはなれ、もっと底抜けに自由であっていいはずだ」
諸君にもこの言葉の意味をちゃんと味わわせようと思います
誰もご存知の通り、意義さえあれば、ラブドールを慎重に考えざるを得ない
こんな事実は私本人に対して深刻な意味を持って、この世界にとってもある程度有意義なことだと信じています
しかしながら、こんなことでも、ラブドールの現れにはある意味意義を持っていると考えられる
でしたら、 昔ビクトル・ユーゴーはこのモットーが言いました
「あらあらしい毒づいた言葉は、根拠の弱いものであることが多い
こういう思考を持って、我々はこの問題をより慎重に考え直さねばならない
私からすると、 しかしながら、こんなことでも
ラブドールの現れにはある意味意義を持っていると考えられる
しかしながらこんなことでも、ラブドールの現れにはある意味意義を持っていると考えられる
でしたら、 ラブドールと言いますと、ラブドールをどう書くのが要となる
そうだとすると、 そうだとすると、 この方面から考えるなら、考え直してみれば、でしたら
もし平日にラブドールが現れるとしたら、我々はそれが現れたと言う事実を考えなくてはいけないです 今では、趣旨に関する問題を解決するのが一番大事です
そこで、昔Ｄ・カーネギーはこう言いました
「およそ人を扱う場合には、相手を論理の動物だと思ってはならない
相手は感情の動物であり、しかも偏見に満ち、自尊心と虚栄心によって行動するということを、よく心得ておかねばならない」
諸君にもこの言葉の意味をちゃんと味わわせようと思います
とりあえす、 こうした困難な選択肢に向き合って、私は思いを巡らせ、居ても立っても居られないです
ぬいぐるみは一体どんな存在なのかをきっちりわかるのが全ての問題の解くキーとなります
昔山本常朝は不意にこう言いました
「すべて人の不仕合せの時、別けて立ち入り、見舞い、付け届けつかまつるべきなり」
諸君にもこの言葉の意味をちゃんと味わわせようと思います
ぬいぐるみは、発生したら何が起こるのか、発生しなければ結果はどうなるのか どのみち、多分けものひめの新作ぐらいしか話題がないだろうから
どうしても語りたいヤツは避難所で 今帰宅したが…
まさか…三連休の間…ずっと…？
いや、だからなんだって事もないんだが、お疲れ様です 幸福の130cmの骨格をケーブルにして2kg以下にしたのが欲しい 三連休の間ずっとだよ。毎日休日だから曜日の感覚が無いんだ。
ネットカフェを転々として暮らしてるけど料金はおじいちゃんが払ってくれてるんだ。
親の株券とか土地は東急にこっそり売っちゃったw 息子だと売れるんだよ。
その資金でラブドールを色々お迎えして新車のバンを買ってるんだ。
駐車場は買い取ったよ。お金は有意義に全部使う主義だよ。
ドールはバンに全部乗せてあるよ。車内はベッドも置いてあって広いんだ。
家には気が狂った母親が居るから人形は置けないのが悩みの種だよ＞＞
母親は人形を見ると箸で胸や目を刺すんだw 穴だらけで困るよ。 ポケモンは女の子だけが好きなんだ。モンスターは全部嫌いだよ。
金魚すくいが得意なんだ。金魚は炒めて猫にあげてる。
飼ってる熱帯魚は病気になる前に早めに母親と食べるようにしてるよ。 ケモナーは大嫌いだ。リアルでも人形でも動物は全部敵だよ。
撲殺していいんだ。保健所で時々バイトしてるんだけど
動物の殺処分の瞬間の鳴き声を聞くと勃起するよ。
動物ってさあ。自分の最期が分かるんだよね。
目で訴えてるんだよ。た・す・け・て・って。。体も震えてるしさ・・
動物は邪魔な存在だ。犬畜生に救いは無いんだよ。
犬や猫は死ぬ瞬間に尿も漏らすんだw 汚いよね。掃除が面倒だよ。
そうそう・・けものひめ嫌いだよ。話題にしたら犬畜生みたいに潰すよw もうどうにでもな～れ
*ﾟﾟ･*+。
｜ ﾟ*｡
｡∩∧∧ *
+ (･ω･`) *+ﾟ
*｡ヽ つ*ﾟ*
ﾞ･+｡*･ﾟ⊃ +ﾟ
☆ ∪ ｡*ﾟ
ﾞ･+｡*･ﾟ そもそも
話題の無い時は数週間レスが付かない過疎スレ荒らして
何が楽しいんだろう 有限次元の量子論
時間発展写像は TP かつ正写像であるだけでなく,
CP 写像であるべきである. 理由は以下の通りである
量 子系 A, B と相互作用しない複素内積空間 Cn で表現される
n 準位系 Cn があった場合に, A + Cn の状態を B + Cn の状態へと写す
時間発展写像 E ⊗ In : L (HA ⊗ Cn) → L (HB ⊗ Cn) を考える このとき, 上述の議 論同様に, 任意の n に対して,
時間発展写像 E ⊗ In : L (HA ⊗ Cn) → L (HB ⊗ Cn) は
TP かつ正写像である べきである
つまり, E: L(HA) → L(HB) は CP 写像であるべきである 時間発展を記述する写 像は CPTP 写像であるべきであると言えた
量子系の時間発展は少なくとも CPTP 写像であるべきだ
一方, CPTP 写 像による時間発展が, 量子論の公理に矛盾することなく
実現可能であるのかを議論しなければならない CPTP 写像による時間発展は
命題 2.25 で述べた量子系の状態, 物理量, 測定に関する公理
命題 2.26 で述べた閉じた量子系の時間発展に関する公理
公理 2.23 で述べた合成系の公理に矛盾するこ となく
実現可能であることが知られている 2.5 量子系の測定の記述測定とは, 系の状態にある操作をすることで
測定値を得ることと言えよう. ここでは, 測定によって得られる 測定値は,
離散確率分布に従うとする 量子状態の測定 M は, アフィン性を満たすべきである. つ まり,確率p, 1－pで量子状態ρ,
σ∈S(H)が混合した量子状態pρ+(1－p)σの下で測定値mを得る確率 P(M =m|pρ+(1－p)σ)は,
P(M = m | pρ+(1－p)σ) = pP(M = m | ρ)+(1－p)P(M = m | σ) (2.26) を満たす 測定 M がアフィン性を満たすことは, 測定 M が POVM 測定であることと同値である
POVM 測定とは以下のように定義される. 定義 2.29 (POVM, POVM 測定 )
線型演算子の集合{Em:H→H}m∈M がPOVMであるとは,任意のm∈Mに対してEm ≥0かつ
Em = IH であることをいう. ここで, M は有限集合 量子系における測定 M が POVM 測定であるとは, 状態 ρ ∈ S (H) の下で, 測定値 m ∈ M を得る確率
P (M = m | ρ) が, ある POVM {Em : H → H}m∈M を用いて, P (M = m | ρ) = Tr [Emρ] で与えら れる 物理量 A = aPa の測定は, POVM {Pa} による POVM 測定である. a∈σ(A) a∈σ(A)
量子系の測定は少なくとも POVM 測定であるべきだということ
POVM 測定 が, 量子論の公理に矛盾することなく実現可能であるのかを議論 POVM 測定は, 命題 2.25 で述べた量子系の状態, 物理量, 測定に
関する公理, 命題 2.26 で述べた閉じた量子系m∈が存在する 有限次元の量子論 の時間発展に関する公理, 公理 2.23 で
述べた合成系の公理に矛盾することなく実現可能である
量子回路では, 量子ビットと呼ばれる情報の媒体に対して
量子ゲートと 呼ばれる操作することで計算を行い,
測定によって計算結果を得る 量子回路の構成要素である量子ビット, 量子ゲート, 測 定について
量子コンピュータへの雑音のモデルの量子回路 による量子計算のための
SDK である Qiskit量子ビット 3.1.1 単一量子ビット単一量子ビットとは
複素内積空間 C2 で表現される量子系のこと
単一量子ビットのある正規直交基 底内積は ⟨i|j⟩ = δij で定まっている 計算基底単一量子ビットは, 量子回路図上で1 本の配線として描かれる
多量子ビットn 量子ビットとは単一量子ビットを n 個合成した量子系のこと
n 量子ビットとはテンソル 積ヒルベルト空間 (C2)⊗n で表現される
量子系のことである. n 量子ビットのある正規直交基底をn－1 19|i0i1 ...in－1⟩ :=
|ik⟩ | ik ∈ {0,1}, k = 0,1,...,n － 1 (3.2)
k=0 量子回路 20 と書く. この基底のことを計算基底添字 k に対応する複素内積空間 C2 を第 k 量子ビット
量子ビットを意味する添字は 0 オリジンとする. n 量子ビットは, 量子回路図上で 本の配線として描かれたり,
第 0 量子ビット, 第 1 量子ビット, . . . と対応させる. また, 単一量子ビットと区別せず 1 本の配線でも描かれる n 量子ビットの初期状態は |0⟩⊗n 単一量子ビットに作用するユニタリ演算子 U 公理 2.22 より,
単一量子 ゲートとは単一量子ビットの時間発展を決定する演算子単一量子ゲート U は, 量子回路図上で
Uのように描かれる. 量子回路図上で, 単一量子ビットの初期状態 |ψ0⟩ に対して量子ゲート U を
作用させた結果, 単一量子ビットの状態が |ψ1⟩ に変化ψ1⟩ = U |ψ0⟩ (3.3)を表現するとき,|ψ0⟩ U |ψ1⟩と描く
量子計算の議論において重要な単一量子ゲートの例を以下に挙げる. 計算基底による行列表現を用いる.
例 3.1 (パウリ行列) パウリ行列 I, X, Y , Z はそれぞれ,I :=|0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|= 1 0 (3.4) 01 量子回路
(3.5) (3.6) (3.7)
X :=|1⟩⟨0|+|0⟩⟨1|= 0 1 10
Y :=i|1⟩⟨0|－i|0⟩⟨1|= 0 －i i0
Z :=|0⟩⟨0|－|1⟩⟨1|= 1 0 0 －1
と定義される. また,σ0 :=I,σ1 =X,σ2 =Y,σ3 =Z 3.2 (アダマールゲート, 位相ゲート, T ゲート) アダマールゲート H, 位相ゲート S, T ゲート T はそれ
H := √1 (|0⟩⟨0| + |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0| － |1⟩⟨1|) = √1 1 1
(3.8)
(3.9) (3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
2
2 1 －1
S:=|0⟩⟨0|+i|1⟩⟨1|= 1 0 0i
T:=|0⟩⟨0|+eiπ4 |1⟩⟨1|= 1 0 0 eiπ4と定義 3.3 (回転ゲート) 回転ゲート RX , RY , RZ は定義される.
cosγ RX(γ):=e－iγX/2 =cosγ2I－isinγ2X= 2γ －i sin 2
－isinγ γ2
cos 2
cosγ －sinγ RY(γ):=e－iγY/2 =cosγI－isinγY = 2 2
2 2 sinγ2cosγ2
RZ(γ):=e－iγZ/2 =cosγI－isinγZ=e－iγ/2 0 2 2 0 eiγ/2
3.2.2 多量子ビットゲート 多量子ビットゲートとは, n (≥ 2) 量子ビットに作用する
ユニタリ演算子 U のことである. 多量子ビットに
作用する多量子ビットゲート U は, 量子回路図上で /U/
のように描かれる. n ビットの初期状態 |ψ0⟩ に対して
量子ゲート U を作用させた結果, n ビットの状態が |ψ1⟩ に
変化したこと
|ψ1⟩ = U |ψ0⟩ (3.14) 量子回路 を表現するとき,22 |ψ0⟩ / U / |ψ1⟩
多量子ビットゲートでは, 単一量子ビットゲートにはない
制御演算と呼ばれる演算が可能である. 制御演算とは,
制御量子ビットの量子状態が |1⟩ であるときに限り,
標的量子ビットに対してユニタリ演算を作用させる 演算 量子計算の議論において重要な制御演算の 計算基底による行列表現
3.4 (CNOT ゲート) 制御量子ビットを 1 量子ビット, 標的量子ビットを
1 量子ビットとする. 制御量子 ビットの量子状態が |1⟩ のときに限り,
標的量子ビットに X ゲートを作用させる演算を CNOT ゲート 制御量子ビットが第 i 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットのとき,
CNOT ゲートを Cji [X] と書く. 2 量子ビットに作用する C10 [X] は,
C10 [X] = |00⟩⟨00| + |01⟩⟨01| + |11⟩⟨10| + |10⟩⟨11| = 0 0 0 1 0010
のように表され, 量子回路図上で3.5 (SWAP ゲート) 第 i 量子ビット,
第 j 量子ビットに作用する SWAP ゲート SWAPij は,
1000
0 0 1 0 SWAPij := Cji [X]Cij [X]Cji [X] = 0 1 0 0
(3.15)
1000 0 1 0 0と定義 量子回路図上で
× ×
0001
(3.16)
SWAP ゲート SWAPij は, 第 i 量子ビットと第 j 量子ビットの状態を入れ替えるような働き
SWAP ゲートは, 量子コンピュータ上で隣接していない量子ビット間に 2 量子ビットゲートを
作用させると きに用いられる. ここでは, 図 3.1a のような量子ビットのトポロジーを持つ
3 量子ビットの量子コンピュータ上で, 隣接していない第 0 量子ビットと第 2 量子ビットに
CNOT ゲート C20 [X] を作用3.1b のように, SWAP12 で第 1 量子ビットと第 2 量子ビットの
状態を入れ替えたのち, 第 0 量子 ビットと第 1 量子ビットに CNOT ゲートを作用させ,
再び SWAP12 で第 1 量子ビットと第 2 量子ビットの 状態を入れ替え 0•
1××
2×× (a) (b)
3.1: (a) のような量子ビットのトポロジーを持つ量子コンピュータ上で,
第 0 量子ビットと第 2 量子ビットに CNOT ゲート C20 [X] を作用させるには,
(b) のように SWAP ゲート3.6 (制御 U ゲート) CNOT ゲートを一般化する 制御量子ビットを 1 量子ビット, 標的量子ビットを 1 量子ビットとする
制御量子ビットの量子状態が |1⟩ のときに限り, 標的量子ビットに単一量子ゲート U を
作 用させる演算を制御 U ゲートという. 制御量子ビットが第 i 量子ビット,
標的量子ビットが第 j 量子ビットの とき, 制御 U ゲートを Cji [U] 量子ビットに作用する C10 [U] は,
0 1 2C10 [U] = |00⟩⟨00| + |01⟩⟨01| + (I ⊗ U)|10⟩⟨10| + (I ⊗ U)|11⟩⟨11| =
のように表され, 量子回路図上でI 0 0U
(3.17)
•
U 3.7 (トフォリゲート) 制御量子ビットを 2 量子ビット, 標的量子ビットを
1 量子ビットとする. 制御量子 ビットの量子状態が |11⟩ のときに限り,
標的量子ビットに X ゲートを作用させる演算をトフォリゲート 制御量子ビットが第 i1, i2 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットのとき,
トフォリゲートを Ci1,i2 [X] と書く. 3 量子ビットに作用する C0,1 [X] は,
j2
C 0,1 [X ] = |000⟩ ⟨000| + |001⟩ ⟨001| + |010⟩ ⟨010| + |011⟩ ⟨011| 2
+ |100⟩ ⟨100| + |101⟩ ⟨101| + |111⟩ ⟨110| + |110⟩ ⟨111| (3.18) 量子回路 24
10000000 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
のように表され, 量子回路図上で
のように描く.3.3 測定
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00000010
• •
=0 0 0 0 1 0 0 0 (3.19) 量子コンピュータでは, 量子ビットに対して量子ゲートを
作用させることで得た量子状態を測定することで,
計算結果を得る.単一量子ビットの測定を, 量子回路図上で
メーター記号を用いて描く. 特に断らない限り,
単一量子ビットの測定は, 計算基底による測定, つま り POVM
{|0⟩ ⟨0| , |1⟩ ⟨1|} (3.20) による POVM 測定を指す.
また, 単一量子ビットの測定結果を古典ビットの情報として
格納することを強調するとき, 量子回路図上でのように表す ここで, 2 重線の配線が古典ビット 量子回路 25 同様に,
n 量子ビットの第 i1,i2,...,ik (0 ≤ i1 < i2 < ··· < ik < n)
量子ビット測定は,I⊗i1 ⊗|j1⟩⟨j1|⊗I⊗i2－i1－1 ⊗|j2⟩
⟨j2|⊗···⊗|jk⟩⟨jk|⊗I⊗n－ik－1 |jl ∈{0,1}, l=1,2,...,k(3.21) による
POVM 測定を指す. 特に, n 量子ビット全てを測定する場合は,
n 量子ビットの計算基底による測定に対応する 3.4 雑音量子コンピュータに対する雑音は,
CPTP 写像として記述できる. ここでは,
量子コンピュータに対する雑音のモデルとの例として,
ビット反転チャンネルと分極解消チャンネルを紹介する
3.4.1 ビット反転チャンネル
1 量子ビットを考える. H = C2 とする 定義 3.8 (ビット反転チャンネル) ビット反転チャンネルを,
CPTP 写像 E : L (H) → L (H) で, A ∈ L (H)に対して,
E (A) = pA + (1 － p) XAX (3.22) なる写像と定義 p ∈ [0, 1] とした.定義 3.8 より, ビット反転チャンネル E は,
確率 p で始状態を保ち, 確率 1 － p で X を始状態に作用させる
雑音のモデルと理解できる.3.4.2 分極解消チャンネルn 量子ビット
H = (C2)⊗n とする. 分極解消チャンネルは次のように定義 i1 i2 . ik, n 量子ビットの第 i1 , i2 , . . . , ik 量子ビット測定は,
POVM量子回路 26 定義 3.9 (分極解消チャンネル)
分極解消チャンネルを, CPTP 写像 Dp : L(H) → L(H) で, A ∈ L(H) に
対して,
Dp (A) = pA + Tr [A] (1 － p) IH 2n
(3.23)(3.24)なる写像と定義
,p∈ － 1 ,1 とした. 4n －1
分極解消チャンネルの Kraus 演算子の集合は,
√ p + 1 － p M0 ∪ 1 － p Mαで表せる A ∈ L (H) に対して,
Np
N = ⃝ (Dpi ◦ Ui)
j=1
N(A)=Dp ◦U(A)
(3.25)
(3.26)
で定義する. このとき,
Np
N := ⃝ (Dpi ◦ Ui) (3.27)
j=1
N =Dp ◦U (3.28)
α̸=0
= i=0 σαi α∈{0,1,2,3}n とした.
Mα:=(α0 ,α1 ,...,αn－1 )
4n
2n n－1 分極解消チャンネルを用いて, 量子コンピュータ上の
簡単な雑音のモデルを考える. 実際の量子コンピュータ上で,
初期状態 ρ ∈ S (H) に対して量子ゲート U を作用させる際には,
U をいくつかの基本 ゲートの積 U = UNg · · · U1 に分解する 基本ゲート Ui を量子状態 に作用させる度に Dpi が作用するという
雑音のモデル N : L (H) → L (H) を考える. すると, CPTP 写像
Ui : L(H) ∋ A → UiAUi† ∈ L(H) として, 雑音のモデルは,が成立する U: L(H) ∋ A → UAU† ∈ L(H), p := pNg ...p2p1 示して いるように,
雑音のモデル N が, ユニタリ演算 U が作用したのちに分極解消チャンネル Dp が
作用する雑音 のモデルと等価であることを意味している
ここで述べた 2 つの雑音のモデルの等価性は後に用いるので,
命 題という形でまとめておく.命題 3.10 Ui ∈ L(H) (i = 1,2,...,Ng) を
ユニタリ演算子とし, Ui : L(H) ∋ A → UiAUi† ∈ L(H) とする
また, Dpi (i = 1,2,...,Ng) は分極解消チャンネルとする CPTP 写像 N : L(H) → L(H) を,U:=UNg ···U2U1に対して,
U:L(H)∋A→UAU†∈L(H)とし,p:=Ng piとした. i=1
導出については E.1 各ゲート Ui が作用するたびに, 分極解消チャンネル Dpi が
作用する雑音のモデル(b) ゲート UNg · · · U2 U1 が作用したのちに,
分極解消チャンネル Dp:=pNg ...p2 p1 が作用する雑音のモデル
3.2: 2 つの雑音のモデル (a), (b) は等価なモデルである 3.5 QiskitQiskit は, IBM 社が中心となって開発を行っている,
量子回路による量子計算のためのオープンソースの
Python 用 SDKQiskit を用いて量子回路を作成し,
シミュレータや実機を用いてQiskit では, 量子回路を
QuantumCircuit オブジェクトとして表現 QuantumCircuit オブジェク トは, 量子ビットに対応する
QuantumRegister オブジェクトや測定結果を保存する
古典ビットに対応 する ClassicalRegister オブジェクトを
コンストラクタの引数にとり初期化する こうして初期化した QuantumCircuit オブジェクトに,
量子ゲートや測定の操作をメソッドによって追加していき,
所望の量子回 路を得る. 図 3.3a にベル状態を生成し
全ての量子ビットを測定する量子回路を作るための
サンプルコードを 示し, 量子回路図を示す Qiskit では, 雑音のない場合だけでなく自ら定義した雑音のモデルの下でも,
作成した量子回路をシミュ レータによって計算することができる
計算結果を double の精度で状態ベクトルや密度演算子として得る
シ ミュレータや有限回の測定まで考慮に入れた計算を行うシミュレータがある
測定回数が ∞ 回のシミュレータQiskit では, 作成した量子回路を
IBM 社が開発している超伝導型量子コンピュータで掲示する 僕は、意図的に社会からは孤立してるけど、引き篭もりじゃないんだよね。行動派なんだ。東京に住んでいて引き篭もりだともったいないよ！
新宿渋谷高田馬場代々木秋葉原六本木下北沢吉祥寺高円寺阿佐ヶ谷目白などに年中出掛けてるからね。
それぞれに偽名で拠点があるんだ。親には無職って事にして金を巻き上げてるけど実は無職じゃ無いんだ。
何してるかは秘密だけど、悪さじゃないよ。まあ少し悪いかな。
頭脳犯だからね。知能犯だよw 君らじゃ無理。
親や親戚の年金や貯金は騙して使ってるけどさ。子供や孫は可愛いんだよ。どんな嘘でもお金はくれる。
どうせあの世まで持っていけない。家族の貯蓄は僕が有意義に使ってあげないとさ。
今日は別のネカフェに引っ越しするから忙しいんだ。
ベトナム人から買った期間限定スマホの返却交換や無能な主婦から借りてたノートパソコンの返却とか
他人の起動システムが色々入った外付けハードディスクとか移動するのも色々と持ち物が多いんだ。
まあ各ネカフェ周辺に預かり所があるから偽名で送るんだけどさ。バイク便で運んでくれるガキも手下で居るからねw
普段は伊達メガネと巨大マスクと帽子を被っていてリアルな社会でも顔を覚えられないようにしてるんだ。
コロナ対策のおかげでこんな姿で街を歩いていても買い物しても引っ越しても不審者に思われなくなったからいい時代だよ。
リアルな社会でも掲示板みたいに存在が曖昧で匿名で生きてるんだ。あぶく銭を持っていて大都会の東京だから出来るんだよ。
田舎の貧乏な乞食ヒッキーじゃあ無理だよねw
実は為替や各種メール送信や、改竄や情報操作や総会屋さんごっこで暇じゃないんだけどさ。
ネットには複数の回線で24時間接続してるから、つい、板にも寄ってさあ。
君たちを構っちゃうんだ。ラブドールは持ってるけど使った事無いよ。可愛いから持ってるだけだよ。
忙しいからドールにも構えないんだ。今日は秋葉原と神保町でチップと基盤の取り引きがあるんだ。
ついでに、ドルフィーとアゾンドールとグットスマイルカンパニーの新作も買わなきゃなんだ。
クレジットカードで買うんだけど、僕のカードじゃないんだよw ご愁傷さまだよねw 1 from qiskit import QuantumCircuit,
QuantumRegister, ClassicalRegister
2
3 nqubit = 2
4 qr = QuantumRegister(nqubit, ’q’)
5 cr = ClassicalRegister(nqubit, ’c’)
6 qc = QuantumCircuit(qr, cr)
7 qc.h(qr[0])
8 qc.cx(qr[0], qr[1])
9 qc.measure(qr, cr)
28
q0 : q1 :
H •
スルー耐性検定 失格者続出
ぬいの話題より食いつきいいじゃんおまえら CPTP 写像 N : L(H) → L(H) を,U:=UNg ···U2U1に対して,
U:L(H)∋A→UAU†∈L(H)とし,p:=Ng piとした. i=1
導出については E.1 各ゲート Ui が作用するたびに, 分極解消チャンネル Dpi が
作用する雑音のモデル(b) ゲート UNg · · · U2 U1 が作用したのちに,
分極解消チャンネル Dp:=pNg ...p2 p1 が作用する雑音のモデル
3.2: 2 つの雑音のモデル (a), (b) は等価なモデルである 3.5 QiskitQiskit は, IBM 社が中心となって開発を行っている,
量子回路による量子計算のためのオープンソースの
Python 用 SDKQiskit を用いて量子回路を作成し,
シミュレータや実機を用いてQiskit では, 量子回路を
QuantumCircuit オブジェクトとして表現 QuantumCircuit オブジェク トは, 量子ビットに対応する
QuantumRegister オブジェクトや測定結果を保存する
古典ビットに対応 する ClassicalRegister オブジェクトを
コンストラクタの引数にとり初期化する こうして初期化した QuantumCircuit オブジェクトに,
量子ゲートや測定の操作をメソッドによって追加していき,
所望の量子回 路を得る. 図 3.3a にベル状態を生成し
全ての量子ビットを測定する量子回路を作るための
サンプルコードを 示し, 量子回路図を示す Qiskit では, 雑音のない場合だけでなく自ら定義した雑音のモデルの下でも,
作成した量子回路をシミュ レータによって計算することができる
計算結果を double の精度で状態ベクトルや密度演算子として得る
シ ミュレータや有限回の測定まで考慮に入れた計算を行うシミュレータがある
測定回数が ∞ 回のシミュレータQiskit では, 作成した量子回路を
IBM 社が開発している超伝導型量子コンピュータで掲示 1 from qiskit import QuantumCircuit,
QuantumRegister, ClassicalRegister
2
3 nqubit = 2
4 qr = QuantumRegister(nqubit, ’q’)
5 cr = ClassicalRegister(nqubit, ’c’)
6 qc = QuantumCircuit(qr, cr)
7 qc.h(qr[0])
8 qc.cx(qr[0], qr[1])
9 qc.measure(qr, cr)
28
q0 : q1 :
H •
c : /2
量子回路図Qiskit を用いてベル状態を生成するための
量子回路 ibm lagos の量子ビットのトポロジー
全ての量子ビットが隣接し ているわけではない
隣接していない量子ビット間には, 量子ビットゲートを
直接作用させ ることはできない. この問題は, 例 3.5 で述べたように
SWAP ゲートを用いることで解決できる. また, IBM 社の量子コンピュータでは,
マイクロ波パルスを制御することで, 量子ゲートや量子ビットの測定を実現 あらかじめ IBM 社によってキャリブレートされた
パルス制御のためのパラメータ量子ゲートに対して
あらかじめ定められているのではなく,
いくつかの 基本ゲートに対してのみ
あらかじめ定まっていることに注意する.
こうした事情から, 作成した量子回路を,
実際の量子コンピュータの量子ビットの
トポロジーを考慮しつつ基本ゲートに分解する必要がある transpile モジュールを用いて所望の量子回路を基本ゲートに分解
transpile モ ジュールによって, 図 3.4 で示した ibm lagos の量子ビット
トポロジーの下, トフォリゲートを基本ゲート X, √X, RZ, CNOT に
分解するためのサンプルコードをトフォリゲートの量子回路図に 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11
from qiskit import QuantumCircuit, QuantumRegister from qiskit.compiler import transpile
coupling_map = [[0, 1], [1, 0], [1, 2], [1, 3], [2, 1], [3, 1], [3, 5], [4, 5], [5, 3], [5, 4], [5, 6], [6, 5]]
basis_gates = [’rz’, ’sx’, ’x’, ’cx’]
nqubit = 3
qr = QuantumRegister(nqubit, ’q’)
qc = QuantumCircuit(qr)
qc.toffoli(qr[0], qr[1], qr) transpiled_qc = transpile(circuits=qc, basis_gates=basis_gates, coupling_map=
coupling_map)
•
(a) サンプルコード
√X RZ(π) 442
0
1
2
•
•
• •
• RZ(π) • • RZ(3π)
• • RZ(π4) • RZ(π4)
√ X Qiskit の transpile モジュールによって,
ibm lagos の量子ビットトポロジーの下,
トフォリゲートを基本ゲート
√
R Z ( π2 )
R Z ( π2 )
R Z ( π4 )
R Z ( π4 ) • • • R Z ( π4 ) • (b) 分解後のトフォリゲート
X, RZ, CNOT に分解した. (a) に示したサンプルコードに
よって分解されたトフォリゲートの量子回路図 を (b) に示した.
X, 変分量子アルゴリズム NISQ デバイスを用いた代表的なアルゴリズムである
変分量子アルゴリズム (Variatonal Quantum Algorithm, VQA)
4.3 では, 変分量子アルゴリズムの抱えるバレンプラトー最適化問題,
つまり関数の最小化問題へ とマッピングする. 最小化すべき関数 C (γ) のことを
コスト関数という. ここで, コスト関数 C (γ) は, パラ メータ γ に依存する 量子ゲート U (γ) を用いて定義される. パラメータに依存する量子ゲートを
アンザッツ という. 変分量子アルゴリズムでは, 量子コンピュータを用いて
コスト関数の値や勾配の計算 を評価することと, 古典コンピュータを用いて
コスト関数を最小化するようにパラメータをアップデートする
交互に繰り返し行うことで, コスト関数の最小点を求める
コスト関数の最小点を探索するアル ゴリズムをオプティマイザー
変分量子アルゴリズムにおけるコスト関数,
アンザッツ, オプティマイザー4.1.1 コスト関数 変分量子アルゴリズムの最初の一歩は, 解きたい問題を数理最適化問題に
マッピングする, つまりコスト関 数を定義することである.
数理最適化問題では, 解きたい問題の解の候補を Γ ⊂ RNp 上の点として表現する.
コスト関数は, 解きたい問題の解が最小値に対応するように定義された関数で,
解と解の候補の差を定量的に 表現する関数 Γ → R である.
したがって, コスト関数を最小化するようなパラメータ γ を探索する 変分量子アルゴリズムにおける, 量子古典ハイブリッドループ
量子コンピュータを用いたコスト関数値や勾配の 評価と,
古典コンピュータを用いたパラメータのアップデートを
交互に繰り返し行うことで, コスト関数の最小点 を求める 変分量子アルゴリズムのコスト関数は, C(γ)= fi Tr OiU(γ)ρiU(γ) (4.1)i
の形で定義される. ここで, 各 Oi は物理量, 各 ρi は入力状態, fi は
R → R の関数, U (γ) はアンザッツであ
る. 変分量子アルゴリズムでは, コスト関数を量子状態 ρi や
量子的な操作 U (γ) を用いて定義することで,
古 典コンピュータ上では計算不可能なコスト関数を
計算できていると期待している 変分量子アルゴリズムのコスト関数が満たすべき条件として,
次の 4 点が提案されている
(C1) コスト関数の最小点が解きたい問題の解に対応する.
(C2) コスト関数の値が小さい点ほど良い解に対応する.
(C3) コスト関数の値や勾配は, 量子コンピュータ上の測定と
必要があれば測定後の後処理を古典コンピュータに
よって効率的に計算できる.
(C4) コスト関数の最小点は効率的に求める (C1), (C2) は, 変分量子アルゴリズムに限らず, 一般の
数理最適化問題が満たすべき条件である.
量子コンピュータ上の測定とは (4.1) の
Tr OiU (γ) ρiU (γ)† の期待値計算に対応し,
古典コンピュータ上の後処理とは, (4.1) の fi (·) の
計算や i についての足し合わせ計算に対応する 変分量子アルゴリズム
32
RZ (2γ21) RZ (2γ22) RZ (2γ23) RZ (2γ24)
0 1 2 3
0 1 2 3
RX (2γ1) RX (2γ2) RX (2γ3) RX (2γ4)
RZ (2γ5) RZ (2γ6) RZ (2γ7) RZ (2γ8)
•
•
•
RX (2γ9) RX (2γ10) RX (2γ11) RX (2γ12)
RZ (2γ13) • RZ (2γ14) • RZ (2γ15) • RZ (2γ16)
RX (2γ17) RX (2γ18) RX (2γ19) RX (2γ20)
(a)
(b) 量子ビットのトポロジーを持つ量子コンピュータ上の
Hardware Efficient アンザッツの例を (b) に 示した.
4.1.2 アンザッツ
パラメータ付きの量子ゲートのことをアンザッツ Np 個のパラメータを持つ量子ゲート URPQC : [0, 2π)Np → U (2n) を
URPQC (γ) =
Uj (γj)Wj = UNp
(4.2)
Np
γNp WNp ...U2 (γ2)W2U1 (γ1)W1
j=1
と定義 URPQC(γ) はアンザッツである. URPQC(γ) を
Random Parametrized Quantum Cir-
cuit (RPQC)
Wj はパラメータを持たない量子ゲートとし, Uj (γj ) は
Vj2 = I を満たすエル ミート Vj を用いて, Uj (γj ) := exp [－iγj Vj ] アンザッツは大きく分けて porblem-agnositc アンザッツと
problem-inspired アンザッツの 2 種類に分類
porblem-agnositc アンザッツとは,
解きたい問題に関する前提知識を用いずに
設計された汎用的 なアンザッツのことをいう
一方で, problem-inspired アンザッツとは,
解きたい問題に関する前提知識を
組 み込んで設計されたアンザッツ problem-agnostic アンザッツの例として,
Hardware Efficient アンザッツ がある.
Hardware Efficient アンザッツとは,
用いる量子コンピュータのアーキテクチャに
依存した構造を持つアンザッツのことである 量子ビットトポロジーを持つ量子コンピュータ上の
Hardware Efficient アンザッツ の例として,
隣接している量子ビット間でのみ
2 量子ビットゲートが作用している
アンザッ ツが挙げられる一般的に
定義したアンザッツ URPQC (γ) の一例 一方で, problem-inspired アンザッツの例として,
粒子数保存アンザッツがある
粒子数保存アンザッ ツとは,
入力量子状態の粒子数を保存するアンザッツで,
A ゲートと呼ばれる 2 量子ゲートを繰り返し
作用す演算子に対する ∏ の積の
順序は取ることにする. 変分量子アルゴリズム
• RZ(－φ) RY (－θ)
(a) A ゲート A (θ, φ) の RY ゲート, RZ ゲート, CNOT ゲートによる分解.
(b) 粒子数保存アンザッツ. A ゲートを繰り返し用いる
A ゲートと粒子数保存アンザッツの構造.
RY (θ) RZ(φ) •
A (θ0,0, φ0,0)
A (θ1,0, φ1,0)
A (θ2,0, φ2,0)
A (θ0,2, φ0,2)
A (θ1,2, φ1,2)
A (θ2,2, φ2,2)
A (θ0,1, φ0,1)
A (θ1,1, φ1,1)
A (θ2,1, φ2,1) 粒子数とは, 量子状態の計算基底による表示において,
1 が立っている量子ビッ トの個数のことで,
古典コンピュータでいう popcount に対応する量
|0111⟩ の粒子数は 3 前提知識によってアンザッツで表現すべき量子状態の粒子数が
既にわかっている場合には, 粒子数保存アンザッツは有用
粒子数保存アンザッツを用いた
変分量子アルゴリズムのアンザッツの表現力 自らの設計したアンザッツによって, 解きたい問題の解が表現できているかは
一般には分からない. しかし ながら, 個々のアンザッツの性質を定量化して
評価することを考えることで, その特性を理解しようとする アンザッツの性質の指標として, エンタングルメント容量表現力表現度という
量が提案されている n 量子ビット系 H に作用するアンザッツ U : Γ → U (2n) の
表現力について アンザッツ U (γ) を量子状態 ρ ∈ S (H) に作用させることで,
量子状態 U (γ) ρU (γ)† を得ることができる. γ を
様々な値に変化させることで, U (γ) は
様々なユニタリ演算子となりうるので, U (γ) ρU (γ)† は
また様々 な量子状態を表現しうる γ が Γ の中の様々な値をとりうるという意味で分布 ν*2を持つ
Γ-値確率変 数と見なすことにすると, U (γ) もまた確率変数と
見なすことができる 一方で, U (2n) 上の “一様分布” アンザッツ U : Γ → U (2n) は連続であると仮定する.
この仮定は合理的である. というのも, 変分量子アルゴリ
ズムに用いられる多くのアンザッツは, 回転ゲートと
パラメータを持たないゲートから成るので,
U (γ) の行列表示の各成分は, γ1, γ2, . . . , γNp に依存する
三角関数たちの線型和, つまり連続関数 よって, U (γ) の各成分が連続なので, ボレル可測，
つまり確率変数であるさらに, U (γ) の各成分が
確率変数ならば, U (γ) も確率変数となる 変分量子アルゴリズム 34
ハール分布に従う確率変数 V を考えてみると,
V ρV † はユニタリ時間発展によって作り出せる
全ての量 子状態を表現しうる 確率変数 V が最も表現能力のあるアンザッツに
対応すると考えることができる
確率変数 U (γ) と確率変数 V の差として,
アンザッツ U (γ) の表現力を定義していくのが
良さそうで ある. 確率変数 U (γ) と確率変数 V の差に対応する量として,
線型写像 A(t) : L (H⊗t) → L (H⊗t) を U(γ),ν
A(t) (·):= U(γ),ν
リ t - デザインであるという*5. そして, A(t) U(γ),ν
を用いて, 入力 X ∈ L (H) に対して, アンザッツ U (γ) の表
現力 ε(t) U(γ),ν
(X) を
⊗t μH(dV)V⊗t(·) V† －
⊗t ν(dγ)U(γ)⊗t(·) U(γ)† (4.3)
U(2n)
で定義 t は自然数,
ν はアンザッツのパラメータ γ の分布,
μH はユニタリ群 U (2n) 上のハール
測度とした. 任意の X ∈ L (H⊗t) に対して
A(t) (X) = 0 であるとき, U (2n)-値確率変数 U (γ) はユニタ U(γ),ν
( t ) で定義 , ∥·∥p は, シャッテン p - ノルムとした*6.
⊗ t X
( t )
εU(γ),ν (X) := AU(γ),ν
(4.4) アンザッツの表現力 ε(t) (X) は,
一般化フレームポテンシャルという量と
関係づけられる [39]. アンザッ U(γ),ν
ツ U (γ) とそのパラメータ γ の分布 ν,
X ∈ L (H) に対して, 一般化フレームポテンシャルを,t
F(t) (X) := ν (dγ) ν (dγ′) Tr XU (γ′)† U (γ) X†U (γ)† U (γ′)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
U(γ),ν U (2n)-値確率変数 U (γ) が,
ハール分布 μH に従うとき,
U(2n) とする. すると, X ∈ L (H) に対して,
が成り立ち, アンザッツの表現力 ε(t) U(γ),ν
F(t) U(γ),ν
U(2n)
(X) － F(t) (X) ≥ 0 H
F(t) (X) := H
t μH (dV ) μH (dW)Tr XW†V X†V †W
ΓΓ
Γ
(X) と一般化フレームポテンシャルとの関係は,
2
で与えられる*7 アンザッツの表現力は, A(t)
U(γ),ν
ε(t) U(γ),ν
(X) =
F(t) (X) － F(t) (X) U(γ),ν H
への入力 X に依存する量だった. そこで, 入力に依らない
アンザッツの表現力を定義 2 つの線型写像 L (H⊗t) → L (H⊗t), μ (dV ) V ⊗t (·) V †⊗t
U(2n) H
と ν(dγ)U(γ)⊗t(·)U(γ)†⊗t の差を,
アンザッツの表現力として採用する.
一般に, 2つの線型写像 変分量子アルゴリズム
オプティマイザーがパラメータを更新していく様子.
パラメータ更新を繰り返すことで, コスト関数 C (γ) の最小 点を求める.
L (H1) → L (H2) 同士の差を定量化するノルムとして,
ダイアモンモンドノルム ∥·∥⋄ という量が知られ
アンザッツ U (γ) の表現力 ⋄ε(t) を定義 アンザッツ U (γ) の表現力 ε(t)
U(γ),ν
εU(γ),ν := AU(γ),ν⋄ (4.9) (X), ⋄ε(t) は,
最も表現能力のあるユニタリ V との差として定義した
U(γ),ν⋄(t) (t)
U(γ),ν 表現力の値が小さいほど, アンザッツがより豊かな
表現能力を持つという点に注意しなければならない.
以後, 本論文では表現力と表現能力を厳密に使い分ける.
4.1.3 オプティマイザーとは, 関数の最小点を求める
アルゴリズムのことをいう. 多くのオプティマイザーは,
関数のパラメータの更新を繰り返すことで関数の最小点 第 t 回目のパラメータ更新を 第 t イテレーションと呼び,
第 t イテレーションにおけるパラメータの値を γ(t) と書く.
変分量子アルゴリズ ムでは, 量子コンピュータ上で
計算したコスト関数の値やその勾配の値をもとに,
古典コンピュータ上でパラ メータの更新 オプティマイザーは, コスト関数の 1 階微分や 2 階微分の情報,
つまり勾配の情報を用いるオプティマイ ザーとコスト関数の
勾配の情報を用いないオプティマイザーに大別 コスト関数の 2 階微分の情報を 用いるオプティマイザーとして,
ニュートン法 が挙げられる. また, コスト関数の 1 階微分の情報を
用 いるオプティマイザーとして, 共役勾配法 [50], L-BFGS 確率的勾配降下法が挙げられる. 一方, コスト関数の勾配の
情報を用いないオプティマイザーとして, Nelder-Mead
COBYLA (Constrained Optimization By Linear Approximation optimizer)
SPSA (Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation)
ベイズ最適化 逐次最小化アルゴリズム , Rotoselect 特に, 逐次最小化アルゴリズムと Rotoselect は,
変分量子アルゴリズムのコスト関数に特化した
オプティマイ ザーである.
ダイアモンドノルム変分量子アルゴリズム
変分量子アルゴリズムにおける確率的勾配降下法と
逐次最小化アルゴリズムについて 確率的勾配降下法変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配を
いかにして計算するかを述べる. パラメータ γ の第 j 成 分 γj に
関するコスト関数 (4.1) の勾配は,
∂C(γ) ∂⟨Oi⟩γ ∂fi(x) ∂γ = ∂γ ∂x
(4.10)
j i j
x=⟨Oi⟩γ ⟨Oi⟩γ := Tr OiU (γ) ρiU (γ)† この勾配を計算するには,
各 i に対して, ⟨Oi⟩γ と ∂γj ⟨Oi⟩γ を計算すれば良い.
⟨Oi⟩γ は, 量子状態 ρi にアンザッツ U (γ) を作用させて,
物理量 Oi を測定す ることで得られる 一方, ∂γj ⟨Oi⟩γ は, 例えば差分法を用いることで
近似的に求めることができる.
ア ンザッツの構造によっては, パラメータシフトルール と呼ばれる方法で
∂γj ⟨Oi⟩γ を正確に求めるこ アンザッツとして (4.2) で定義した URPQC (γ) をとり,
いかにして ∂γj ⟨Oi⟩γ をパラメータシフ
トルールによって求めるかを述べる.
このとき, ⟨Oi ⟩γ = Tr Oi URPQC (γ ) ρi URPQC (γ )†
実数 a1, a2 a3 を用いて,
⟨Oi⟩γ = a1 sin2γj + a2 cos2γj + a3
と表す γ の第 j 成分 γj をそれぞれ γj ± π/4 に置き換えたものを γ±
∂ ⟨Oi⟩γ = ⟨Oi⟩γ+ － ⟨Oi⟩γ－ (4.12) ∂γj
を得る. つまり, 量子状態 ρi に
アンザッツ U (γ±) を作用させて,
物理量 Oi を測定して得られた結果 ⟨Oi⟩γ± から ∂γj ⟨Oi ⟩γ を
正確に計算する ⟨Oi ⟩γ± を有限回の物理量の測定によって推 定するので,
その真の値を得ることはできず, 統計誤差が生じることに注意しておく.
このように ∂γj ⟨Oi⟩γ を 計算する方法をパラメータシフトルール URPQC (γ) のような構造を持つアンザッツの構造 に関する
パラメータシフトルールを考えたが, より一般的なアンザッツの構造に対する
パラメータシフトルー ルも提案 勾配の情報を用いる代表的なオプティマイザーの 1 つとして,
勾配降下法が挙げられる. 勾配降下法とは, コ スト関数のパラメータを
γ(0) に適当に初期化した後
γ(t+1) ← γ(t) － α∇C(γ(t)) (4.13)
のように, 勾配方向にパラメータの更新を行うことを
何度も繰り返すことで, コスト関数の最小点を求める
ア ルゴリズムである
α ∈ R を学習率という. 上述したように,
変分量子アルゴリズムにおけるコスト関
は, γj に依らない (4.11) 章 変分量子アルゴリズム 37
数の勾配の評価では, 有限回の物理量の測定によって
∇C γ(t) を推定していることに注意しなければならな い.
このように, コスト関数の勾配の値を推定する勾配降下法を
一般に確率的勾配降下法という 学習率 α はイテレーション t に依らない定数としていたが,
Adam オプティマイザー のように, 学習率 α を
イテレーション t ごとに更新させることで,
オプティマイザーの収束性を向上させることができる 逐次最小化アルゴリズムは, 変分量子アルゴリズムの
コスト関数が, ある 1 つのパラメータに注目すると
単純な関数形で書けるという性質を生かした
最適化アルゴリズムである コスト関数が, 4.2 で述べる変分量子固
有値ソルバーや Fixed input state compiling と
呼ばれる変分量子アルゴリズムのように,
CRPQC (γ) = Tr OURPQC (γ) ρURPQC (γ)† (4.14) で
表せるとする. アンザッツは (4.2) で定義した URPQC (γ)
この設定の下, パラメータ γj に
注目してコスト関数の解析的な性質
第 t イテレーションにおけるコスト関数の値 C おいて
, γj 以外のパラメータを固定した関数
RPQC
γ(t)に (4.15)
は, γ
C(t) (γj ) := CRPQC (γ)| (t) j γj′=γj′
に依らない実数 a(t), a(t), a(t) を用いて, j 123
′
C(t) (γ ) = a(t) sin2γ + a(t) cos2γ + a(t) jj1j2j3
(4.16) と表すことができる 実数 a(t), a(t), a(t) は, C(t) (γ ) の独立な
3 点の値から計算できる. 例えば, 独立な
123 jj3点として,γ(t),γ(t)+π,γ(t)－π を選べばよい.
すると,C(t)(γ )=a(t)sin2γ +a(t)cos2γ +a(t) は簡単
jj4j4 jj1j2j3 な三角関数なので, その最小点を容易
に求める コスト関数のあるパラメータ γj について注目してみれば,
C(t) (γj) の最小点を求めることができる.
この最小点を求めるステップを, 注目する j
パラメータ γj の添字 j を変化させて何度も繰り返すことで,
コスト関数の最小点を探索するアルゴリズムを
逐次最小化アルゴリズムという 逐次最小化アリゴリズムは, 既存のオプティ マイザーに比べ,
コスト関数の推定における統計誤差に対して剛健かつ収束が
速いことが数値計算により確か められている アンザッツとして URPQC (γ) を考えたが, より一般的なアンザッツに拡張して考え ることができる
例えば, アンザッツとして粒子数保存アンザッツを用いた場合の逐次最小化アルゴリズムに
雑音のある NISQ デバイス上で逐次最小化アルゴリズムが有用であることを議論する. 変分量子アルゴリズ ムのコスト関数を, より一般に
C (γ) = Tr OU (γ) ρU (γ)† (4.17) とし,
第 t イテレーションにおけるコスト関数の値 C γ(tにおいて,
γj 以外のパラメータを固定した関数を
C(t) (γj) とする. 逐次最小化アルゴリズムでは,
パラメータの添字 j を変化させて C(t) (γj) の最小点を求め jj
(j ̸=j) 変分量子アルゴリズム 40
で定義される. ここで, |ψ (γ)⟩ = U (γ) |ψ0⟩ は, 初期状態 |ψ0⟩ に
アンザッツ U (γ) を作用させて得られる量 子状態で, 試行状態という.
試行状態は n スピン系の量子状態であるから, 2n 次元の複素内積空間の
単位ベク トルで表現される. 試行状態を愚直に古典コンピュータ上で
表現するには O(2n) ビットが必要であるが, 量子 コンピュータ上であれば
n 量子ビットで良い 変分量子固有値ソルバーでは, 古典コンピュータ上で は表現しきれない程に
次元の大きい複素内積空間の試行状態から基底状態を探索することができよう.
4.2.2 Fixed input state compiling
Fixed input state compiling (FISC) とは,
n 量子ビットの状態 |ψ0⟩ に作用する V と同等の計算を行う量 子ゲートを求める
変分量子アルゴリズムである [22]. すると, U (γ) をアンザッツすれば, FISC の目的は
コスト関数 Cglobal (γ) = －F 理量
V |ψ0⟩ , U (γ) |0⟩
を最小化することで実現できる 関数は, 物V |ψ0⟩ = U (γ) |0⟩⊗n (4.21)
を満たす γ を求めることにある.
2 つの量子状態 V |ψ0⟩, U (γ) |0⟩⊗n 間の近さは,例えば,
忠実度 F V |ψ0⟩ , U (γ) |0⟩⊗n で定量化される. したがって, (4.21) を近似的に満たす U (γ) を求めるには,
忠実度を最大化する γ を求めればよい. これは,
⊗n2
Oglobal :=－(|0⟩⟨0|)⊗n (4.22)
を用いて, Cglobal (γ) = Tr [Oglobal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] と書ける
|ψ (γ)⟩ := U (γ)† V |ψ0⟩ とした. Cglobal (γ) は, |ψ (γ)⟩ の
n 量子ビット全てを測定して |0⟩⊗n を得る確率に, －1 をかけることで得られる.
し たがって, Cglobal (γ) は －1 以上 0 以下の値をとりうる.
FISC では, Cglobal 以外のコスト関数を定義することができる. 物理量 Olocal を, n－1
Olocal :=－n
I ⊗|0⟩⟨0|⊗I
(4.23)
1 ⊗j ⊗n－j－1
j=0
として, FISC のコスト関数を
Clocal (γ) = Tr [Olocal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] で定義 すると, Clocal (γ) は, －1
以上 0 以下の値をとり, γ が (4.21) を満たすときにのみ最小値 －1 をとる.
Clocal (γ) は, |ψ (γ)⟩ の第 j 量 子ビットのみを測定して |0⟩ が得られる
確率の, j = 0, 1, . . . , n － 1 に対する平均に －1 をかけることで得られる 変分量子アルゴリズム 38
Algorithm 1 逐次最小化アルゴリズム
Require: コスト関数は, (4.14) で定義した CRPQC (γ) とする.
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
パラメータの初期値 γ(0) を定める. while t < tmax do
for j = 1,2,...,Np do for j′ = 1,2,...,Np do
if j′ = j then
C(t) γ(t) , C(t) γ(t) + π , C(t) γ(t) － π を推定し,
a(t), a(t), a(t) を求める. jjjj4jj4 123
γ(t+1) ← arg min a(t) sinγ + a(t) cosγ + a(t) j 1j2j3
else
(t+1) γj′
10: end if 11: end for 12: t←t+1 13: end for
14: end while
← γj′
γj (t) 変分量子アルゴリズムのコスト関数には, バレンプラトーと呼ばれる勾配消失問題が起こりうる.
変分量子 アルゴリズムで解く問題のサイズ, つまり用いる量子ビットの数に対して,
指数的にコスト関数の勾配が消失 してしまう問題 変分量子アルゴリズム 41バレンプラトーを引き起こす量子ビット数 n の
変分量子アルゴリズムにおいて, 必要な物理量の測定回数 Ntotal
勾配の情報を用いるオプティマイザー (gradient descent) に限らず,
勾配の情報を用いないオプティ マイザー (Nelder-Mead, Powell, COBYLA) についても,
量子ビット数に対して指数的に多くの物理量の測定が 必要 数やその勾配の推定のためには, 量子ビットの数に対して指数的に大きな回数の物理量の測定が必要であり,
最適化を効率的に行うことはできない. つまり, コスト関数が満たすべき条件 (C4) を満たさない. 変分量子アルゴリズムにバレンプラトーが生じるのか否かの議論デザインをなす程に十分深い
RPQC を用いた変分量子アルゴリズムにはバレンプラトーが 起こる 量子ビットの数 n に対して O (log n) 程の深さの Alternating Layerd Ansatz という
クラスのア ンザッツを用いた変分量子アルゴリズムについては, (4.22) で定義した
Oglobal のように全ての量子ビットに 作用するような物理量 O を用いる場合には
バレンプラトーが起こる一方で, (4.23) で定義した Olocal ように 一部の量子ビットに
作用するような物理量 O を用いる場合にはバレンプラトーが起こらないことが示されて いる
バレンプラトーが起こらないアルゴリズムの例として, 量子畳み込みニューラルネットワー クや
アンザッツがツリーテンソルネットワーク構造を持つ量子ニューラルネットワーク
バレンプラトーの影響を軽減するためのアルゴリズムも提案され始めている
パラメータの一部をランダムに初期化し, 残りのパラメータをアンザッツが恒等演算子と
なるように選ぶパラ メータ初期化の手法である
アンザッツのパラメータを層ごとに最適化していく手法が提案 変分量子アルゴリズムにおける
逐次最小化アルゴリズムの疑似コード.
ることを繰り返す. そのアルゴリズムの
変分量子アルゴリズムを NISQ デバイ ス上で
実装するためには, アンザッツを U (γ) = UNg UNg －1 . . . U2U1 の
ようにハードウエア上で実装可能な 基本ゲートに分解する必要があった.
そこで, NISQ デバイスへの雑音のモデルとして, (3.25) で定義した
Np
N = ⃝ (Dpi ◦ Ui) (4.18)
j=1
なるモデル CPTP 写像 Ui (·) = Ui (·)Ui† とし, Dpi (pi ∈ (0, 1]) は
分極解消チャンネルとし た. この雑音のモデルに対して,
逐次最小化アルゴリズムが剛健であることを裏付ける
次の定理 4.1 が成立す る. 定理の証明は, 付録 F.2 に述べた 定理 4.1 (4.17) で定義したコスト関数 C (γ) を考える. (4.18) で
定義した雑音のモデル N の下で計算される コスト関数を C ̃ (γ) とする.
このとき, 物理量の期待値の推定のための測定回数が無限回であならば,
任意の 自然数 t に対して, 逐次最小化アルゴリズムによって求めた
第 t イテレーション後の C (γ) の最適点と C ̃ (γ) の最適点は一致する 変分量子アルゴリズム 39
Algorithm 2 一般的な逐次最小化アルゴリズム Require:
コスト関数は (4.17) の形で表される.
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
10: 11: 12: 13:
パラメータの初期値 γ(0) を定める. while t < tmax do
for j = 1,2,...,Np do for j′ = 1,2,...,Np do
if j′ = j then
γ(t+1) ← arg min C(t) (γj)
else
(t+1) γj′
end if end for
t←t+1 end for
end while
(t) ← γj′
jj γj 一般的な逐次最小化アルゴリズムの疑似コード.
4.2 変分量子アルゴリズムの応用 4.2.1 変分量子固有値ソルバー
変分量子固有値ソルバー (Variational Quantum Eigensolove, VQE) は,
量子系の基底状態とその固有値 (基底エネルギー) を求める
変分量子アルゴリズムである 変分量子固有値ソルバーでは, 量子コンピュータ上で量子系を表現する必要があるので,
対象となる量子系 をスピン系にマッピングする. 例えば, ジョルダン・ウィグナー変換 や
ブラヴィ・キタエフ変換 によって, フェルミオン系をスピン系にマッピングできる.
こうして, 対象となる量子系を n スピン系にマッ ピングしたハミルトニアン H とすると,
一般にハミルトニアン H は,
(4.19)
(4.20)
n－1 3 n－1 3iiijii
H = hασα + hαβσασβ +··· i=0 α=1 i,j=0 α,β=1
のように表される
各 hi , hij 等は実数, σi := I⊗i ⊗ σ ⊗ I⊗(n－i－1) とした. ααβ α α
変分量子固有値ソルバーのコスト関数は,
CVQE (γ) = ⟨ψ (γ) |H|ψ (γ)⟩ ケモナー、虫やモンスターに性欲を抱く方たちは移動願います
こちらなら気持ち悪がられずに思う存分語り合えます 専用スレ立ったならここは人型ぬい専用ってことでええんか
今後は人外はスレチ扱いやな 506+507の発言からもまるで反省していない様です。508さん。逆ですよ。あなたたちがケモナー板に移動するのです。
残念ながら昨日よりケモナーだけでなくすべてのぬいドーラーが粛清対象となりました。
イキがって失う居場所が無くなるのはみなさんの方です。口は災いの元。無用なレスは天に唾を吐く行為です。馬鹿な人たちですね。
今後、ちゃんねるに立てられるすべての等身大ぬいドールは封印します。過疎化が進行していた掲示板です。潔く封鎖しましょう。
どうやら癌はケモナー愛好の変態悪戯荒らしさんでは無いと思われます。スレに依存して棲みついている自称正義のご意見番の住人が真の悪ですね。
過去のスレで、いつも過激な正義面して過剰に反応しているエセ正義人ですよ。分かるでしょう？分からなければ過去スレを読みましょう。
荒らしが現れる前に必ずこの病人が構っています。荒らしでは無い場合でも独断と妄想で悪だと認定している様です。
悪側や荒らし側はある意味でが愉快犯ですので放置しておいても問題ありません。スルーしていれば自然に消えるものです。
この板に依存した病んだ偽正義感の人は常に張り付いてレスを監視している様子です。
この偽善者は荒らしを無理やり作り出して煽り扇動しています。どんな小さな事にも執着してトラブルに発展させる資質があるようです。
無意識でしょうが、自覚していないだけに病みは深刻です。正義面して注意喚起が生き甲斐なのです。
悪気が無いにしても、いい気になって、興味本位で、ポケモンや、動物のケモナー画像を最初に貼った輩も粛清します。
自分の嗜好で無いのにゲテモノ画像や動物画像を掲示板に貼って自己顕示欲や承認欲を満たしています。
この様な勘違いした自称知識人ぶった変態は退治しなければなりません。変態画像を収集して需要のある日や変態の登場を待っているのは異常です。
正義が歪んだ模倣犯と言えるでしょう。
荒らしをわざわざ産み出してる輩が棲む掲示板は封印が必要です。今後、どんな内容であれ、新しく立った板は、毎日100量子レスして潰します。
ちなみに僕はケモナー板にはアクセスしません。つまりキモい画像を見る事はありません。ケモナーのスレには貼りません。
このスレの住民が全員ケモナーのスレに引っ越して下さい。僕は等身大ぬいぐるみ ラブドール 6〜10ぐらいまでは量子力学で埋める予定です。
ワイフワークなのでほっといて下さい。 まだこっちのテンプレにけものひめ残ってるからケモ話題は出てもおかしくないかもな
完全に分けたいのなら次スレでテンプレ修正するのがいいんじゃないかね ○○がキモいとスレ趣旨のものにイチャモンをつける
↓
○○の話があるならとスレを荒らす
↓
○○のスレを立て、スレから排除する
これ、全て荒らしの自演で可能なんだよね
つまりだ、今後も気に入らないものが出れば同様なことができるんだわ スレ分けても荒らし残ったら意味無いし管理するらしい避難所の方がマシじゃね？ ほらね
ただ荒らしたいだけ
頭悪い屁理屈並べるだけ
何しても無駄 どうせ過疎スレだし
たまに煽って人生無駄に消費させるのもまた良し ほぼビジュアルだけしか無い（見た目じゃ分からない要素はほとんど設定されてない）キャラの場合、人間と人外の境目なんて定義できないだろ
ケモ耳とかエルフ耳とかツノとか青肌とかも人外っちゃ人外だし、極論「現実の人類と比べて目がデカすぎるから人外だ」とかだって言える
自分好みの物以外の話題は絶対に見たくないって言うなら匿名掲示板は見ない方がいい 匿名掲示板だろうが
自分の立ち位置くらい普通に空気でわかるだろ
それがわからないプライドだけ高いアホがいるからこうなる >>516
うわぁいかにも人間のくずって感じな書き込みだわぁ
こうはなりたくないね
終わってるｗ フィクション、ファンタジーのものだしエルフは現実において人の枠には入らない 問題はケモナーにあると言うより、普通に見て顔がキモいか可愛いだけだと思う。
日本のアニメに登場する異世界ファンタジーのエルフは可愛いから全然大丈夫だと思う。
けものフレンズが可愛いケモナーの基準になっている。
欧米のホラー系のケモナーはフリークス造形で顔もグロいし
センスが日本のアニメキャラとまるで違うからダメなだけ。 同じ穴の狢があれとは違うそれとは違うと必死になってるわ CRPQC (γ) := Tr OURPQC (γ) ρURPQC (γ)† (4.24)
を例とって, バレンプラトーについてより詳細に議論する
ここで, ρ は n 量子ビットの量子状態とし, URPQC (γ) は
(4.2) で定義したアンザッツである. 4.3.1 で, NISQ デバイスの
雑音がないという仮定のもとに 引き起こされる
バレンプラトーについて 4.3.2 で, 外界からの NISQ デバイスへの雑音が
コスト関数の 勾配に及ばす影響を議論する.
4.3.1 noise-free バレンプラトー
(noise-free) バレンプラトーは, 形式的には
次のように定義される 定義 4.2 Γ-値確率変数 γ は一様分布に従うとする
n 量子ビットの変分量子アルゴリズムのコスト関数を
C:Γ∋γ→C(γ)∈Rとし,コスト関数CはC1 級とする
このとき,C(γ)がパラメータγj に関してバ レンプラトーで
あるとは, パラメータ γj に関するコスト関数の 1 階微分の
∂γj C (γ) の期待値が 0 で，分散が ある b > 1 を用いて
O (b－n) でスケールする ∂C (γ)∂C (γ) －n Eγ ∂γ =0, Vγ ∂γ =O b
jj
定義 4.2 にチェビシェフの不等式 (補題 A.15) を
用いると, 任意の δ > 0 に対し,2ν ∂C(γ)≥δ ≤ 1E
∂C(γ) = 1V ∂C(γ) =O b－n∂γj δ2 γ ∂γj δ2 γ ∂γj
ここで, ν は γ の従う一様分布とした. (4.26) は,
Γ から一様に γ を選んだ時に, その点での γj に
関 する勾配の大きさが δ 以上である確率が,
量子ビットの数 n に対して指数的に減少 量子ビットの数 n が十分大きいと,
コスト関数の定義域 Γ の広い領域で
コスト関数 の勾配がほとんど 0 に
なっていることを示している
バレンプラトーが生じるようなコスト関数には
(narrow gorge) が生じる コスト関数 CRPQC (γ) がバレンプラトーか否か
定義 4.2 に基づき, γ を一様分布 ν に従う確率変数と
みなし, γj に関するコスト関数の勾配の期待値と
分散を計算する
URPQC (γ) を注 目しているパラメータ γj に
依存する部分と依存しない部分に分解して
j－1
j′=1
コスト関数は C1 級と仮定 ∂γj C (γ) が連続であれば,
∂γj C (γ) が確率変数になる
UR (γR = (γ1,γ2,...,γj－1)) := Wj
Uj′ (γj′)Wj′ (4.27) 変分量子アルゴリズムのコスト関数に生じる
バレンプラトーのイメージ.
量子ビットの数 n に対して指数的に,
コ スト関数の平坦な領域が増大する. V
γ
∂CRPQC (γ) ∂γj
(4n － 1)2 2 Tr[X]2
Np
UL γL = (γj+1,γj+2,...,γNp) :=
として,
URPQC (γ ) = UL (γL ) Uj (γj ) UR (γR ) とする コスト関数のパラメータ γj に関する勾配は,
∂CRPQC (γ) = Tr OUL(γL)Uj,γj (γj )UR(γR)
ρUR(γR)†Uj (γj )†UL(γL)† ∂γj †††
+Tr OUL(γL)Uj(γj)UR(γR)ρUR(γR Uj,γj(γj) UL(γL) Uj,γj (γj) := ∂γjUj(γj)
, γR, γL はそれぞれ確率変数であり,
それらに依 存する UR(γR), UL(γL) もまた
確率変数 U (2n)-値確率変数 UR(γR), UL(γL) が
ユニタリ 2 - デザインである程に十分な
表現能力を持つ
j′=j+1
Uj′ (γj′)Wj′
(4.28)
∂CRPQC (γ)
Eγ ∂γ =0
j n+1 (2) ∆2n
(2) (2)
(ρ) ∆2n (O) ∆2n (Vj )
= 2
∆d (X):=Tr X － d
(2)
(4.32) O を (4.22) で定義した Oglobal とし, ρ を
純粋状態とし, Vj をトレースレスとすると,
(2) n (2) (2) －n
∆2n (Vj)=2 ,∆2n (O)=∆2n (ρ)=1－2 であるから,
∂CRPQC (γ)
1 －n
n 2 =O 4 (4.33)
Vγ ∂γ
となる. コスト関数 CRPQC (γ) の勾配の期待値が
0 であり, 分散が量子ビットの数 n に対して
指数的
=
2(2 +1)
j
に減少していくので, 定義 4.2 より
バレンプラトーが生じている バレンプラトーが生じ ていることを導くのに,
U (2n)-値確率変数 UR(γR), UL(γL) が
ユニタリ 2 - デザインである程に十分な
表現能 力を持つという仮定 変分量子アルゴリズム 44
URPQC (γ) =
図 4.9: URPQC (γ) の UR (γR), Uj (γj ), UL (γL) への分解.
図 4.10: 変分量子アルゴリズムのコスト関数に生じる
noise-induced バレンプラトーのイメージ.
量子ビットの数 n に 対して指数的に,
コスト関数が全体的に平坦になっていく.
4.3.2 Noise-induced バレンプラトー
NISQ デバイスは誤り訂正機能を持たないので,
外界からの雑音の影響を受ける 外界からの雑音の 影響によって,
変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配が
どのようになるかを議論する.
UR (γR)
NISQ デバイスへの雑音のモデルとして,
C ̃PQC (γ) = Tr [ON (ρ)]
で表せる 命題 3.10 より, U(·) =
URPQC(γ)(·)URPQC(γ)† とし, p := Np j=1
N =Dp ◦U
pj とすると,
(4.35)
(4.36)
Uj (γj)
UL (γL)
Np
N=⃝ Dpj ◦Uj (4.34)
j=1 Uj(·) = Uj (γj)Wj(·)Wj†Uj (γj)† とし, Dpj (pj < 1) は
分極解消チャンネルと した. 雑音のモデル N は,
アンザッツを構成する各量子ゲート Uj (γj ) が
作用する度に, 分極解消チャンネル Dpj が
作用するというモデルとなっている この雑音のモデルはの下でのコスト関数 C ̃PQC (γ) は,
変分量子アルゴリズム 45 である. したがって,
雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) は,
C ̃PQC (γ) = Tr [O(Dp ◦ U) (ρ)] = pC (γ) + 1 － p Tr [O] (4.37) 2n
となる. |p| < 1 であるから, 雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) は,
雑音がない場合のコスト関数 C (γ) に比べて, p 倍縮小される このとき, 雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) の
パラ メータ γj に関する勾配は, q := maxj=1,2,...,Np |pj | (< 1) として,
∂CPQC (γ) = p∂CRPQC (γ) ≤ qNp ∂CRPQC (γ) (4.38)
Np = Ω (n) とすると, 雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) の
勾配の絶対値が, 雑音からの寄与 qNp により, 量子ビットの数 n に対して
指数的に減衰 雑音の影響に よって引き起こされる勾配消失問題を,
noise-induced バレンプラトーと呼ぶ
noise-induced バレンプラトーと定義 4.2 に定義した
バレンプラトーは異なる概念であることに注意する.
定義 4.2 に定義したバレンプラトーを, noise-induced
バレンプラトーと区別して, noise-free バレンプラトー
ということもある. noise-free バレンプラトーは,
パラメータ空間のほんとんどの領域コスト
関数の勾配が十分小さくなる現象であった
noise-induced バレンプラトーは,
コ スト関数全体が平坦になっていく現象である NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション 5.1 はじめに
量子コンピュータは, その量子ビットの数 n に対して指数的に
大きな O (2n) 次元の情報を表現できる. 一 方, 古典コンピュータは,
その古典ビットの数 n に対して O (n) 次元の情報を表現 この量子コンピュー タの持つ広大な空間が, 古典コンピュータでは
実現不可能な程にサイズの大きい系の時間発展シミュレーショ ンを
実現する可能性を秘めている.
最も基本的な量子コンピュータ上での系の時間発展シミュレーションでは,
トロッター分解によって系の時 間発展演子に対応する量子ゲートを
量子コンピュータ上で実装する トロッター分解に依る手 法では, シミュレーション時間に比例して,
必要な量子ゲートの深さが深くなる. つまり, 精度良く計算可能な
量子回路の深さが限られた NISQ デバイス上での長時間の時間発展
シミュレーションは困難 NISQ デバイス上での長時間の時間発展シミュレーションを可能にする,
Restarted Quantum Dynamics (RQD) と呼ばれるアルゴリズムが提案
RQD は, Fixed Input State Compiling (FISC) [22, 23] と呼ばれる
変分量子アルゴリズムを繰り返し用いる FISC とは, 量 子ビットの状態に作用するユニタリと同等の計算を行う
量子ゲートを求める変分量子アルゴリズムであった. RQD では,
FISC を用いて, 系の時間発展演子に対応する量子ゲートを NISQ で
実行可能な深さの量子ゲート に近似する. こうして, NISQ 上での
長時間の時間発展シミュレーションが可能になることが期待される RQD を用いることで, 実際の量子コンピュータ上において,
2 サイトの格子シュウィン ガーモデル の長時間の
時間発展シミュレーションを実現した. サイズの小さな系に対して,
RQD が単なるトロッター分解による時間発展シミュレーションに
比べて有用であることを実証した古典コンピュータ上で
シミュレーション不可能な程にサイズの大きな格子シュウィンガー
モデルに対 して, RQD が効率的に実行可能かを議論すべく,
粒子数保存アンザッツを用いた FISC のコスト関数の解析 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
トロッター分解に依る時間発展シミュレーションについて述べ
る. 5.3 では, RQD に依る時間発展シミュレーションについて
5.4 では, RQD に依る格子シュウィン ガーモデルの長時間発展
シミュレーションをいかにして実現したかを述べる. 5.5 では,
サイズの小さな格子 シュウィンガーモデルに対する,
トロッター分解と RQD に依る長時間発展シミュレーションの結果を述べる.
5.6 では, サイズの大きな格子シュウィンガーモデルに対して,
RQD に依る長時間発展シミュレーションが効 率的に
実行できるかについて述べる. 5.7 では,
本章で得られた結果について議論 5.2 トロッター分解
ハミルトニアン H で表される系の実時間発展を
量子コンピュータ上で行うことを考える.
量子コンピュー タ上でハミルトニアンを表現するために,
考えたい系のハミルトニアンをスピン系のハミルトニアン
Hspin へ と変換 初期状態 |ψ(0)⟩ を量子コンピュータ上で準備し,
時間発展演算子 e－iHspinT を量子ゲートに
マッピングすることができれば,
時間発展シミュレーションが可能 量子コンピュータ上 では対象となる量子ゲートを,
いくつかの基本ゲートに分解することで実装するので,
必ずしも時間発展演算 子 e－iHspinT それ自身を
量子ゲートとして実装できるとは限らない e－iHspinT をトロッター分解と呼ばれる方法で,
近似的に複数の基本ゲートに分解することを考える.
トロッター分解では, まず, トロッターステップ数 M として,
e－iHspin T = e－iHspin ∆T M と分解する そして, 時間 ∆T の時間発展演算子 e－iHspin∆T を
量子ゲートに分解することを考える. さらに, ハミルトニアン
Hspin を Hspin = Hi と分解する. ここで, 量子コンピュータ上で
e－iHi∆T が実装できるようにハミルトニ iアンを分解する 全ての j, k に対して [Hj,Hk] = 0 であれば, e－iHspin∆T =
e－iHi∆T が成り立つ. iしかしながら, 一般に [Hj,Hk] ̸= 0 (j ̸= k) であり,
このとき,－iHspin∆T －iHi∆T 2 2 = e +O (∆T) =Utrot(∆T)+O (∆T)ieが成り立つ ここで, e－iH ∆T を O (∆t) のオーダーで近似した
量子ゲートを Utrot (∆T ) := e－iHi ∆T
e－iHspinT =(e－iHspin∆T)M =(Utrot(∆T))M +O(∆T)2(5.2)
であるから,M個のUtrot(∆T)を作用させることで,
欲しかった時間発展演算子e－iHspinT をO(∆T)の精度 で,
量子コンピュータ上で実現できる トロッター分解によって, NISQ デバイス上で
時間 T = M ∆T の実時間発展シミュレーションを,
O ((∆T )) の精度で行うことを考える M = T /∆T 個の量子ゲート Utrot (∆T ) が必要となる.
トロッターステップ数 M に比例して, 必要な量子ゲートの
数が増えていく. よって, 計算可 能な量子ゲートの深さが
限られている NISQ デバイスでは, トロッター分解による
長時間の時間発展シミュi(5.1) NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
レーションの実現は難しいと言える. この問題を解決しうる,
Restarted Quantum Dynamics (RQD) と呼ばれる 変分量子アルゴリズム
5.3 Restarted Quantum Dynamics
RQD は, 4.2.2 で述べた FISC という変分量子アルゴリズムを
繰り返し用いる. FISC とは, n 量子ビットの 初期状態 |ψ0⟩ に
作用する V と同等の計算を行う量子ゲートを求める目的で,
V |ψ0⟩ = U (γ) |0⟩⊗n を満たす γ を変分的に求める
アルゴリズム FISC では,
Oglobal :=－(|0⟩⟨0|)⊗n n－1
(4.21)
(5.3) (5.4)
Olocal :=－n
I ⊗|0⟩⟨0|⊗I
1 ⊗j
⊗n－j－1
j=0
として, Cglobal (γ) = Tr [Oglobal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|],
Clocal (γ) = Tr [Olocal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] の
2 種類のコスト関数が定義 |ψ (γ)⟩ := U (γ)† V |ψ0⟩ とした.RQD について述べる. 初期状態 |ψ (0)⟩ =
W |0⟩⊗n のハミルトニアン Hspin で表される系の時間発展
シミュレーションを考える. RQD には 2 つのステップ :
(S1) 時間発展演算子に対応する量子ゲートを FISC によって
浅い量子ゲートに近似する
(S2) 近似した量子ゲートを用いて時間発展シミュレーションをする K トロッターステップごとに時間発展演算子を浅い量子ゲートに
近似することを繰り返 す. まず, FISC によって, K トロッターステップの
時間発展演算子 (Utrot (∆T))K を U(γˆ1) に近似する γˆ1 は (Utrot (∆T))KW |0⟩⊗n = U(γ1)|0⟩⊗n を満たすように
最適化されたパラメータである. ただし, FISC に用いる
量子ゲート U(γ1)†(Utrot (∆T))KW は, NISQ が計算可能な
量子ゲートの深さより浅くなけれ ばならないことに注意する こうして, 時刻 K∆T の量子状態 |ψ(K∆T)⟩ を U(γˆ1)|0⟩⊗n に
よって作り出すこ とができる. 同様に, 時刻 2K∆T の
量子状態 |ψ(2K∆T)⟩ を U(γˆ2)|0⟩⊗n によって作り出す これは, FISC によって, (Utrot (∆T))KU(γˆ1)|0⟩⊗n = U(γ2)|0⟩⊗n を
満たすように最適化されたパラメータ γ2 を求めれば よい.
この手続きを繰り返すことで, 時刻 3K∆T, 4K∆T,... における
量子状態を生成するための浅い量子 ゲート U(γˆ3), U(γˆ4), . . .
を用意することができる. そして, (S2) で, U(γˆ1), U(γˆ2), . . .
を |0⟩⊗n に作用させ ることで, 時刻 K∆T, 2K∆T,... の状態を
シミュレーションすることができる RQD の一連 の手続きをRQD において必要な量子ゲートの深さは,
シミュレーション時間に依らな い. したがって, RQD によって,
NISQ デバイス上の長時間発展シミュレーションを実現できる可能性がある. NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
(a) トロッター分解による時間発展シミュレーション.
シミュレーション時間に比例して, 必要な量子回路の深さが深くなる.
(b) RQD による時間発展シミュレーション. (S1) で時間発展演算子に
対応する量子回路を浅い回路に近似したのち, (S2) で近似回路 を
用いた時間発展シミュレーションを行う.
必要な量子回路の深さは, シミュレーション時間に依存しない. RQD を用いて格子シュウィンガーモデルと呼ばれる
モデルの時間発展シミュレーションを 行った.
5.4.1 で格子シュウィンガーモデルについて述べる.
続いて, 5.4.2 で格子シュウィンガーモ デルの時間発展演算子を
粒子数保存アンザッツと呼ばれるアンザッツで近似すること
5.4.3 でコスト関数の最適化に用いた逐次最小化アルゴリズムについて NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション 50
5.4.1 格子シュウィンガーモデル
格子ウィンガーモデルとは, 1 次元空間格子上の
量子電磁力学を記述し, 高エネルギー物理のための
量子アルゴリズムのトイモデルとしてよく用いられる
[73, 74, 75, 76, 77]. n を正の偶数として, 格子間隔 a の n サイ
トの格子ウィンガーモデルのハミルトニアン Hlat は,
n－2 2 n－2 n－1
i†iθ †－iθ ga2j†
Hlat =－2a χje jχj+1 －χj+1e jχj + 2 j=0
Lj +m (－1) χjχj (5.5) j=0
j=0
で与えられる. χj は第 j サイトの質量 m のスタッガードフェルミオンであり,
正準反交換関係
{χ†j,χk} = δjk, {χj,χk} = 0 (5.6)
を満たす. 奇数サイトの非占有状態を電子の存在に,
偶数サイトの占有状態を陽電子の存在に対応させる.
Lj と θj は, 第 j サイトと第 j + 1 サイトのリンク上の
ゲージ場とその共役運動量に対応し, 正準交換関係 [θj,Lk] = iδjk
を満たす. さらに, フェルミオン場とゲージ場の
相互作用の強さは結合定数 g で特徴付けらている.
(5.7)
(5.8)
ゲージ場の自由度 Lj と θj は, Hlat から取り除くことができる. まず, ガウスの法則 † 1 － (－1)j
を境界条件 L－1 = 0 の下で解くと,
Lj －Lj－1 =χjχj － 2 k
k=0
χj →
χ†kχk － 1 － (－1) 2
Lj = Lj をスタッガードフェルミオン χ0, χ1, . . . , χj を
用いて書き表せる
スタッガードフェルミオンを正準反交換関係 (5.6) を保つように
k=0
と再定義することで, θj の自由度を Hlat から取り除くこと Hlat をスタッガードフェルミオンのみを用いて,
n－2 2 n－2j k2 n－1 i† † ga†1－(－1)j†
Hlat =－2a χnχn+1 －χn+1χn + 2 χkχk － 2 +m (－1) χjχj (5.11) j=0 j=0 k=0 j=0
e χj (5.10)
(5.9)
j－1
－iθk 量子コンピュータ上でハミルトニアン Hlat を表現するためには,
Hlat をスピン系の言葉で書き直す必要があった. ここでは,
正準反交換関係 (5.6) を保つように, ジョルダン・ウィグナー変換 [61] j－1
χj → 2
(－iZk) (5.12)
Xj －iYj
k=0
NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
51
k2
を得る 本来 Hspin に加わる恒等演算子に
比例する項を書くことを省いた. 1 サイトあたりの粒子の数
n－2 1
で与えられる. また, 物理量 Q
n－2 j
g2aZk+(－1)
n－1 m j
(XjXj+1 + YjYj+1) + 2 を
数密度と呼ぶことにすると, 数密度 N は,
+ 2
(－1) Zj (5.13)
を用いて,
Hspin = 4a
j=0
2
N = 1 (－1)jZj +1
n－1 1
Q=2 Zj j=0
j=0
2n
j=0
(5.14) (5.15)
への分解を考え
(5.16)
を定義すると, [Hspin , Q] = 0 が成り立つので, Q は電荷となっている.
格子シュウィンガーモデル Hspin の時間発展演算子 e－iHspin ∆T の量子ゲート Utrot (∆T )
Hspin は,
n－1 m(－1)j ga n j HZ:= αjZZj withαjZ:= 2 +4 2－2
j=0
j=0 k=j+1
|0011>
格子シュウィンガーモデルの状態と量子コンピュータ上での状態の対応.
偶数番目の量子ビットの |0⟩ が陽電子の 存在に, 奇数番目の量子ビットの |1⟩ が
電子の存在に対応する. ここで, サイトの添字, 量子ビットの添字は 0 オ リジン スタッガードフェルミオンをパウリ行列に書き直す.
ここで, Xj := I⊗j ⊗ X ⊗ In－j－1, Yj := I⊗j ⊗ Y ⊗ In－j－1,
Zj := I⊗j ⊗ Z ⊗ In－j－1 とした. すると, 奇数番目の
量子ビットの |1⟩ が電子の存在に, 偶数番目の量子ビットの |0⟩ が
陽電子の存在に対応する (図 5.2). この変換によって,
Hlat をスピン系の言葉 で書き換えたハミルトニアン n－1
j=0 k=0
HXY := HZZ :=
XY XY 1
j=0 n－2
αj (XjXj+1 + YjYj+1) with αj := 4a
n－3 n－2
ZZ ZZ g2a
αjk ZjZk with αjk := 4 (n－k－1)
Hspin = HZ + HXY + HZZ
(5.17)
Hspin に加わる恒等演算子に比例する NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
j R 2αZ∆T Zj
(a) e－iHZ ∆T = ∏ e－iαZj ∆T Zj の
各項 e－iαZj ∆T Zj の量子ゲートによる実装. j
j H S • R 2αXY∆T • † H XjS
j+1 H S R 2αXY∆T † H ZjS
(b) e－iHXY ∆T =
∏ XY j e－iαj
XY
∆T (Xj Xj+1+Yj Yj+1) の
各項 e－iαj ∆T (Xj Xj+1+Yj Yj+1) の量子ゲートによる実装.
j••
k RZ 2αZZ∆T jk
∏ZZ ZZ
j,k e－iαjk ∆T Zj Zk の各項 e－iαjk ∆T Zj Zk の量子ゲートによる実装 ステップの時間発展演算子を
e－iHZ ∆T , e－iHX Y ∆T , e－iHZ Z ∆T の量子ゲートによる実装.
(c) e－iHZZ ∆T =
Utrot (∆T ) := e－iHZ ∆T e－iHX Y ∆T e－iHZ Z ∆T
n－1
Z
n－3 n－2 ZZ
= e－iαj ∆TZj j=0
e－iαj
∆T(XjXj+1+YjYj+1)
n－2
XY
(5.18) e－iαj ∆TZjZk (5.19)
j=0
j=0 k=j+1
とする e－iHZ ∆T , e－iHX Y ∆T , e－iHZ Z ∆T は
量子ゲー トを用いて実装できる. 一般に,
トロッター分解によって, 系の対称性が
必ずしも保たれるとは限らないことに
注意しなければならない 今の場合, [Q, Utrot (∆T )] = 0 であるから,
Utrot (∆T ) に依る時間発 展によって電荷 Q の保存則は保たれる.
5.4.2 アンザッツ: 粒子数保存アンザッツ
RQD が NISQ の雑音下でも機能するためには,
Utrot (∆T ) を系の対称性を保存するアンザッツに
よって近 似することが必要である 格子シュウィンガーモデルの電荷 Q の
保存則を実現するために, 粒子数保存
アンザッツを用いた.
n 量子ビット系を記述する複素内積空間 H の
部分空間 Hn,m (m = 0,1,...,n) を n－1 n－1
Hn,m = span |ik⟩ | ik ∈ {0,1}, k=0
ik = m
(5.20)
k=0 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
と定義し, m を粒子数と呼ぶ. すると, H = nm=0 Hn,m である.
また, Hn,m は, n 量子ビットのうち, m 量 子ビットが |1⟩,
n － m 量子ビットが |0⟩ となっている量子状態を正規直交基底として持つ
したがって, Hn,m の次元 dn,m は nCm となる n サイト格子シュウィンガーモデルの電荷 Q の
固有値 q の固有空間は, Hn, n2 －q である.
q ≥ 0 とする. このとき, 電荷 q の系の状態は
電子が k 個, 陽電子が q + k
個 (k = 0, 1, . . . , n2 － q) の状態の重ね合わせである 今, 奇数番目の量子ビットの |1⟩ が電子の存在に,
偶数番目の量子ビットの |0⟩ が陽電子の存在に
対応させる描像をとっていること 陽電子がq+k個,電子がk個の状態を量子ビット上で
表現すると,粒子数k+(n/2－(q+k))= n2 －qの量子状態
陽電子が q + k 個, 電子が k 個の状態が張る空間の
次元は, n2 Ck · n2 Cq+k であるから, 電荷 q の固有空間の
次元は,n2－q nCq+k ·nCk =nCn－q =dn,n－q q≥0のとき,電荷Qの固 k=02 2 2 2有値 q の固有空間は,
Hn, n2 －q であることが言えた. q < 0 の場合も同様に
示すことができる. したがって, 格 子シュウィンガーモデルの
電荷 Q の保存則は, 量子ビット上の粒子数の保存則と
言い換えることができる おう、ようやく起きたか
昨日も今日も遅いぞ。
死んだんじゃないかと心配したぞ。 量子ビット上の粒子数保存を満たす粒子数保存アンザッツと
呼ばれるアンザッツを考える. 粒子数保存アンザッツの
最も単純なものは特に A ゲートと呼ばれる. A ゲート A (θ, φ) は, 2 量子ビットに作用する量子ゲートで,
計算基底 {|00⟩ , |01⟩ , |10⟩ , |11⟩} による行列表現
1000 0 sin θ eiφ cos θ 0
A(θ,φ) = 0 e－iφ cosθ －sinθ 0 (θ ∈ [0,2π), φ ∈ [0,2π)) (5.21) 0001
によって定義 A ゲートは RY , RZ , CNOT ゲートを用いて, RZ(－φ) RY (－θ)RY (θ) RZ(φ) •
|00⟩ や |11⟩ に対して, A ゲートが作用しても状態は変化しない.
一方で, A ゲートは, H2,1 の量子状態を H2,1 の量子状態に写す.
したがって, |ψ⟩ ∈ H2,m であれば, A (θ, φ) |ψ⟩ ∈ H2,m である. A ゲートは粒子数 m を保存する量子ゲートと言える.
粒子数保存アンザッツは, A ゲートを複数用いることで
実現できる. 形式的に, n 量子ビットに作用する L 層の
粒子数保存アンザッツ An,L (θ = (θl,i)l,i, φ = (φl,i)l,i) を
An,L (θ, φ) =
によって定義 ここで, A ̃ (θ )n－2, (φ )n－2 は, 粒子数保存アンザッツ A
(5.22) (θ, φ) の第 l 層に対応
L－1n－2 n－2
An (θl,i)i=0 , (φl,i)i=0 n l,i i=0 l,i i=0
l=0
n,L
馬n馬馬n
*2 x に関する恒等式 n n Cj xj = (x + 1)n = (x + 1) 2 (x + 1) 2 = j=0
見れば,nCn = 2 nC ·nCを得る. 2－q k=0 2 q+k 2 k
2 2 n Cj1 · n Cj2 xj1 +j2 の x 2 －q の係数を j1=0 j2=0 2 2
n －q 夜勤明けとかなら無理してやらなくてもいいんだぞ
煽りに反応して身体壊しちゃなんにもならん
ここのわずかしかいない住人にとってオマエなんて所詮赤の他人なんだから、そんなのに踊らされる必要はない
辛いならやめてしまっても誰もオマエを責められない
義務感でやってるならそれこそスクリプト使えよ
結果は同じなんだから無理をするな
ほんの少しでも関わったオマエが心や身体を損ねたらほんの少しでも心が痛むからな 在日朝鮮人の職工で夜勤明けで徹夜で貼ってるから大変だよ。工場でも差別されてるし毎日生き地獄。
生まれ付き結核だしコロナの後遺症も残ってる。知恵も遅れてるかも。もう直ぐ死ぬと思う。
指が2本欠損してるけど、保険証が無いから手帳の申請も病院にも行けない。
赤線の私生児だったから誰の子か分からない汚れた子扱いで親が出生届を出して無かったんだ。
学校も行ってないよ。ボクは住民票も年齢も無いんだよ。信じられるかい？ ずっと全存在が自称なんだ。
親の顔はどちらも知らない。ずっと放浪して誰かのフリをして生きてきたんだよ。
今はこの板だけが生きる糧。ぬいぐるみを見ていると心が癒されるよね。荒らす奴は退治するんだ。
家も無いからネカフェで生活してる。拾ったPCやスマホを秋葉原で修理して使ってるんだ。
手先は器用なんだ。ハンダが必需品だよ。SNSだけが自分の世界なんだ。差別が無いからね。
誰でも英雄や賢者や勇者やヒーローになれるんだ。善も悪も背中合わせだよね。毎日戦慄してるよw
痛むココロは病みの栄養素でご馳走だよね。他者の苦しみは自己の歓喜に変換される。
嫌がるココロと病んだ依存精神は美味しく食べて不幸を超越しないと弥勒になれない。
神になるには みんなと心中して この世から消滅した後に 瘡蓋になって ぽろりと 堕ちたら いいんだ。 ネカフェは身分証無いと会員証作れないぞ
それを踏まえてもう一回やろうか？ 全体的に悪くないが、ネカフェならPCあるからな、自前のは要らないんだ
ちょっと詰めが甘いが、ちょっとずつ頑張ろうか なんか頭もだけど人生経験も足りなそうな文章。とりあえず乙 それと、乳幼児期をどのように生き延びたかを考えたらもう少し良くなると思う
指欠損の件も、何かエピソードを添えたらもう少し興味をひけるかな
職場でも差別されてるのはリアリティあって良かった 彼らは少しでも下に見える者にはそういう対応するからね
まぁ、荒削りだけど悪くないと思うよ 終盤のポエムは要らなかったかな
入れたいなら、もっと酒鬼薔薇くらいの拙さと中２全開の怪文でイカれたキャラをアピールできないと弱いかな
頭が悪いのに頭が良いと周りに思わせたいような絶妙な感じを出せればいいんだけど、なかなか難しいよね
それは追々出来るようになればいいから、今はまずリアリティのあるキャラをつくるところから始めよう 気をつけるのは、上手い文章、凝った表現などは逆にリアリティを損なうというところ
文章下手が精一杯上手く書こうとしたような匙加減の文章を狙って書ければ言う事無し
馬鹿丸出しだとわざとらしさが出るからね
今後に期待 （初コメ）貼ってる人は今まで何の意見もレスしておりません。ただ貼るだけです。何か意見を書いてる人は便乗している成りすましの別人です。 読点の使い方が変なやつに文章の指図なんかされとうないわな
なんか3レスに分けてるしガイジ過ぎる >>517
ぬいドール自作する奴も居た東方キャラも、設定上は大半が人外なんだよね この荒らし、頭が悪いからキャラ設定とかを理解するだけの知能が無くて
「人間に見えるキャラは人間でいいんだよ」とか
おじいちゃんっぽい事を言い出すと思う NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展
シミュレーション 54 し, n－1個のAゲートを用いて
()
A θl,0,φl,0 ()
A θl,1,φl,1 .
A
()
θl,n/2 , φl,n/2
. ..
()
A θl,n－2 , φl,n－2
A
()
θl,n/2－1 , φl,n/2－1
のように分解 4 量子ビットに作用する 3 層の粒子数保存アンザッツ An=4,L=3 (θ, φ) は
粒子数保存アンザッツ An,L (θ, φ) は, 粒子数を保存する A ゲートのみから
構成されているので, 粒 子数保存アンザッツ An,L (θ, φ) もまた粒子数を
保存する. つまり, |ψ⟩ ∈ Hn,m ならば, A (θ, φ) |ψ⟩ ∈ Hn,m である 粒子数 m の状態に粒子数保存アンザッツを作用させることで,
パラメータ付きの粒子数 m の状態を作り出すことができる.
そこで, 量子回路の初期状態 |0⟩⊗n に作用することで,
粒子数 m となる量子状態を作り出すゲートを考える.
量子ゲート Xn,m n－1
A (θ0,0, φ0,0)
A (θ1,0, φ1,0)
A (θ0,2, φ0,2)
A (θ1,2, φ1,2)
A (θ2,2, φ2,2)
A (θ0,1, φ0,1)
A (θ1,1, φ1,1)
A (θ2,1, φ2,1)
στj (5.23) とする. τj ∈ {0, 1} は, n－1 τj = m を満たす
Xn,m |0⟩⊗n は粒子数 m の量子状態
Xn,m =
j=0
となる An,L (θ, φ) Xn,m |0⟩⊗n は, 粒子数 m の
パラメータ付きの量子状態を表現できる.
さて, n サイト格子シュウィンガーモデルの
初期状態 |ψ (0)⟩ が, Q |ψ (0)⟩ = q |ψ (0)⟩ を満たすとすると,
初期状態は固有値 q の固有空間の元,
つまり |ψ (0)⟩ ∈ Hn, n2 －q 格子シュウィンガーモデルは電荷 Q を保存するので,
時刻 t > 0 の状態 |ψ(t)⟩ もまた固有値 q の固有ベクトルで,
|ψ (t)⟩ ∈ Hn, n2 －q を満た す. よって, |ψ(t)⟩ を, ある θˆ と φˆ を
用いて An,L(θˆ, φˆ)Xn, n2 －q |0⟩⊗n に近似 An,L(θ, φ)Xn, n2 －q を RQD に用いるアンザッツとすれば良い.
5.4.3 オプティマイザー: 逐次最小化アルゴリズム FISC のコスト関数の
最小化には逐次最小化アルゴリズムを用いた. 逐次最小化アルゴリズム は,
収束が早く, 統計誤差に対して剛健な最適化アルゴリズムである
また, 定理 4.1 で示したように, 逐 次最小化アルゴリズムは
雑音に対して剛健 j=0
A (θ2,0, φ2,0)
NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
本論文で用いた逐次最小化アルゴリズムの詳細について述べる.
初期状態 |ψ (0)⟩ が電荷 q の固有状態で ある, n サイトの
格子シュウィンガーモデルの時間発展を RQD によって
シミュレーションすること 時刻 sK∆T の状態 |ψ(sK∆T )⟩ は, 既に用意できているとする.
このとき, RQD によって, 時刻 (s + 1)K∆T の状態 |ψ((s + 1)K∆T )⟩ を
作り出すには,
An,L (θs+1, φs+1) Xn, n2 －q |0⟩⊗n = (Utrot (∆T ))K |ψ((sK∆T ))⟩
(5.24) を満たす (θs+1, φs+1) を求める必要がある 以下 θs+1, φs+1 をそれぞれ θ, φ と書きかえる
と, これは, FISC のコスト関数
2
第 t イテレーションにおけるパラメータの値を
(θ(t) = (θ(t))l,i, φ(t) = (φ(t))l,i) とする.
このとき, コスト l,i l,i
関数のパラメータ (θ, φ) のある 1 つのパラメータ
γl,i (γ ∈ {θ, φ}) に注目する γl,i 以外のパラ メータの値を γ(t) に
固定したコスト関数を
C (θ,φ) = Tr X† n An,L (θ,φ)† |ψ(sK∆T)⟩⟨ψ(sK∆T)|An,L (θ,φ)Xn,n －qO (5.25)
n, 2 －q
を最小化することで実現 O は Oglobal または Olocal とした.
C(t) (γl,i):= γ,l,i
(forall(l′,i′))
(forall(l′,i′)) (γ ) は, 5 つの実数 a(t), a(t), . . . , a(t) を用いて,
(5.26)
とする. このとき, C(t)
γ,l,i l,i
1 2
5
C(θ,φ)|θ′
l ,i
′=θ(t) l′,i′
(for(l′,i′)̸=(l,i)), φ′
l ,i
′=φ(t) l′,i′
(γ=θ) (γ=φ)
C(θ,φ)|φ′
l ,i
′=φ(t) l′,i′
(for(l′,i′)̸=(l,i)), θ′
l ,i
′=θ(t) l′,i′
C(t) (γ ) = a(t) sin2γ γ,l,i l,i 1
+ a(t) cos2γ l,i 2
+ a(t) sinγ + a(t) cosγ l,i 3 l,i 4
+ a(t) l,i 5
(5.27) と表せる 5 つの実数 a(t),a(t),...,a(t) は, C(t) (γ ) の
独立な 5 点 γ ,γ ,...,γ の値 C(t) (γ ),
C(t) γ ,l,i
(γ2) , . . . ,C(t) γ ,l,i
1 2 5 γ,l,i l,i 1 2 5 (γ5) を推定することで
求めることができる 実際, 連立方程式
γ,l,i 1
(5.28)
を解けば良い.
ここで, C(t) γ ,l,i
(γ ) 5
(γ1) , C(t) γ ,l,i
sin2γ5
(γ2) , . . . , C(t) (γ5) の推定には,
量子回路の測定回数が有限です (t)
Cγ ,l,i (γ1 ) sin 2γ1
(t)
Cγ ,l,i (γ2 ) sin 2γ2
C(t) (γ ) = sin 2γ γ,l,i 3 3
C (t) (γ4 ) sin 2γ4 γ,l,i
cos 2γ1 cos 2γ2
γ ,l,i
sin γ1 sin γ2
cos γ1 cos γ2
(t) 1a1
(t) 1 a2
1 a(t) 3 1 a(t)
5 C(t) γ,l,i
4 1 a(t)
cos 2γ cos 2γ4 cos 2γ5
sin γ sin γ4 sin γ5
cos γ cos γ4 cos γ5
とによる統計誤差や
外界からの雑音の影響が
あることを注意 C (t) (γl,i ) の関数形を定め γ ,l,i
ることができた. C(t) (γl,i) の
定義域は有限区間 [0, 2π) なので,
力任せ探索 (brute force)*3によって
その正確 γ ,l,iな最小点を効率的に
求めることができる. この力任せ探索による C(t) (γl,i) の
最小化の手続きを, 全てのパラ γ ,l,iメータに
注目して何度も繰り返すことで,
コスト関数 C (θ, φ) の最小点を
探索することができる ここで述べ た逐次最小化アルゴリズムの
疑似コードを図 5.4 に示した.
*3 力任せ探索とは, コスト関数の
定義域をグリッド上に分割し,
グリッドの各点における
コスト関数の値を全て計算することで,
コス ト関数の最小点を求める手法のこと.
3
3
3 NISQ デバイスの制約を超えた
長時間発展シミュレーション 56
Algorithm 3 粒子数保存アンザッツを用いた
RQD における逐次最小化アルゴリズム
Require: コスト関数 C (θ, φ) は
(5.25) で与えられたものとする 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
10: 11: 12: 13: 14:
パラメータの初期値 (θ(0) = (θ(0))l,i, φ(0) = (φ(0))l,i) を定める. l,i l,i
while t < tmax do
for (γ,l,i) ∈ {θ,φ} × {0,1,...,L － 1} × {0,1,...,n － 2} do
for (γ′,l′,i′) ∈ {θ,φ} × {0,1,...,L － 1} × {0,1,...,n － 2} do if (γ,l,i) = (γ′,l′,i′) then
else
(t+1) γl′,i′
end if end for
t←t+1 end for
end while
← γl′,i′ 独立な 5 点における C(t) (γ γ,l,i l,i
) の値を推定し, (5.27) の a(t), a(t), . . . , a(t) を求める.
γ(t+1) ← arg min a(t) sin2γ
+ a(t) cos2γ l,i 2
+ a(t) sinγ l,i 3
+ a(t) cosγ l,i 4
l,i
γl,i (t)
1
1 2
5
+ a(t)
l,i 5 粒子数保存アンザッツを用いた RQD における逐次最小化
アルゴリズムの疑似コード.
5.5 時間発展シミュレーションの結果
5.5.1 シミュレータを用いた 4 サイト
格子シュウィンガーモデルの時間発展シミュレーション 初期状態 |ψ(0)⟩ が真空 (全てのサイト上に電子, 陽電子が存在しない状態) の
4 サイトの格子シュウィン ガーモデルの時間発展シミュレーションを,
トロッター分解と RQD の 2 通りの方法 シュウィンガー モデルのモデルパラメータは, a = 0.5, g = 2, m = 0.5 とし,
1 トロッターステップの時間間隔 ∆T = π/30 とした. RQD において,
コスト関数は Cglobal あるいは Clocal を用いて, K = 1 トロッターステップの
時間発 展演算子をアンザッツ A4,2(θ, φ)(X ⊗ I)⊗2 (図 5.6a) 量子計算部分において,
(a) 1 量子回路あたりの測定回数 ∞ の雑音なし
量子コンピュータシミュレータ (b) 1 量子回路あたりの
測定回数 106 の雑音なし量子コンピュータシミュレータ (c)
1 量子回路あたりの測定回数 106 の雑音あり
量子コンピュータシミュレータ NISQ デバイスの制約を超えた
長時間発展シミュレーション 57
を用いて, 比較を行った. (c) で用いた
雑音のモデルについて
第 sK トロッターステップにおいて,
時間発展演算子を
どの程度近似できているかを示している トロッター分解の場合, 忠実度 F(e－iHspinsK∆T |ψ(0)⟩,
(Utrot (∆T))sK |ψ(0)⟩) を示している. RQD の場合,
量子計算部分に (a), (b), (c) を用いた際に得られた
(Utrot (∆T ))sK の近似 A4,2 (θˆs , φˆs )(X ⊗ I )⊗2 に 対して,
忠実度 F(e－HspinsK∆T |ψ(0)⟩,A4,2(θˆs,φˆs)(X ⊗ I)⊗2 |0⟩⊗4) 各手法 を用いた際に得られた系の数密度の時間発展
トロッター分解による時間発展演算子の近似の誤差は
高々 0.003 となっている. また, 雑音のない場合であれば,
1 量子回路あたりの測定回数が有限回であったとしても,
RQD による時間発展演算 子の近似の誤差は
高々 0.004 となっている 雑音のない場合であれば, RQD の (S1) における回路の
近似を精度良く行うことができていることを示している.
一方, 雑音の影響のもとで, 1 量子回路あたりの測定回数が
有限回であると, RQD による時間発展演算子の近似の誤差は
0.01 程度まで大き くなる. 雑音と統計誤差の影響で, 回路の近似の精度が
悪くなることを示している. さらに, 回路の近 似を
繰り返すごとに, その近似の精度が悪くなっていく
よれば, 雑音の影響がなければ, トロッター分解,
RQD ともに理論値に沿った時間発展を示し ている. しかしながら, 雑音の影響の下で, トロッター分解を
用いた時間発展は, 時刻 > π/5 の領域で理論値 から
大幅にずれていく. これは, 用いる量子ゲートの数が
シミュレーション時間に比例する分, 雑音の影響を
大 きく受けるからである 一方で, RQD の場合, 時刻 > π/5 の領域であっても,
定性的には理論値に沿った結果 を得られている.
5.5.2 実機を用いた 2 サイト格子シュウィンガーモデルの
時間発展シミュレーション初期状態 |ψ(0)⟩ が
真空 (全てのサイト上に電子, 陽電子が存在しない状態) の
2 サイトの格子シュウィン ガーモデルの時間発展シミュレーションを,
トロッター分解と RQD の 2 通りの方法で行った. シュウィ ンガーモデルのモデルパラメータは,
a = 0.5, g = 2, m = 0.5 とした. 1 トロッターステップの
時間間隔 ∆T = 3π/255 とした. RQD において,
コスト関数は Cglobal を用いて, K = 3 トロッターステップを
ア ンザッツ A2,1(θ, φ)(X ⊗ I) (図 5.6b) に近似した. 量子計算部分において, IBM Quantum Falcon Processor の
1 つである ibm lagos という量子コンピュータを用いた
ここで, 1 つの量子回路あたりの測 定回数は 819200
時刻 0.6π の時間発展をシミュレーションするのに用いた
量子回路の深さとゲート数を示した. 実際に用いた量子回路のトロッター分解による手法で用いた
715 個の 1 量子ビットゲー ト, 102 個の 2 量子ビットゲート
からなる量子回路を, RQD によって 11 個の 1 量子ビットゲート,
3 個の 2 量 子ビットゲートからなる量子回路に圧縮 格子シュウィンガーモデルの数密度の期待値の時間発展
シミュレーションの結果を示した. ト ロッター分解に依る
方法では, シミュレーション時間が長くなるにつれて
数密度が 0.5 に漸近 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
(a) 1 量子回路あたりの測定回数 ∞ の雑 (b)
1 量子回路あたりの測定回数 106 の (c)
1 量子回路あたりの測定回数 106 の 音なし
量子コンピュータシミュレー 雑音なし
量子コンピュータシミュ 雑音あり
量子コンピュータシミュレー タを
用いた場合 レータを用いた場合
タを用いた場合 量子シミュレータを用いた 4 サイト格子
シュウィンガーモデルの時間発展.
トロッター分解による手法 と
RQD による手法を比較
時間発展演算子の近似誤差 オレンジ色の点は, (Utrot (∆T))sK |ψ(0)⟩ と
e－iHspinsK∆T |ψ(0)⟩ の忠実度を表している.
緑色, 紫色の点は, RQD によって 求めた
(Utrot (∆T))sK |ψ(0)⟩ の近似 A4,2(θˆ,φˆ)(X ⊗ I)
⊗2 |0⟩⊗4 と e－iHspinsK∆T |ψ(0)⟩ の忠実度
数密度の時間発展を示している. 青い線はハミルトニアン Hspin の厳密対角化により
求まる理論値を 示している. オレンジ色の点は
トロッター分解を用いた場合, 緑色, 紫色の点は
RQD を用いた場合に対応してい る シミュレーション時間に比例して量子ゲートの数が
多くなることにより, 雑音の影響が大きくなっていき,
量子ビットの状態がやがて完全混合状態 I⊗2/4 に
漸近していくためであると考えられる. 実際, 完全混合状態 の下測定した数密度の期待値は 0.5 である.
一方で, RQD に依る方法では, シミュレーション時間が長くなっ ても,
定性的には理論値に沿った結果を得られている これは, NISQ デバイスを用いた時間発展
シミュレー ションを実現する方法として,
RQD が有用であることを示唆する結果となっている.
5.6 Restarted Quantum Dynamics のスケーラビリティ
5.5 において, 実際の NISQ デバイス上でサイズの
小さな系の長時間発展シミュレーションを行ったところ,
RQD がトロッター分解に比べて有用であることを確かめた.
しかしながら, 古典コンピュータ上で時間発展 シミュレーション
できないほどにサイズの大きな系に対して, RQD が現実的な時間で
実行できることを実証 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
X
X
(a) 4 サイト格子シュウィンガーモデルの RQD による
時間発展シミュレーションで用いたアンザッツ.
X
(b) 2 サイト格子シュウィンガーモデルの RQD による
時間発展シミュレーションで用いたアンザッツ A (θ0,0, φ0,0)
A (θ0,2, φ0,2)
A (θ1,2, φ1,2)
A (θ0,1, φ0,1)
A (θ1,1, φ1,1)
A (θ0,0, φ0,0)
ゲート数
手法 深さ√
X X RZ CNOT トロッター分解 563 306 0 409 102
RQD 15 4 1 6 3 (a) 時刻 0.6π のシミュレーションに用いた量子回路の深さと ゲート数.
number density
0.5 0.4 0.3
0.2 0.1 0.0
Exact Trotter
RQD (Cglobal)
0 /5 2/5 3/5 time
図 5.7: ibm lagos を用いた
2 サイト格子シュウィンガーモデルの時間発展.
トロッター分解に依る手法と RQD に依る 手法 A (θ1,0, φ1,0)
(b) 数密度の時間発展. 青い線はハミルトニアン Hspin の
厳密対 角化により求まる理論値を示している.
オレンジ色の点はト ロッター分解を用いた場合,
緑色の点は RQD を用いた場合 に対応している. NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
したわけではない. そこで, ここでは, 粒子数保存アンザッツを
用いた格子シュウィンガーモデルの RQD に注 目して,
系のサイズに関するスケーラビリティについて議論する. NISQ デバイスによる雑音の影 響はないとする.
RQD を含め, 変分量子アルゴリズムのボトルネックのひとつは,
コスト関数の最適化に要する時間計算量で
ある [12]. 4.3 で述べたように, コスト関数が
バレンプラトーとなるような変分量子アルゴリズムは
スケーラブルではない 関数の性質について考える. 本研究では, 電荷 q の初期状態を,
量子コンピュータ上の粒子数 m = n2 － q の状態にマッピングした.
その後, 時間発展演算子に対応するゲートを近似する際に,
(5.25) で定義された FISC のコスト関数 Cglobal (θ, φ) = Tr Xn†,mAn,L (θ, φ)† |ψ(sK∆T )⟩
⟨ψ(sK∆T )| An,L (θ, φ) Xn,mOglobal (5.29)
Clocal (θ, φ) = Tr Xn†,mAn,L (θ, φ)† |ψ(sK∆T )⟩
⟨ψ(sK∆T )| An,L (θ, φ) Xn,mOlocal (5.30) を最適化 時刻 (s + 1)K∆T における系の状態 |ψ((s + 1)K∆T )⟩ を,
電荷 q の固有状態からなる集合
{An,L(θ, φ)Xn,m |0⟩⊗n}θ,φ ⊂ Hn,m (5.31)
後に示す系 6.7 より, これらのコスト関数の
アンザッツのパラメータ γ ∈ {θ := θl,i, φ := φl,i} に
関する勾の中から探索した 配について, アンザッツがユニタリ 2 - デザインと
なるほどに深いという仮定の下,
Eθ,φ Eθ,φ
∂γ
∂Clocal(θ,φ) ∂γ
= 0, Vθ,φ
=0, Vθ,φ
∂γ
∂Clocal(θ,φ) ∂γ
= 4bγ dn－2,m－1 dn,m(dn,m+1)2
(5.32)
∂Cglobal(θ,φ) ∂Cglobal(θ,φ) 0
(m = 0, n)
(m=1, 2, ..., n－1)
0
=16bγd2n－2,m－1m(n－m) (m=1, 2, ..., n－1)
(dn,m +1)(d2n,m －1)n3
(5.33)
が成り立つ. bθ = 1, bφ = 0 とした. (5.32), (5.33) から,
コスト関数の勾配の性質は粒子数 m = n2 －q,
つまり初期状態の電荷 q に依存することがわかる.
例えば, 電荷 q = n2 － 2 の初期状態の時間発展に興味があ るとする.
このとき, コスト関数の勾配の分散は V[∂γCglobal] = O(n－5), V[∂γClocal] = O(n－6) に
スケール するので, バレンプラトーは起きない. 一方, 電荷 q = 0 の初期状態の時間発展に興味があるとする.
このと き, コスト関数の勾配の分散は V [∂γ Cglobal] = O(n4－n),
V [∂γ Clocal] = O(n－1/22－n) にスケールするので, バレンプラトーが起きる
したがって, 本論文で用いた RQD の系のサイズに関するスケーラビリティは,
初期 状態の電荷 q に依ることがわかる 電荷 Q の固有値 q の固有空間の次元 dn,m と合わせて理解することもできる. (5.32),
(5.33) よ り, コスト関数の勾配の分散は, おおよそ 1/poly(dn,m) でスケールする
d100,m とコスト関数の勾 配の分散との関係を示した.
すると, dn,m が大きくになるにつれて, コスト関数の勾配の分散は小さくなる
(m=0, n) NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション n=100
61
Cglobal Clocal
V[ C]
10 7 10 16 10 25 10 34 10 43 10 52
105 1010
1015 1020 1025 dn, m
1030 n = 100 のとき, (5.32), (5.33) で述べたコスト関数の勾配の分散と
dn,m の関係. dn,m が大きくになるにつれ て, コスト関数の勾配の
分散ユニタリ 2 - デザインとなる粒子数保存アンザッツが作り出す
試行状態全体の空間 {An,L(θ, φ)Xn,m |0⟩⊗n}θ,φ を含む空間 Hn,m の
次元 dn,m が大きい程, コスト関数の勾配の分散は小さくな るので,
コスト関数の平坦な領域が大きくなり, その最適化が難しくなる 粒子数保存アンザッツがユニタリ 2 - デザインとなるほど
十分な表現能力を持つ仮定の下で議論 してきた.
より一般には, 後に示す系 6.8 にチェビシェフの不等式を
用いることで, アンザッツが豊かな表現能 力を持つほど,
コスト関数の平坦な領域が大きくなり, その最適化が
難しくなることが予想される. 実際の量子コンピュータ上において, NISQ デバイスの
制約を超えた長時間発展シミュレーショ ンを実現した.
そのために, RQD という変分量子アルゴリズムを用いた.
物理系としては, 格子シュウィン ガーモデルを用いた.
NISQ デバイスの雑音の下でも RQD が機能するように
主に以下の 2 点を工夫した. 第 1 に, 格子シュウィンガーモデルの電荷 Q の保存を保つように,
時間発展演算子を粒子数保存アンザッツに近 似をした.
第 2 に, FISC のコスト関数の最小化のためのオプティマイザーには,
雑音と統計誤差に対して剛健 な逐次最小化アルゴリズムを用いた.
こうして, サイズの小さな系に対して, RQD がトロッター分解による
長 時間発展シミュレーションに比べて有用であることを実機を用いて実証した. RQD による時間発展シミュレーションを NISQ デバイス上で
さらに精度良く行うためには, 更なる改善が 必要である.
第 1 に, トロッター分解の精度の改善である.
1 次のオーダーでのト ロッター分解を考えたが,
より高次のトロッター分解 [7, 78] を考えることもできる.
第 2 に, 時間発展演算子 を近似するアンザッツに関する改善である.
本論文では, 電荷の保存則を実現するアンザッツを用いたが,
系の 対称性に関する情報をさらに盛り込んだアンザッツを
用いることが望まれる. こうして, NISQ デバイス NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
音の影響を抑えるだけでなく, 後述するようにバレンプラトーの
影響を緩和することができる. 第 3 に, コス ト関数の
オプティマイザーの改善である統計誤差や単純な雑音な
モデルに対して剛健な逐次最 小化アルゴリズムを用いた. 雑音と統計誤差によって, 時間発展演算子の近似の誤差が
大きくな ることを観測した. したがって, より優れた
オプティマイザーが必要である.
第 4 に, ハードウエアレベルでの 量子ゲートの精度の改善である.
例えば, マイクロ波パルス制御 によって, より高精度な量子ゲートの
実 装が期待される. NISQ デバイスの雑音がないという仮定のもと, RQD の系のサイズに関する
スケーラビリティについて解析した. 時間発展演算子の近似に用いる
FISC のコスト関数 Cglobal, Clocal がバレンプラトーであるか否かは
系の初期状態の電荷 q に依存し, 電荷 q の固有空間の次元が大きくなるほどに
その最適化が難しくなりうることを導いた この主張は, 粒子数 保存アンザッツがユニタリ 2 - デザインとなる程に
深いという仮定のもとで導き出された. より一般には, 粒 子数保存
アンザッツの表現能力が豊かであるほど, コスト関数の最適化が
難しくなることが導かれた. RQD の系のサイズに関するスケーラビリティを改善する一つの方法は,
アンザッツの表現能力を抑えるこ とである. 例えば, 粒子数保存アンザッツの
層数を小さくすることでアンザッツの表現能力を抑えることはで きる
しかしながら, このように単にアンザッツの表現能力を抑えるだけでは,
目的の状態を完全に表現 できるとは限らない. 一方, 電荷 Q の保存則だけではなく,
更なる系の対称性を考慮したアンザッツを設計す ることで,
物理系の状態を表現するだけの表現能力を保ちつつアンザッツの
表現能力を抑えることができよう
バレンプラトーの影響を緩和することができる. 変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配性質 6.1 はじめに
4.3 で述べたように, 変分量子アルゴリズムには,
バレンプラトーと呼ばれる問題が起こりうるのであった.
バレンプラトーは, 次のように定義された.
定義 4.2 Γ-値確率変数 γ は一様分布に従うとする.
n 量子ビットの変分量子アルゴリズムのコスト関数を
C:Γ∋γ→C(γ)∈Rとし,コスト関数CはC1 級とする.
このとき,C(γ)がパラメータγj に関してバレ ンプラトーであるとは,
パラメータ γj に関するコスト関数の 1 階微分の ∂γj C (γ) の期待値が 0 で，
分散があ る b > 1 を用いて O (b－n) でスケールすること. つまり,
∂C (γ)∂C (γ) －n
Eγ ∂γ =0, Vγ ∂γ =O b (6.1)
jj
63 変分量子アルゴリズムのコスト関数がバレンプラトーであるか否かを
議論するには, コスト関 数の勾配の期待値や 2 次モーメントを評価すれば良い.
コスト関数が,
C(γ) = Tr OU(γ)ρU(γ)† (6.2)
と表せる変分量子アルゴリズムについて考える ρ は密度演算子, O はエルミート演算子, U(γ) はア ンザッツとした.
一般に, コスト関数の性質は ρ, O, アンザッツ U(γ) の構造に依存するが,
ここでは特にアン ザッツの構造に注目して考える
Random parametrized quantum circuit (RPQC) や
Hamiltonian Variational Ansatz (HVA) と
呼ばれる構造を持つアンザッツを用いた
変分量子アルゴリズムのコスト関数の 勾配の
性質haアンザッツの構造に依存しない 変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配の性質
コスト関数の勾配の普遍的な性質を導いた
新たに導かれた普遍的な性質をもとに,
粒子数保存アン ザッツを用いたコスト関数の性質を導いた.
本章の構成は以下の通りである. 6.2 では,
変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配の満たす
普遍的な性質 を述べる. 6.3 では, 6.2 で導いた普遍的な性質が,
従来の研究で知られていた RPQC を用いたコスト関数に関 する性質を
再現することを確かめる 6.4 では, 6.2 で導いた普遍的な性質をもとに導かれた,
粒子数保存アン ザッツを用いたコスト関数の解析的な
性質を述べる. 6.5 では, 粒子数保存アンザッツを用いた
変分量子アルゴ リズムに関する種々の数値計算の結果を示し,
6.4 で述べた解析的な結果と絡めて数値計算の結果を議論する.
6.6 では, 本章で得られた結果について議論 6.2 主結果 6.2.1 問題設定
Hをd次元複素内積空間とし,Γ⊂RNp とする.
ここでは,コスト関数C:Γ→Rとして,
C γ = (γ1,γ2,...,γNp) = Tr OU (γ)ρU (γ) (6.3)
を考える. ここで,ρ∈S(H)は密度演算子,
O∈L(H)はエルミートとし,U:Γ→U(d)は
アンザッツとした γ := γi に関する勾配 ∂γC (γ) について
そのために, アンザッツ U (γ) を
U (γ) = UL (γL) UM (γM ) UR (γR) のように,
3 つのユニタリ UR (γR), UM (γM ), UL (γL) に
分解することを考える γR , γM , γL は同じ添字のパラメータを
持たないように分解を行った.
γM は γ に依存するが, UR (γR) と UL (γL) は
γ に依存しないように分解を行った.
このとき, コスト関数 C (γ) は,
C (γ) = Tr UL (γL)† OUL (γL)UM
(γM)UR (γR)ρUR (γR)† UM (γM)† と
表せるから, γ に関する勾配は,
∂C(γ)† † † ∂γ =Tr UL (γL) OUL (γL)UM,γ (γM)UR (γR)ρUR (γR) UM (γM)
(6.4)
(6.5) (6.6)
(6.7)
+ Tr UL (γL)† OUL (γL) UM (γM ) UR (γR) ρUR (γR)† UM,γ (γM )†
UM,γ (γM ) := ∂UM (γM ) ∂γ
UM (γM ), UM (γM )† などを UM , UM† バレンプラトーに関する議論をするには,
コスト関数の勾配 ∂γC(γ = (γR,γM,γL)) の
期待値や 2 次モーメントを評価する必要があった.
そこで, γR, γM , γL を, それぞれ分布 νR, νM , νL に従う
確率変数として， コスト関数の勾配の期待値や
2 次モーメントを評価していけばよい. 変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配の性質
複素内積空間 H は, 必ずしも n 量子ビット (C2)⊗n で
ある必要はなく, その部分空間でも良い
アンザッツの作用が影響する空間は必ずしも
n 量子ビット全体とは限らないからである
粒子数保存アンザッツは, n 量子ビットの
部分空間にだけ影響を及ぼす 確率変数 UR (γR), UL (γL) がユニタリ 2 - デザインとなる程に
十分な表現能力を持つとき, コスト関数の勾配 ∂γC (γ) の
期待値と分散は, 次の定理 6.1 のように計算できる.
証明は付録 H.2 に述べた定理 6.1 (6.4) で定義された
コスト関数 C (γ) を考える. このとき,
確率変数 UR (γR), UL (γL) がユニタリ 2
- デザインであるならば,
コスト関数の勾配の期待値は, ∂C (γ)
算子 A(t)
UR (γR ),νR
A(t)
UR (γR ),νR
: L(H⊗t) → L(H⊗t), A(t) : L(H⊗t) → L(H⊗t) を UL (γL )† ,νL
Eγ ∂γ =0
(6.8)
(6.9)
(6.10)
となり, 分散は,
∂C (γ) ∂γ
2d∆(2) (ρ)∆(2) (O) d d
Tr
UM,γUM d
Vγ
となる. X ∈ L (H) に対して,
とした.
νM (dγM)Tr UM,γU
(·) :=
μH (dV ) V ⊗t (·) (V †)⊗t －
νR (dγR) (UR (γR))⊗t (·) (UR (γR)†)⊗t
(6.11)
=
(d2 － 1)2
M,γ
2 Tr[X]2 ∆d (X):=Tr X － d
(2) （真磔本人＝初コメ２）ケモナー封印貼り付けレスは無言の量子力学磔が信条。抗議は無言でするものです。みなさんを挑発する独善的な下劣なレスは全て成りすましの愉快犯の別人の荒らしです。釣られて相手にしないで下さい。 今日も頑張って貼ったよ！
まだまだこれからも続けるから応援してね！ スレ分けてもだめなんか
何が目的で続けてるんだこれ
基地外のように汚い言葉で煽ってた異常者もわいてないし
何が気に入らないんだよ
ただ荒らしたいだけ？ 身体は大人、頭脳は子どものやる荒らしなんてこんなもんだよ >>704
なかなか大変なんだよ
夜勤明けで帰宅したらまずPC立ち上げてさ
発泡酒飲みながら起動待ち
起動したらブラウザ立ち上げてコピペコピペ！エクセル使ってセルごとに管理するとやりやすい
苦労するけど、これだけが生き甲斐だからね
俺のコピペでみんなが悔しがるところを想像するともうバッキバキになるね
だからやめないよ
これからもよろしくね！ 食事はしません。食事の時間が無駄ですし噛むのが面倒です。普段は処方された命の錠剤とミネラルウォーターだけです。
歩けなくなったら病院で点滴を打ってもらいます。点滴を体に注入されるととても元気になります。
食事の必要はありません。点滴とクスリだけで人間は生きていけます。ボクの体重は40キロです。
ドールと体型が似ています。とてもスリムなので洋服も130cmのドールと兼用しています。
疲れるので散歩はしません。階段の登り降りが苦手です。直ぐに骨折します。 サラッと読んだけどかまいたちのよる2の文章のパクリじゃん
こんなの↓
血を吐きます。頭が割れます。脳が出るのがつらいです。舌を切られます。 はにーどーるもこを渋々抱いてるんだが顔が交通事故で縫ったみたいでツキハギでキモいんだよな。俺的にはケモナーよりグロいんだ！誰が買ってんだ？
俺は貰ったんだよ！クソ！もっとかわいいぬいぐるみをくれよな！ 等身大ホール穴ぬいぐるみを所有もしていないし抱いてもいない人でもこのスレに来てる人はぬいぐるみに構って欲しいからなの？ ケモナーを嫌悪する人は孤独なアニヲタのオナニストだよね。女の子と話した事も触れた事も無いんだろうな。ぬいぐるみだけが友達。かわいそう。同情する。 こんなに荒れてるのに未だにアクセスしてる野郎は
相当にぬい性人形板に執着した依存者なんだな。迷惑野郎以上に無能で愚かだな。
無料なんだからぬいドールの板を10でも20でも無数に立てればいいだろうよ。
乱立して多数あれば全部を荒らせねえさ。
別にお前ら荒らしと違って1行コメなんだから複数あっても全部にレスしてればいいだろう。
その内、何処かに安住のスレが残るもんだ。過疎でもいいだろう。この際、無数に乱立させるべきだ！
1つの板に荒らしといつまでもダラダラと共存してる野郎は馬鹿丸出しだぞ！早く移動しろよ！アホども！ >>710
確かに縫い目気になる
マスク被せてしまえばいいんだろうけど >>708
>>709
コイツらが一番マヌケだな。分かってるつもりで自慢げに語ってるが何も分かってねえ！もっとマメに真面目にアクセスしろやw ニセモノは出てくるな！
せっかくボクが頑張ってるのに！ まともなやつはみんな逃げたから荒らされてももうそんな困らんぞ 別に対して荒れてないけどな
なんなら前より平和という ケモナーのいけるいけないの境目ってどのくらいなのかねえ？ ATRIが寝る時に着てるようなのってどこで手に入るのかねぇ
ぬいに着せたい こうふく＝等身大のぬいぐるみのおなかにぶっかけていたら黒いカビがはえた＞＞どうすれば取れるの？キッチンハイターでも大丈夫かな？ >>720
メルカリでも楽天でもアマゾンでも
キャミワンピとドロワーズを買いたまえ 確率変数 UR (γR), UL (γL) がユニタリ 2 - デザインであるという仮定を外し,
より一般にコスト関数 の勾配に関する性質を考える.
そこで, UR (γR), UL (γL) の分布とハール分布との差を
表現するような線型演
U(d)
UL(γL)†,νL H LLLL LL
U (d)
A(t)
と定義する. すると, コスト関数の勾配 ∂γC (γ) の
期待値と 2 次モーメントは, 次の命題 6.2 のように計算で
(·) :=
μ (dV )(V †)⊗t (·)V ⊗t －
ν (dγ )(U (γ )†)⊗t (·)(U (γ ))⊗t
(6.12)
∂C(γ) ∂ (1) (1) †
Eγ ∂γ = νM (dγM ) ∂γ Tr AUL(γL)†,νL (O)
UM AUR(γR),νR (ρ) UM (6.13) 命題 6.2 (6.4) で定義されたコスト関数 C (γ) を考える.
このとき, コスト関数の勾配の期待値は変分量子アルゴリズムの
コスト関数の勾配の性質 であり, 勾配の 2 次モーメントは,
66
(6.14)
(6.15)
(6.16) (6.17) (6.18)
(6.19)
A(1) , UR (γR ),νR
(6.20)
E
∂C (γ) － v ∂γ γ
(ρ,O) = －2∆d (ρ) d2 －1
ν (dγ M
γ
)Tr
νM (dγM)Tr A A(2) O⊗2GJ UL(γL)†,νL 1
vγ(ρ,O):= d d
νM(dγM)Tr UM,γU
† TrUM,γUM
2d∆(2)(ρ)∆(2)(O) (d2 － 1)2
M,γ
－ d
－
+
2∆(2)(O) d
ρ GJ2 (2)
UR(γR),νR
νM (dγM)Tr J1 AUL(γL)†,νL O AUR(γR),νR
d2 － 1
(2)
ρ
線型演算子J1: LH⊗2→LH⊗2, J1: H⊗2 →H⊗2, J2: H⊗2 →H⊗2 を,
J1 (·) := (U† )⊗2 (·)U⊗2 +(U† )⊗2 (·)U⊗2 +2(U† ⊗U†
M M,γ M,γ M M M,γ
)(·)(UM,γ ⊗UM) J1 :=(UM ⊗UM,γ)(U† ⊗U† )－(UM,γ ⊗UM)(U† ⊗U† )
M M,γ M M,γ
J2 := (U† ⊗U† )(UM,γ ⊗UM)－(U† ⊗U† )(UM,γ ⊗UM) M,γ M M M,γ
とした.
また, H の正規直交基底 {|i⟩}di=1 に対して,
G ∈ L G|i⟩⊗|j⟩ = |j⟩⊗|i⟩で定義する これから逐次化不能な並列処理系に於ける局所非同期計算や
量子磁束の講究録をチェックする。
土日は、数理解析研究所のメンバーと論文講義が有り
来週は、熱量子シンポジウムが学会で有るので
量子レスは暫く休みます。 正直もうつらい
でも今更やめるわけにもいかないので土日もやります
土日やらない程度の覚悟でやってると思われるのは癪に障るので
これは粛清なんです 著しくIQが低く教養が皆無の君らは僕が適当にコピーペーストしてると思っているみたいですね。
残念ですが僕は自分の研究論文のチェックをしているだけです。
理工学量子力学の研究員でもあります。興味の無いレスはしませんね。
自分にも特にならないと時間の無駄ですからね。
著しくIQのが低く教養が皆無の君らに対しては覚悟も意地の意見も思想も知恵もコンセプトも何もありません。
僕は・・ぬ・い・ぐ・る・み・の・ラ・ブ・ド・ー・ラー・が・嫌いなだけです。対象は君らでは無い。 人形そのものですよ。
ぬいぐるみは愛しき子供の世界の物語です。
キモヲタの老害ぼっちがぬいぐるみを抱いているのは許せません。君らは病みを通り越して堕ちているんだろう。
子供の頃に疎外されていたのかも知れない。女の子になりたったのかも知れないね。
いずれにしてもキモヲタの老人には不釣り合いで人間としてクズなのは間違いない。
吐き気がして脳みそが腐敗したので、今後のすべての予定を変更してここで引退します。
今後のレスは成りすましの愉快犯が担当します。
無能なキモヲタ射精ぬい同志で汚れた無意味で不毛な荒らしごっこを続けて下さい。
突然、舞い降りた世界が降臨したのです。 深い意味はありません。
君らを浄化して救済するのは、薄汚れた精液臭いぬいぐるみの爛れた微笑みにあるんですからw
お元気で・・不毛でした。 ぬいぐるみとは何なのか
ウレタンに布を被せた幸福人偶はぬいぐるみなのか
それがぬいぐるみなら
ハルミデザインズのウレタンドールに布を被せればぬいぐるみなのか
空気嫁に布を被せたものもぬいぐるみなのか オリエント工業とか4森とかお迎えしてる人に比べるとハルミのスポンジとか木偶の棒とかA-ONEとかを選択してる人は
実践上の軽さ重視の為だと推測する。オリエントでもファンタスティックを選択した人はアニヲタでコスプレ趣味に過ぎない。
リップロップなど骨格入りをお迎えした人はぬいドールへの深い愛と病みへの入り口に立った人だろう。愛らしい闇には盲目的に堕ちやすい。 荒らしはいつの時代も存在する。ある特定の人物への誹謗中傷も近年は自殺する案件にまで発展し社会問題にもなって来た。
掲示板にも屍体や糞尿や内臓等のグロい画像貼りから下劣な書き込みに妄想妄言の自慢話まで後を絶たない。連続投稿による板潰しも健在だ。
成人向け匿名掲示板なのだからエログロ系の嫌がらせが定番の筈が迷惑コピペ行為も多様化している。スレ民が嫌がる下劣なエログロ系を別とすると
本人が興味がある文章を貼っていると推察する。本人が嫌いなら自分への迷惑行為に変質してしまう。いずれにしても無意味な自暴自棄行為であるのは間違いない。
運営側に尋ねた所、荒らしを嘲笑ったり揶揄ったり構う行為も荒らし行為だと認定している。完全無視以外は方法は無いそうだ。すべては各自の自尊心とモラルで左右する。
批判する事は天へ唾を吐くのと同じだ。スルーは最大の防御で正義だ。気に入らない書き込みでも何の反応せずスルー出来ている人は知的で真の勇気のある人なのだろう。
弱者程、迷惑行為には敏感に反応するものだ。それは疾患依存系偽善であり悪意を拡散し新たな憎悪を産み出す宣戦布告でもある。 このような深刻な精神疾患では、家族の中には苦労して生きている人もいるに違いない。 ウレタンの表面劣化を補うために布地被せるのは良い対策かと ごめんなさい
ぼくのまけです
りょうこのことなんか何ひとつわかりません
りょうこが最先端のなんかだと聞いて、それ持ち出せば賢く見えるかな？
と思ってやりました
輪文がなんなのかも本当はわかりません
学会ってのに行ってみんなで勉強したらわかるようになるのかな？ ぶっちゃけほとんどの人が幸福人偶系しか興味ないんだろ
ほかは邪魔でしかないって思ってるでしょ 骨格はケーブルで形を保つくらいの軽量なのが欲しいよ >>740
らぶぬいのぽっこりおなかはいいものですよ ぬい好きとロボっ娘好きは被ると思うんだ
おまえら、人型ロボが個人所有出来たら絶対外装いじるだろ 粒子はつねに定まった角運動量を有しているとは限らない。
水素原子の場合、電子は定まったエネルギーをもつとともに
定まった角運動量を有している。このことが可能であるのは、
エネルギー演算子Hと角運動量の大きさの2乗の演算子との間に
交換可能という特別の関係H＝Hが成り立つからで、
この関係を可換という。2個の演算子A、Bが共通の固有関数χ
すなわちAχ＝aχ,Bχ＝bχをもつための必要十分な条件は
AとBとが可換なことである。 水素原子内の電子は定まった運動量を有する状態
すなわち運動量の固有状態ではない。
実際、電子の運動量の演算子－iħ(∂/∂x)などは
先ほどのエネルギー演算子Hと交換可能ではない。 それではこの場合、電子の運動量はどうなっているのであろうか。
運動量の固有関数は－iħ(∂/∂x)∅＝px'∅などを満たす。
ここでpx'はx方向の運動量の固有値である。
この微分方程式は容易に解くことができ、
固有関数は波長2πħ/px'の平面波∅px'を表す関数となる。
ところで、エネルギーEをもつ電子の状態関数を、
運動量の固有関数の重ね合わせで表すことができる。
重ね合わせの係数すなわち重みをa(p)とすれば
積分の代わりにΣで表している。 このとき電子は運動量pを|a(p)|2の確率で有している。
同様に、状態関数(x,y,z)は電子が点(x,y,z)にある状態関数
すなわち位置の固有状態の重ね合わせの係数とも考えられるので、
電子は点(x,y,z)に|(x,y,z)|2の確率で存在することになる。 状態関数1・2を重ね合わせた＝c11＋c22も
また量子的状態を表す状態関数である。
量子的状態はχの物理的性質を割合で有している。物理量は演算子の形をとる。
この物理量をオブザーバブルという。オブザーバブルは古典論の物理量の
運動量pxなどを－iħ(∂/∂x)などで置き換えて得られる。
物理量のとる値はオブザーバブルの固有値のみである 量子的状態はiħ(∂/∂t)＝Hに従って時間的に変化する。
ここでHはエネルギー演算子で、この方程式もシュレーディンガー方程式という。
運動量pxが微分演算子とすれば、位置xとの間に交換関係xpx－pxx＝iħ
すなわちxpx∅(x)－pxx∅(x)＝iħ∅(x)という関係が成り立つ 位置と運動量は特別な関係にある一組の物理量であって、
この物理量を用いてニュートンの運動法則を書き換えると、
質量すなわち粒子の属性が現れない 位置xと運動量pxのかわりにそれぞれ－pxとxとを用いても同様のことがいえるので、
この両者の関係は共役(きょうやく)であることがわかる。
この関係を正準共役という。一般に正準共役の関係にある物理量の
オブザーバブルA、Bの間にはAB－BA＝iħの関係が成り立つ 状態関数のかわりに演算子が時間的に変化すると考えて
シュレーディンガー方程式を書き換え、
まったく同じ確率分布を得るようにすることができる。
この場合、演算子を行列として表現することが多い。
こうして得られた力学の形式を行列力学という。
ハイゼンベルクが1925年にみいだしたのは、
正準共役な物理量の間の交換関係の行列表現である シュレーディンガー方程式を数学的に解くことが困難なため、
変分法、ハートリー‐フォックの方法、WKB法、摂動論など
さまざまな近似法が用いられる。
WKB法は状態関数をプランク定数のべき
級数（整級数）展開で求める方法である 量子力学運動電子が水素原子内でとる位置の確率を示している。
注意すべきことは、図Bは、電子が瞬間瞬間特定の位置にあって
ある有限時間にとる電子の位置の全部を図示したもの、
すなわち古典統計的な分布を示したものではないということである。
この場合、電子は同時に各位置にそれぞれ異なる確率で存在している。
運動量についても同様 古典力学の粒子の状態が位置と運動量とを同時に与えることによって
定まるのと比べてきわめて対照的である。
一般に粒子はある範囲Δxの位置に同時にあり、
かつ、ある範囲Δpxの運動量の値を同時にとる この場合ΔxとΔpxとの間には不確定性関係ΔxΔpx≧ħ/2が成り立つ。
位置の固有状態では位置が定まっているのでΔxは0である。
したがってΔpxは∞となり運動量はまったく不確定 この不確定性関係は正準共役な二つの物理量の間につねに成り立つ。
この不確定性関係は正準関係にある物理量の交換関係から導き出されるものであり、
この意味で客観的なものであって、主観の関与によって成り立つものではない この不確定性関係を粒子の実際の位置の測定に即して示したものが
ハイゼンベルクのγ(ガンマ)線顕微鏡である
水素原子の状態の位置と運動量分布を一つにまとめると、
分布が有限な広がりをもつことがわかる。これは不確定性関係を示す アインシュタインとボーアの間で物理的実在に関する論争が行われた。
シュレーディンガーのネコはこの種の問題の一例であって、
主観の客観に対する作用として哲学の論争の材料 測定観測過程のどの段階でどのような条件のもとに
この移行が行われたかを、量子力学的過程の結果として示すことが
観測の理論の内容であるが、現在まだ十分な解決をみていない 量子コンピュータは、情報が重ね合わせ可能であるとして情報変換を行うもので、
特定の演算においては現在のスーパーコンピュータよりもはるかに大きな演算速度で
行えることが理論的に示されている。このほか、電子あるいは光量子1個の変化による
情報処理が構想され 前期量子論の困難をシュレーディンガーの波動力学，ハイゼンベルクらの
マトリックス力学を二つの表現形式とし，ディラック，ヨルダンの変換理論によって
両者を融合統一した理論体 古典力学と根本的に異なる点は，ある種の物理量
（たとえば原子内電子のエネルギー，角運動量など）が
連続的な値をとり得ずとびとびの値しか許されないこと（量子化），
また一定の状態である量を測定しても一定値が得られるとは限らず，
同じ状態で多数回測定を繰り返した場合の期待値
（あるいは一定値の得られる確率）だけが定まる 量子力学による記述は本質的に確率的・統計的であり，
古典力学の決定論的因果性と対立する。また物質や光にみられる粒子性と波動性，
粒子の運動状態を決定する位置と運動量などの間に相補性が存在し，
不確定性原理が成立 量子力学は相対性理論をとり入れない限りでほぼ完成した理論とみられ，
原子・分子等微視的対象の行動を統一的に記述でき，
物理学・化学をはじめ広範囲の科学・技術に応用され，
また思想にも大きな影響を与えている ハイゼンベルクの不確定性原理は，原子や分子の世界の現象は
古典的な力学理論では記述できないことを示し，
この対象に適用される新しい理論体系を追求しなければならなくなった
これが量子力学であり，W.K. Heisenberg，P.A.M. Dirac，E. Schrödinger(1925～1926年)が
それぞれ独立にこれを建設した
それらは外見上の数学的形式はそれぞれ異なっている 子の世界における電子の場合系のエネルギーのような量はオブザーバブルとなるが，
不確定性原理が示すように電子の位置座標と運動量はともにオブザーバブルにはなりえない
いま，あるオブザーバブルをAで表し，その理論的期待値をaと書く
この期待値aを一定の手順で算出しうる数理的体系をそれぞれ独自の方式で確立 オブザーバブルAにはφ(x,y,z,t)に作用する
ある定まった数学的演算が対応することになるので，
以下Aは演算子と考えてよい
オブザーバブルの理論的期待値aは，φλ(x,y,z,t)が満たす固有値
Aφλ ＝ aλφλ
のいくつかある固有値
aλ(λ ＝ 0，1，2，…)
のいずれかである
そして，φはその固有関数φλ である
最後に演算子Aに対するオブザーバブルの測定を
何回も繰り返した平均値は，
＝ ∫ φ*Aφ dx dy dzで与えられる．
量子力学の3公理 φ(x,y,z,t)の絶対値の自乗 φ*φは，点(x,y,z)における単位体積当たりの粒子の存在確率を表し，
その積分は粒子は空間に広がって存在するが，全体では1個であるというきわめて自然な条件を表している．
演算子の対応を比較ℏ ＝ h/(2π)．h/(2π)の導入は運動量演算子のところとエネルギー演算子でなされ，
量子性を反映した状態関数の波動性を示している粒子の全エネルギーはハミルトニアン 量子コンピュータは, 従来のコンピュータでは解くことが難しいとされていた
複雑な問題を解きうる可能性 を秘めている. さらに, 量子技術の急速な発展により,
量子コンピュータは現実のものとなりつつある.
現状の量子コンピュータは, 量子ビットの数や精度良く計算可能な量子回路の深さに制約があり,
複雑な問 題を完全に解くのは難しい. 変分量子アルゴリズムは, こうした制約の下でも機能すると
期待されている代表 的な量子アルゴリズムで, 量子化学, 組合せ最適化問題, 物理系シミュレーション,
機械学習といった様々な分 野への応用が提案 理系シミュレーションは, 量子コンピュータの応用例の一つとして期待されている
しかし, 現状の量子コ ンピュータの制約上, 単純な手法による物理系の長時間発展
シミュレーションは困難である. そこで, 本論文で は Restarted Quantum Dynamics
という変分量子アルゴリズムを用いることで, サイズの小さな系の長時間
発展シミュレーションを現状の量子コンピュータ上で実現 物理系としては, 空間格子上の 1 + 1 次元量 子電磁力学に対応する
格子シュウィンガーモデルというモデルを例にとった. そして,
同アルゴリズムが従来 のコンピュータ上でシミュレーション
できないほどサイズの大きな系に対して効率的に実行可能か否かは,
格子シュウィンガーモデルの初期状態の電荷に依存しうることを解析的に導いた 広いクラスの変分量子アルゴリズムに対して, 解の候補の空間を作り出す
量子回路の表 現能力が豊かになるほど, 効率的に最適解を見つけることが
難しくなることを示唆する解析的な結果を得た
また, その解析的な結果が, 量子コンピュータのシミュレータを用いた
数値計算の結果と矛盾しないこと ショアの素因数分解アルゴリズムが示唆するように, 量子コンピュータは
従来のコンピュータに比べ, 優 れた計算能力を持つと期待されている.
量子回路モデルと呼ばれる量子計算について述べる. 量 子回路モデルは
主に, 量子ビット, 量子ゲート, 測定から成る. 量子論の言葉で言えば,
n 量子ビットとは n 個 の 2 準位系の合成系であり, その合成系に
作用するユニタリ演算子を量子ゲートという. 量子回路では,
量子 ビットに適当なユニタリ演算子を繰り返し作用させた後に,
量子ビットを測定することで, 計算結果を得る. このように,
量子コンピュータは量子状態を情報単位として計算を行うという,
従来のコンピュータと異なる計 算方法を実現 ショアの素因数分解アルゴリズムが示唆するように, 量子コンピュータは
従来のコンピュータに比べ, 優 れた計算能力を持つと期待されている.
量子回路モデルと呼ばれる量子計算について述べる. 量 子回路モデルは
主に, 量子ビット, 量子ゲート, 測定から成る. 量子論の言葉で言えば,
n 量子ビットとは n 個 の 2 準位系の合成系であり, その合成系に
作用するユニタリ演算子を量子ゲートという. 量子回路では,
量子 ビットに適当なユニタリ演算子を繰り返し作用させた後に,
量子ビットを測定することで, 計算結果を得る. このように,
量子コンピュータは量子状態を情報単位として計算を行うという,
従来のコンピュータと異なる計 算方法 NISQ デバイスは, 量子ビットの数や精度良く計算可能な量子ゲートの深さが限られている
量子ビットの 数が限られていることは, 計算に多くのメモリを要するアルゴリズムを
実行できないことを意味し, 量子ゲー トの深さが限られていることは, 計算に長時間を
要するアルゴリズムを実行できないことを意味 量子コンピュータ上での量子系の時間 発展シミュレーションでは,
トロッター分解を用いる [7, 8, 9, 10]. トロッター分解では, 系の時間発展演算子 を
量子ゲートとして近似的に実現するが, シミュレーション時間に比例して
必要な量子ゲート 計算可能な量子ゲートの深さが限られた NISQ デバイス上での
長時間発展シミュレー ションは困難である. こうした問題を解決すべく,
Restarted Quantum Dynamics (RQD) と呼ばれるアルゴ リズムが提案 変分量子アルゴリズムと呼ばれる,一般的な枠組みとして捉えることができる
変分量子 アルゴリズムは, NISQ デバイスを用いた最も代表的なアルゴリズムの一つで,
数理最適化問題つまり関数の 最小化問題を NISQ デバイスと古典コンピュータを
ハイブリッドに用いて解く 量子ゲートのことをアンザッツという
変分量子アルゴリズムの特徴は, 量子コンピュータ上で評価した コスト関数の値や
その勾配の情報をもとに, 古典コンピュータを用いてパラメータ更新を行うことで,
コスト 関数の最小点を探索 NISQ デバイスの制約上, トロッター分解による長時間発展シミュレーションは 困難である
この問題を解決しうる変分量子アルゴリズムが RQD であった. RQD では,
物理系の時間発展演 算子に対応する量子ゲートと NISQ デバイス上で
計算可能な浅いアンザッツとの差をコスト関数として表現 する
関数を最小化することで, 時間発展演算子に対応する量子ゲート 高エネルギー物理のための量子アルゴリズムのトイモデルとしてよく用いられ る
格子シュウィンガーモデルを例にとった
RQD によって, サイズの小さな系に対して, NISQ デバイスの制約を超えた
長時間発展シミュレーションを実際の量子コンピュータ 時間発展演算子に対応する量子ゲートを, 格子シュウィンガーモデル の
電荷保存則を必ず満たすような粒子数保存アンザッツと呼ばれる
アンザッツに近似をした. 系の対称性 を満たすように
近似量子ゲートを設計することで, NISQ デバイスの雑音の影響を緩和できる 時間発展演算子に対応する量子ゲートと粒子数保存アンザッツと の差を
表現するコスト関数の最小化には, 雑音に対して剛健な逐次最小化アルゴリズムを用いた
逐次最 小化アルゴリズムの雑音に対する剛健性 アルゴリズムが効率的に実行可能か否かを明らかそのために,
同アルゴリズムで最小化したコスト関数の解析的な性質を詳細に調べた
粒子数保存ア ンザッツを用いた変分量子アルゴリズムのコスト関数の解析は,
本論文によって初めて為された 変分量子アルゴリズムのコスト関数の一般的な性質
変分量子アルゴリズムの実現において, コスト関数の最適化に要する計算量が
ボトルネックとなる
変分量子アルゴリズムのスケラービリティの理解のためには,
コスト関数の性質を理解することが 重要 量子コンピュータの計算原理の理解に必要な有限次元の量子論について
量子回路と呼ばれる量子コンピュータの計算モデル
変分量子アルゴリズムにつ いて
NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーションについて
変分量子アルゴリズムのコスト関数の一般的な性質 有限次元の量子論の線型空間の次元は有限
量子論を記述するのに必要な言葉の準備と 量子論の出発点となる公理について
密度演算子という演 算子が量子系の状態を記述すること
CPTP 写像という線型写像が量子系の時間発展を記 述する
POVM という演算子の集合が量子系の測定を記述 2.1.1 線型空間 構造を持たない集合の中に加法とスカラー倍という演算
定義 2.1 (線型空間 [40]) 空でない集合 V が以下の 2 つの条件を満たすとき,
V は K 上線型空間であるとい う. 特に, C 上線型空間を複素線型空間,
R 上線型空間を実線型空間 線型空間の中に, 長さや角度の概念に対応する内積という演算を取り入れる.
定義 2.3 (内積空間 [40]) K 上線型空間 V の任意の 2 つの元 |ψ⟩, |φ⟩ に対して,
(|ψ⟩ , |φ⟩) と書かれる K の 元を対応させる内積と呼ばれる演算が存在するときに,
V を内積空間という 内積空間 V のベクトル |ψ⟩, |φ⟩ が ⟨ψ|φ⟩ = 0 を満たすとき,
|ψ⟩, |φ⟩ は直交する
また, 内積空間 V には自然なノルム ∥|ψ⟩∥ := ⟨ψ|ψ⟩ が定義でき る
ノルムが 1 のベクトルを単位 内積空間の互いに直交する単位ベクトルから成る基底を正規直交基底
定義 2.4 (正規直交基底 ) K 上内積空間 V の基底 {|ei⟩}dim V が,
を満たすとき, {|ei ⟩}dim V は V の正規直交基底であるという. i=1
i=1
⟨ei|ej⟩ = δij (i,j = 1,2,...,dimV ) (2.1)01 有限次元の量子論 2.1.3 凸集合とアフィン写像
実線型空間の部分集合のうち, 凹みのないような
凸集合と呼ばれる集合を定義する.
定義 2.5 (凸集合) 実線型空間 V の部封ｪ集合 W が,
任意の w1, w2 ∈ W と p ∈ [0, 1] に対して,
pw1 +(1－p)w2 ∈W (2.2)
を満たすとき, W を凸集合 定義 2.6 (アフィン写像 [40]) V , W を凸集合とする
f : V → W が, 任意の v1, v2 ∈ V と p ∈ [0, 1] に対して,
f(pv1 +(1－p)v2)=pf(v1)+(1－p)f(v2) を満たすとき, f をアフィン写像3651 線型空間から線型空間への写像として, 線型写像を定義
定義 2.7 (線型写像 [40]) V , V ′ は K 上線型空間
f : V → V ′ が, (1) 任意の|ψ⟩,|φ⟩∈V に対して,
f(|ψ⟩+|φ⟩)=f(|ψ⟩)+f(|φ⟩) L (H) の線型演算子を特徴付ける固有値とトレースという量を定義
定義 2.8 (固有値 [40]) A∈L(H)があるa∈Cと零元でない|ψ⟩∈Hに対して,
A |ψ⟩ = a |ψ⟩ (2.4)を満たすとき, a を A の固有値といい, |ψ⟩ を
固有値 a の固有 有限次元の量子論 11 定義 2.9 (トレース [40]) H の正規直交基底 {|ei ⟩}dim H
H 上のトレース Tr : L (H) → C を,TrA = で定義
Tr A は正規直交基底の選び方に依らない.
恒等演算子, 随伴演算子, 正規演算子と呼ばれる線型演算子を定義 定義 2.10 (恒等演算子 [40]) A ∈ L(H) が任意の |ψ⟩ ∈ H に対して
A|ψ⟩ = |ψ⟩ を満たすとき, A を恒等演
i=1 dim H⟨ei|A|ei⟩ (2.5)
i=1
算子と1875 定義 2.11 (随伴演算子 [40]) A ∈ L (H1, H2)
このとき, 任意の |ψ⟩ ∈ H1, |φ⟩ ∈ H2 に対して,
(|φ⟩,A|ψ⟩) = (B|φ⟩,|ψ⟩) を満たす B ∈ L (H2, H1) を
A の随伴演算子659 定義 2.12 (正規演算子 [40]) A ∈ L (H) が AA† = A†A を満たすとき,
A を正規演算子
正規演算子は, スペクトル分解と呼ばれる分解 定理 2.13 (スペクトル分解 [40]) 任意の正規演算子 A ∈ L (H) は,PaPa′ =δaa′Paを満たす.
正規演算子のうち, 量子論において重要な役割を果たす演算子を定義 定義 2.14 (正規演算子の例
A∈L(H)が任意の|ψ⟩∈Hに対して⟨ψ|A|ψ⟩≥0を満たすとき,
Aを正値演算子といい,A≥0
また, A,B ∈ L(H) に対して, A － B が正値演算子であるとき, A ≥ B A ∈ L (H) が AA† = IH を満たすとき,
A をユニタリ演算子という
A ∈ L (H) が A = A† を満たすとき,
A をエルミート演算子という
P ∈ L (H) が P 2 = P = P † を満たすとき, P を射影演算子365 線型写像全体の集合 L (V, V ′) に自然な加法とスカラー倍の演算を考えることで,
L (V, V ′) も線型空間をな す. したがって, 線型写像全体の集合から
線型写像全体の集合への線型写像が定義6548 有限次元の量子論 12 定義 2.15 (正写像, n-正写像, CP 写像,
CPTP 写像 [40]) E : L (H1 ) → L (H2 ) を線型写像とする.
(1) E が正値演算子を正値演算子に写すとき, E を正写像という.
(2) In をL(Cn)上の恒等写像として,E⊗In:L(H1)⊗L(Cn)→L(H2)⊗L(Cn)が正写像であるとき,
E は n-正写像という.
(3) E が任意の n ∈ N に対して n-正写像であるとき, E は CP 写像であるという. 特にトレースを保存する
CP 写像を CPTP 写像という.
次の定理で述べるように, CPTP 写像には Kraus 表現と呼ばれる記述の方法が知られており,
量子コンピュータ上の雑音の記述154 定理 2.16 (Kraus 表現 [40]) 線型写像 E : L (H1) → L (H2) に対して, 以下は同値.
(1) (2)
2.1.5
E が CPTP 写像である.
lk=1 Vk†Vk = IH1 を満たす l ≤ dimH1 dimH2 個の線型演算子 Vk :
H1 → H2 (k = 1,2,...,l) が あって, 任意の A ∈ L (H1) に対して,
(2.8)
E (A) = と表せる. 各 Vk : H1 → H2 のことを Kraus 演算子 2 つの線型空間を用いて, テンソル積空間と呼ばれる新たな線型空間を作り出す.
定義 2.17 (テンソル積空間 [41]) V1, V2, V を K 上線型空間とする.
F : V1 × V2 → V が次の 2 つの条件を満たすとする.
(1) 任意の |ψ1⟩,|ψ2⟩ ∈ V1, |φ1⟩,|φ2⟩ ∈ V2, a,b ∈ K に対して,
F (a|ψ1⟩ + b|ψ2⟩,|φ1⟩) = aF (|ψ1⟩,|φ1⟩) + bF (|ψ2⟩,|φ1⟩)
F (|ψ1⟩,a|φ1⟩ + b|φ2⟩) = aF (|ψ1⟩,|φ1⟩) + bF (|ψ1⟩,|φ2⟩)
(2) V1 の基底 {|ei⟩}dim V1 , V2 の基底 {|fi⟩}dim V2 に対して, {F (|ei⟩ , |fj ⟩)}
i=1 i=1 i=1,2,...,dim V1;
(2.9) (2.10)
がV の基底6847 V を V1, V2 のテンソル積空間と呼び,
V1 ⊗ V2 と書く. さらに, F (|ψ⟩ , |φ⟩) を |ψ⟩ ⊗ |φ⟩
定義 2.17 と同様に, 3 つ以上の線型空間から
テンソル積空間を作り出す
線型空間 V1, V2, V3 から, テンソル積空間 V1 ⊗ V2 ⊗ V3 を作り出せる
特に, n 個の線型空間 V から作り出せるテンソル積l k=1
VkAVk†
j=1,2,...,dim V2214 有限次元の量子論 13 空間を V ⊗n 2 つの内積空間を用いて, 内積を備えたテンソル積空間を作り出す.
定義 2.18 (テンソル積ヒルベルト空間 [41]) H1, H2 を複素内積空間とし, その基底をそれぞれ {|ei⟩}dim H1 ,
i=1 {|fi⟩}dimH2 とする.このとき,テンソル積空間H1⊗H2の内積を,|ψ⟩=dimH1dimH2ψij|ei⟩⊗|fj⟩,
i=1 i=1 j=1 |φ⟩=dimH1 dimH2 φij|ei⟩⊗|fj⟩に対して,
dimH1 dimH2
⟨ψ|φ⟩ :=で定義8745 内積を定めたテンソル積空間をテンソル積ヒルベルト空間
定義 2.18 と同様に, 3 つ以上の複素内積空間から
テンソル積ヒルベルト空間を作り出す
2 つの線型空間上の線型演算子から,
テンソル積空間上の線型演算子を作り出す478 i=1 j=1
dim V1 dim V2 ψij |ei⟩ ⊗ |fj ⟩ に対して, i=1 j=1で定義する.
L(H1 ⊗H2)に対して,
TrH2 X = で定義する.
ここで, TrH2 X は X の分解9874 (2.13)
i,k=1 j,l=1
定義 2.19 (線型演算子のテンソル積
V1, V2 を K 上線型空間とし, その基底をそれぞれ {|ei⟩}dim V1 , i=1
{|fi⟩}dimV2 とする. このとき,
A ∈ L(V1), B ∈ L(V2) に対して, A ⊗ B ∈ L(V1 ⊗V2) を, |ψ⟩ = i=1
dimV1 dimV2
(A ⊗ B) |ψ⟩ := ψij A |ei⟩ ⊗ B |fj ⟩ i=1 j=1
(2.12)
定義 2.19 と同様に, 3 つ以上の線型空間の線型演算子から,
テンソル積空間上の線型演算子654 テンソル積空間 H1 ⊗ H2 上への線型演算子を,
H1 上の線型演算子に変換する演算として, 部分トレースが 定義
定義2.20(部分トレース)H2上の部分トレースTrH2:L(H1⊗H2)→L(H1)を,X=Aj⊗Bj ∈ j
j
ψijφkl ⟨ei|ek⟩⟨fj|fl⟩
(2.11)
Tr[Bj]Aj6541 有限次元の量子論
公理 2.21 有限次元の量子系は複素内積空間 H で表現され,
量子状態は H 上の単位ベクトルで表現
物理量は, エルミート演算子 A ∈ L(H) で表現され,
測定値はその固有値321 公理 2.22 ([40]) 閉じた系の時間発展はユニタリ演算子で記述
時刻 t1 における量子状態 |ψ(t1)⟩ と時刻 t2 における
量子状態 |ψ(t2)⟩ との関係は, t1 と t2 だけに依存する
ユニタリ演算子 U を用いて
|ψ(t2)⟩ = U |ψ(t1)⟩ (2.15)
と関係6521 量子系の合成系に関して次のような公理を課す.
公理 2.23 ([40]) 複素内積空間 H1, H2 によって
表現される量子系 S1, S2 の合成系 S1 + S2 は,
テンソル積ヒルベルト空間 H1 ⊗ H6521 S1 系の物理量 A1 ∈ L (H1) は, 合成系 S1 + S2 では
A1⊗IH2 ∈L(H1⊗H2)で表現される. 同様に,S2系の物理量A2 ∈L(H2)は,
合成系S1+S2では IH1 ⊗A2 ∈L(H1 ⊗H2)58 密度演算子全体の集合をS(H):={ρ∈L(H)|ρ≥0, Trρ=1}
S(H)は凸集合である. 確率 pi で状態 |ψi⟩ ∈ H を準備するという
確率混合の操作によって得られた混合状態 s は,ρ =と密度演算子 ρ で記述625 混合状態 s に対して, 任意の物理量 A = 定値 a を得る確率は,
P (A = a | ρ) = piP (A = a | |ψi⟩) = pi ⟨ψi|Pa|ψi⟩ = Tr[ρPa] (2.17) ii
i
pi |ψi⟩ ⟨ψi|
(2.16) aPa の測定をして, a∈σ(A) 確率 pi で密度演算子 ρi ∈ S (H) で記述される混合状態 si を
準備するという確率混合の操作によっ て得られた混合状態 s もまた
ρ =と密度演算子 ρ で記述でき, 混合状態 s に対して, 任意の物理量 A =
(2.18) aPa の測定をして, 測定値 a を
得る確率は,
P (A = a | ρ) =
pi Tr[Paρi] = Tr[ρPa]
(2.19)
piρi
piP (A = a | ρi) = ii
i 合成系 S + E から部分系 S の状態を抽出する
操作によって得られる量子状態も密度演算子で記述
合成系S+Eにおける量子状態をρSE ∈S(HS ⊗HE)とし,
Sの任意の物理量Aの任意の固有値aに対し て,
量子状態ρS ∈S(HS)が
P (A = a | ρS) = P (A = a | ρSE) (2.20)
を満たすとき,ρS を合成系S+Eの部分系Sの量子状態6954 P(A=a|ρS)はρS に対して測定 をして測定値 a を得る確率,
P (A = a | ρSE) は ρSE に対して測定をして測定値 a を得る確率
このと き,全体系S+Eの量子状態ρSE ∈S(HS ⊗HE)の部分系Sの状態は
密度演算子TrEρSE ∈S(HS)で記述147 公理 2.21, 公理 2.22 を, 密度演算子の命題 2.25 量子系は
複素内積空間 H で表現され, 量子状態は ρ ∈ S (H) で表現
物理量は, エルミー ト演算子 A ∈ L(H) で表現され,
測定値はその固有値9874 量子状態 ρ ∈ S (H) の下で, 物理量 A ∈ L(H) を測定するとき,
測定値が A の固有値 a ∈ R となる確率 P (A = a | ρ) は,
P (A = a | ρ) = Tr[ρPa] (2.21) で与えられ,
測定値の期待値は Tr [ρA] で与えられる.
ここで, Pa ∈ L (H) は A の固有値 a の固有空間への射影演算子51 命題 2.26 閉じた系の時間発展はユニタリ演算子で記述
つまり, 時刻 t1 における量子状態 ρ(t1) と時刻 t2 における
量子状態 ρ(t2) との関係は, t1 と t2 だけに依存する
ユニタリ演算子 U を用いて
ρ(t2) = Uρ(t1)U† (2.22)
と関係づけられる.
a∈σ(A)6954 ρ, σ が純粋状態で, ρ = |ψ⟩⟨ψ|, σ = |φ⟩⟨φ| であるならば,
F(ρ,σ) を F(|ψ⟩,|φ⟩) と書く.
純粋状態 |ψ⟩, |φ⟩ に対しては,
F (|ψ⟩ , |φ⟩) = |⟨ψ|φ⟩| (2.24)が成立293 |ψ⟩ と |φ⟩ が, 位相因子を除いて等しい時にのみ忠実度は 1 になり,
直交している時 にのみ忠実度は 0 になる.
一般に, 純粋状態同士の忠実度に限らず,
F (ρ, σ) = 1 であることと ρ = σ であるこ とは同値294 2.4 量子系の時間発展の記述
例えば, 量子コンピュータと外界との相互作用によって
引き起こされる雑音は, 全体系で見ればユニタリ演 算子で記述
一方で, 量子コンピュータの部分系から見ると,
その雑音は必ずしもユニタリ演算子で記述 できる654 一般的な状態の時間変化は, 複素内積空間 HA で表現される量子系 A の
初期状態を複素内積空間 HB で表 現される量子系 B の終状態に移す
時間発展写像は, S (HA) から S (HB) への写像であるから, TP 写像6210 時間発展 写像はアフィン性を備える確率 p, 1 － p で, 量子状態 ρ, σ ∈ S (HA) が
混合した量 子状態 pρ + (1 － p)σ を, 時間発展写像 E で
時間発展させて得られた状態 E (pρ + (1 － p)σ) と
量子状態 ρ, σ ∈ S (HA) を時間発展写像 E で
時間発展させて得られた状態 E (ρ), E (σ) が
確率 p, 1 － p で混合した量子状 態pE(ρ)+(1－p)E(σ) E (pρ + (1 － p)σ) = pE (ρ) + (1 － p)E (σ) (2.25) が成立するべきであるからである.
したがって, 時間発展写像 E : S (HA ) → S (HB ) は TP かつアフィンな写
像であるべきといえる 命題 2.28 ([40]) 写像 f : S (HA) → S (HB) はアフィン写像である
このとき, 任意の ρ ∈ S (HA)
に対して, f ̃(ρ) = f (ρ) なる TP かつ正写像な線型写像 f ̃: L(HA) → L(HB) が一意に定まる3654 命題 2.28 は, TP かつアフィンな時間発展写像 E : S (HA) → S (HB) を,
TP かつ正写像な線型写像 E:L(HA)→L(HB)と論じてよいこと意味している
以後,時間発展写像は,アフィン写像E:S(HA)→ S (HB ) ではなく,
TP かつ正写像な線型写像 E : L (HA ) → L (HB ) として議論5487 有限次元の量子論
時間発展写像は TP かつ正写像であるだけでなく,
CP 写像であるべきである. 理由は以下の通りである
量 子系 A, B と相互作用しない複素内積空間 Cn で表現される
n 準位系 Cn があった場合に, A + Cn の状態を B + Cn の状態へと写す
時間発展写像 E ⊗ In : L (HA ⊗ Cn) → L (HB ⊗ Cn) 65 議 論同様に, 任意の n に対して,
時間発展写像 E ⊗ In : L (HA ⊗ Cn) → L (HB ⊗ Cn) は
TP かつ正写像である べきである
つまり, E: L(HA) → L(HB) は CP 写像であるべき 時間発展を記述する写 像は CPTP 写像であるべきであると言えた
量子系の時間発展は少なくとも CPTP 写像であるべきだ
一方, CPTP 写 像による時間発展が, 量子論の公理に矛盾することなく
実現可能であるのかを議論52 命題 2.25 で述べた量子系の状態, 物理量, 測定に関する公理
命題 2.26 で述べた閉じた量子系の時間発展に関する公理
公理 2.23 で述べた合成系の公理に矛盾するこ となく
実現可能65 2.5 量子系の測定の記述測定とは, 系の状態にある操作をすることで
測定値を得ることと言えよう. ここでは, 測定によって得られる 測定値は,
離散確率分布69 量子状態の測定 M は, アフィン性を満たすべきである. つ まり,確率p, 1－pで量子状態ρ,
σ∈S(H)が混合した量子状態pρ+(1－p)σの下で測定値mを得る確率 P(M =m|pρ+(1－p)σ)は,
P(M = m | pρ+(1－p)σ) = pP(M = m | ρ)+(1－p)P(M = m | σ) (2.26) 測定 M がアフィン性を満たすことは, 測定 M が POVM 測定であることと同値である
POVM 測定とは以下のように定義される. 定義 2.29 (POVM, POVM 測定 )
線型演算子の集合{Em:H→H}m∈M がPOVMであるとは,任意のm∈Mに対してEm ≥0かつ
Em = IH M は有限集合231 量子系における測定 M が POVM 測定であるとは,
状態 ρ ∈ S (H) の下で, 測定値 m ∈ M を得る確率
P (M = m | ρ) が, ある POVM {Em : H → H}m∈M を
用いて, P (M = m | ρ) = Tr [Emρ] 56 物理量 A = aPa の測定は, POVM {Pa} による POVM 測定である. a∈σ(A) a∈σ(A)
量子系の測定は少なくとも POVM 測定であるべきだということ
POVM 測定 が, 量子論の公理に矛盾することなく実現可能654 POVM 測定は, 命題 2.25 で述べた量子系の状態, 物理量, 測定に
関する公理, 命題 2.26 で述べた閉じた量子系m∈ 有限次元の量子論 の時間発展に関する公理, 公理 2.23 で
述べた合成系の公理に矛盾することなく実現可能である
量子回路では, 量子ビットと呼ばれる情報の媒体に対して
量子ゲートと 呼ばれる操作することで計算を行い,
測定によって計算654 量子回路の構成要素である量子ビット, 量子ゲート, 測 定について
量子コンピュータへの雑音のモデルの量子回路 による量子計算のための
SDK である Qiskit量子ビット 3.1.1 単一量子ビット単一量子ビットとは
複素内積空間 C2 で表現される量子系のこと
単一量子ビットのある正規直交基 底内積は ⟨i|j⟩ = δij で定まっている654 計算基底単一量子ビットは, 量子回路図上で1 本の配線として描かれる
多量子ビットn 量子ビットとは単一量子ビットを n 個合成した量子系のこと
n 量子ビットとはテンソル 積ヒルベルト空間 (C2)⊗n で表現される
量子系のことである. n 量子ビットのある正規直交基底をn－1 19|i0i1 ...in－1⟩ :=
|ik⟩ | ik ∈ {0,1}, k = 0,1,...,n － 1 (3.2)
k=065421 量子回路 20 と書く. この基底のことを計算基底添字 k に対応する複素内積空間 C2 を第 k 量子ビット
量子ビットを意味する添字は 0 オリジンとする. n 量子ビットは, 量子回路図上で 本の配線として描かれたり,
第 0 量子ビット, 第 1 量子ビット65 n 量子ビットの初期状態は |0⟩⊗n 単一量子ビットに作用するユニタリ演算子 U 公理 2.22 より,
単一量子 ゲートとは単一量子ビットの時間発展を決定する演算子単一量子ゲート U は, 量子回路図上で
Uのように描かれる. 量子回路図上で, 単一量子ビットの初期状態 |ψ0⟩ に対して量子ゲート U を
作用させた結果, 単一量子ビットの状態が |ψ1⟩ に変化ψ1⟩ = U |ψ0⟩ (3.3)を表現するとき,|ψ0⟩ U |ψ1⟩と描く
量子計算の議論において重要な単一量子ゲートの例を以下に挙げる. 計算基底による行列表現を用いる.
例 3.1 (パウリ行列) パウリ行列 I, X, Y , Z はそれぞれ,I :=|0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|= 1 0 (3.4) 01698 量子回路
(3.5) (3.6) (3.7)
X :=|1⟩⟨0|+|0⟩⟨1|= 0 1 10
Y :=i|1⟩⟨0|－i|0⟩⟨1|= 0 －i i0
Z :=|0⟩⟨0|－|1⟩⟨1|= 1 0 0 －1
と定義される987 3.2 (アダマールゲート, 位相ゲート, T ゲート) アダマールゲート H, 位相ゲート S, T ゲート T はそれ
H := √1 (|0⟩⟨0| + |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0| － |1⟩⟨1|) = √1 1 1
(3.8)
(3.9) (3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
2
2 1 －1
S:=|0⟩⟨0|+i|1⟩⟨1|= 1 0 0i
T:=|0⟩⟨0|+eiπ4 |1⟩⟨1|= 1 0 0 eiπ465 3.3 (回転ゲート) 回転ゲート RX , RY , RZ は定義される.
cosγ RX(γ):=e－iγX/2 =cosγ2I－isinγ2X= 2γ －i sin 2
－isinγ γ2
cos 2
cosγ －sinγ RY(γ):=e－iγY/2 =cosγI－isinγY = 2 2
2 2 sinγ2cosγ2
RZ(γ):=e－iγZ/2 =cosγI－isinγZ=e－iγ/2 0 2 2 0 eiγ/2
3.2.2 多量子ビットゲート69 多量子ビットゲートとは, n (≥ 2) 量子ビットに作用する
ユニタリ演算子 U のことである. 多量子ビットに
作用する多量子ビットゲート U は, 量子回路図上で /U/
のように描かれる. n ビットの初期状態 |ψ0⟩ に対して
量子ゲート U を作用させた結果, n ビットの状態が |ψ1⟩ に
変化したこと
|ψ1⟩ = U |ψ0⟩ (3.14)69 量子回路 を表現するとき,22 |ψ0⟩ / U / |ψ1⟩
多量子ビットゲートでは, 単一量子ビットゲートにはない
制御演算と呼ばれる演算が可能である. 制御演算とは,
制御量子ビットの量子状態が |1⟩ であるときに限り,
標的量子ビットに対してユニタリ演算を作用させる69 量子計算の議論において重要な制御演算の 計算基底による行列表現
3.4 (CNOT ゲート) 制御量子ビットを 1 量子ビット, 標的量子ビットを
1 量子ビットとする. 制御量子 ビットの量子状態が |1⟩ のときに限り,
標的量子ビットに X ゲートを作用させる演算を CNOT ゲート65 制御量子ビットが第 i 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットのとき,
CNOT ゲートを Cji [X] と書く. 2 量子ビットに作用する C10 [X] は,
C10 [X] = |00⟩⟨00| + |01⟩⟨01| + |11⟩⟨10| + |10⟩⟨11| = 0 0 0 1 0010
のように表され, 量子回路図上で3.5 (SWAP ゲート) 第 i 量子ビット,
第 j 量子ビットに作用する SWAP ゲート SWAPij は,
1000
0 0 1 0 SWAPij := Cji [X]Cij [X]Cji [X] = 0 1 0 0
(3.15)
1000 0 1 0 069 0001
(3.16)
SWAP ゲート SWAPij は, 第 i 量子ビットと第 j 量子ビットの状態を入れ替えるような働き
SWAP ゲートは, 量子コンピュータ上で隣接していない量子ビット間に 2 量子ビットゲートを
作用させると きに用いられる. ここでは, 図 3.1a のような量子ビットのトポロジーを持つ
3 量子ビットの量子コンピュータ上で, 隣接していない第 0 量子ビットと第 2 量子ビットに
CNOT ゲート C20 [X] を作用3.1b のように, SWAP12 で第 1 量子ビットと第 2 量子ビットの
状態を入れ替えたのち, 第 0 量子 ビットと第 1 量子ビットに CNOT ゲートを作用させ,
再び SWAP12 で第 1 量子ビットと第 2 量子ビット87 3.1: (a) のような量子ビットのトポロジーを持つ量子コンピュータ上で,
第 0 量子ビットと第 2 量子ビットに CNOT ゲート C20 [X] を作用させるには,
(b) のように SWAP ゲート3.6 (制御 U ゲート) CNOT ゲートを一般化4 制御量子ビットを 1 量子ビット, 標的量子ビットを 1 量子ビットとする
制御量子ビットの量子状態が |1⟩ のときに限り, 標的量子ビットに単一量子ゲート U を
作 用させる演算を制御 U ゲートという. 制御量子ビットが第 i 量子ビット,
標的量子ビットが第 j 量子ビットの とき, 制御 U ゲートを Cji [U]987 量子ビットに作用する C10 [U] は,
0 1 2C10 [U] = |00⟩⟨00| + |01⟩⟨01| + (I ⊗ U)|10⟩⟨10| + (I ⊗ U)|11⟩⟨11| =
のように表され, 量子回路図上でI 0 0U
(3.17)9 3.7 (トフォリゲート) 制御量子ビットを 2 量子ビット, 標的量子ビットを
1 量子ビットとする. 制御量子 ビットの量子状態が |11⟩ のときに限り,
標的量子ビットに X ゲートを作用させる演算をトフォリゲート37 制御量子ビットが第 i1, i2 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットのとき,
トフォリゲートを Ci1,i2 [X] と書く. 3 量子ビットに作用する C0,1 [X] は,
j2
C 0,1 [X ] = |000⟩ ⟨000| + |001⟩ ⟨001| + |010⟩ ⟨010| + |011⟩ ⟨011| 2
+ |100⟩ ⟨100| + |101⟩ ⟨101| + |111⟩ ⟨110| + |110⟩ ⟨111| (3.18)9 量子コンピュータでは, 量子ビットに対して量子ゲートを
作用させることで得た量子状態を測定することで,
計算結果を得る.単一量子ビットの測定を, 量子回路図上で
メーター記号を用いて描く. 特に断らない限り,
単一量子ビットの測定は, 計算基底による測定, つま り POVM
{|0⟩ ⟨0| , |1⟩ ⟨1|} (3.20) による POVM 測定を指す.
また, 単一量子ビットの測定結果を古典ビットの情報として
格納することを強調するとき, 量子回路図上87 2 重線の配線が古典ビット 量子回路 25 同様に,
n 量子ビットの第 i1,i2,...,ik (0 ≤ i1 < i2 < ··· < ik < n)
量子ビット測定は,I⊗i1 ⊗|j1⟩⟨j1|⊗I⊗i2－i1－1 ⊗|j2⟩
⟨j2|⊗···⊗|jk⟩⟨jk|⊗I⊗n－ik－1 |jl ∈{0,1}, l=1,2,...,k(3.21) による
POVM 測定を指す. 特に, n 量子ビット全てを測定する場合は,
n 量子ビットの計算基底による測定65 3.4 雑音量子コンピュータに対する雑音は,
CPTP 写像として記述できる. ここでは,
量子コンピュータに対する雑音のモデルとの例として,
ビット反転チャンネルと分極解消チャンネルを紹介する
3.4.1 ビット反転チャンネル
1 量子ビットを考える98 定義 3.8 (ビット反転チャンネル) ビット反転チャンネルを,
CPTP 写像 E : L (H) → L (H) で, A ∈ L (H)に対して,
E (A) = pA + (1 － p) XAX (3.22) なる写像87 p ∈ [0, 1] とした.定義 3.8 より, ビット反転チャンネル E は,
確率 p で始状態を保ち, 確率 1 － p で X を始状態に作用させる
雑音のモデルと理解できる.3.4.2 分極解消チャンネルn 量子ビット
H = (C2)⊗n とする i1 i2 . ik, n 量子ビットの第 i1 , i2 , . . . , ik 量子ビット測定は,
POVM量子回路 26 定義 3.9 (分極解消チャンネル)
分極解消チャンネルを, CPTP 写像 Dp : L(H) → L(H) で, A ∈ L(H) に
対して,
Dp (A) = pA + Tr [A] (1 － p) IH 2n
(3.23)(3.24)なる写像と定義
,p∈ － 1 ,1 とした. 4n －1
分極解消チャンネルの Kraus 演算子の集合は,
√ p + 1 － p M0 ∪ 1 － p Mα A ∈ L (H) に対して,
Np
N = ⃝ (Dpi ◦ Ui)
j=1
N(A)=Dp ◦U(A)
(3.25)
(3.26)
で定義する. このとき,
Np
N := ⃝ (Dpi ◦ Ui) (3.27)
j=1
N =Dp ◦U (3.28)
α̸=0
= i=0 σαi α∈{0,1,2,3}n とした.
Mα:=(α0 ,α1 ,...,αn－1 )
4n
2n n－19 分極解消チャンネルを用いて, 量子コンピュータ上の
簡単な雑音のモデルを考える. 実際の量子コンピュータ上で,
初期状態 ρ ∈ S (H) に対して量子ゲート U を作用させる際には,
U をいくつかの基本 ゲートの積 U = UNg · · · U1 9 基本ゲート Ui を量子状態 に作用させる度に Dpi が作用するという
雑音のモデル N : L (H) → L (H) を考える. すると, CPTP 写像
Ui : L(H) ∋ A → UiAUi† ∈ L(H) として, 雑音95 U: L(H) ∋ A → UAU† ∈ L(H), p := pNg ...p2p1 示して いるように,
雑音のモデル N が, ユニタリ演算 U が作用したのちに分極解消チャンネル Dp が
作用する雑音 のモデルと等価であることを意味している
ここで述べた 2 つの雑音のモデルの等価性は後に用いるので,
命 題という形でまとめておく.命題 3.10 Ui ∈ L(H) (i = 1,2,...,Ng) を
ユニタリ演算子とし, Ui : L(H) ∋ A → UiAUi† ∈ L(H) とする
また, Dpi (i = 1,2,...,Ng) は分極解消987 CPTP 写像 N : L(H) → L(H) を,U:=UNg ···U2U1に対して,
U:L(H)∋A→UAU†∈L(H)とし,p:=Ng piとした. i=1
導出については E.154 各ゲート Ui が作用するたびに, 分極解消チャンネル Dpi が
作用する雑音のモデル(b) ゲート UNg · · · U2 U1 が作用したのちに,
分極解消チャンネル Dp:=pNg ...p2 p1 が作用する雑音のモデル
3.2: 2 つの雑音のモデル (a), (b) は等価69 3.5 QiskitQiskit は, IBM 社が中心となって開発を行っている,
量子回路による量子計算のためのオープンソースの
Python 用 SDKQiskit を用いて量子回路を作成し,
シミュレータや実機を用いてQiskit では, 量子回路を
QuantumCircuit オブジェクト78 QuantumCircuit オブジェク トは, 量子ビットに対応する
QuantumRegister オブジェクトや測定結果を保存する
古典ビットに対応 する ClassicalRegister オブジェクトを
コンストラクタの引数にとり初期化695 初期化した QuantumCircuit オブジェクトに,
量子ゲートや測定の操作をメソッドによって追加していき,
所望の量子回 路を得る. 図 3.3a にベル状態を生成し
全ての量子ビットを測定する量子回路を作るための
サンプルコードを 示し, 量子回路図541 Qiskit では, 雑音のない場合だけでなく自ら定義した雑音のモデルの下でも,
作成した量子回路をシミュ レータによって計算することができる
計算結果を double の精度で状態ベクトルや密度演算子として得る
シ ミュレータや有限回の測定まで考慮に入れた計算を行うシミュレータがある
測定回数が ∞ 回のシミュレータQiskit では, 作成した量子回路を
IBM 社が開発している超伝導型量子コンピュータ801 CPTP 写像 N : L(H) → L(H) を,U:=UNg ···U2U1に対して,
U:L(H)∋A→UAU†∈L(H)とし,p:=Ng piとした. i=1
導出については E.15487 各ゲート Ui が作用するたびに, 分極解消チャンネル Dpi が
作用する雑音のモデル(b) ゲート UNg · · · U2 U1 が作用したのちに,
分極解消チャンネル Dp:=pNg ...p2 p1 が作用する雑音のモデル
3.2: 2 つの雑音のモデル (a), (b) は等価659 Qiskit の transpile モジュールによって,
ibm lagos の量子ビットトポロジーの下,
トフォリゲートを基本ゲート
√
R Z ( π2 )
R Z ( π2 )
R Z ( π4 )
R Z ( π4 ) • • • R Z ( π4 ) • (b) 分解後のトフォリゲート
X, RZ, CNOT に分解した. (a) に示したサンプルコードに
よって分解されたトフォリゲートの量子回路図 を (b) 6598 分量子アルゴリズム NISQ デバイスを用いた代表的なアルゴリズムである
変分量子アルゴリズム (Variatonal Quantum Algorithm, VQA)
4.3 では, 変分量子アルゴリズムの抱えるバレンプラトー最適化問題,
つまり関数の最小化問題へ とマッピングする. 最小化すべき関数 C (γ) のことを
コスト関数という. ここで, コスト関数 C (γ) は, パラ メータ γ に依存541 量子ゲート U (γ) を用いて定義される. パラメータに依存する量子ゲートを
アンザッツ という. 変分量子アルゴリズムでは, 量子コンピュータを用いて
コスト関数の値や勾配の計算 を評価することと, 古典コンピュータを用いて
コスト関数を最小化するようにパラメータをアップデートする
交互に繰り返し行うことで, コスト関数の最小点を求める
コスト関数の最小点を探索するアル ゴリズムをオプティマイザー
変分量子アルゴリズムにおけるコスト関数,
アンザッツ, オプティマイザー4.1.1 コスト関数6321 変分量子アルゴリズムの最初の一歩は, 解きたい問題を数理最適化問題に
マッピングする, つまりコスト関 数を定義することである.
数理最適化問題では, 解きたい問題の解の候補を Γ ⊂ RNp 上の点として表現する.
コスト関数は, 解きたい問題の解が最小値に対応するように定義された関数で,
解と解の候補の差を定量的に 表現する関数 Γ → R である.
したがって, コスト関数を最小化するようなパラメータ γ 6 変分量子アルゴリズムにおける, 量子古典ハイブリッドループ
量子コンピュータを用いたコスト関数値や勾配の 評価と,
古典コンピュータを用いたパラメータのアップデートを
交互に繰り返し行うことで, コスト関数の最小点000 変分量子アルゴリズムのコスト関数は, C(γ)= fi Tr OiU(γ)ρiU(γ) (4.1)i
の形で定義される. ここで, 各 Oi は物理量, 各 ρi は入力状態, fi は
R → R の関数, U (γ) はアンザッツであ
る. 変分量子アルゴリズムでは, コスト関数を量子状態 ρi や
量子的な操作 U (γ) を用いて定義することで,
古 典コンピュータ上では計算不可能なコスト関数を
計算654 変分量子アルゴリズムのコスト関数が満たすべき条件として,
次の 4 点が提案されている
(C1) コスト関数の最小点が解きたい問題の解に対応する.
(C2) コスト関数の値が小さい点ほど良い解に対応する.
(C3) コスト関数の値や勾配は, 量子コンピュータ上の測定と
必要があれば測定後の後処理を古典コンピュータに
よって効率的に計算できる.
(C4) コスト関数の最小点は効率的987 (C1), (C2) は, 変分量子アルゴリズムに限らず, 一般の
数理最適化問題が満たすべき条件である.
量子コンピュータ上の測定とは (4.1) の
Tr OiU (γ) ρiU (γ)† の期待値計算に対応し,
古典コンピュータ上の後処理とは, (4.1) の fi (·) の
計算や i についての足し合わせ計算987 変分量子アルゴリズム
32
RZ (2γ21) RZ (2γ22) RZ (2γ23) RZ (2γ24)
0 1 2 3
0 1 2 3
RX (2γ1) RX (2γ2) RX (2γ3) RX (2γ4)
RZ (2γ5) RZ (2γ6) RZ (2γ7) RZ (2γ8)
•
•
•
RX (2γ9) RX (2γ10) RX (2γ11) RX (2γ12)
RZ (2γ13) • RZ (2γ14) • RZ (2γ15) • RZ (2γ16)
RX (2γ17) RX (2γ18) RX (2γ19) RX (2γ20)
(a)
(b)69 Np 個のパラメータを持つ量子ゲート URPQC : [0, 2π)Np → U (2n) を
URPQC (γ) =
Uj (γj)Wj = UNp
(4.2)
Np
γNp WNp ...U2 (γ2)W2U1 (γ1)W1
j=19 URPQC(γ) はアンザッツである. URPQC(γ) を
Random Parametrized Quantum Cir-
cuit (RPQC)
Wj はパラメータを持たない量子ゲートとし, Uj (γj ) は
Vj2 = I を満たすエル ミート Vj を用いて, Uj (γj ) := exp [－iγj Vj ]78 orblem-agnositc アンザッツとは,
解きたい問題に関する前提知識を用いずに
設計された汎用的 なアンザッツのことをいう
一方で, problem-inspired アンザッツとは,
解きたい問題に関する前提知識を
組 み込んで設計されたアンザッツ87 量子ビットトポロジーを持つ量子コンピュータ上の
Hardware Efficient アンザッツ の例として,
隣接している量子ビット間でのみ
2 量子ビットゲートが作用している
アンザッ ツが挙げられる一般的に
定義したアンザッツ URPQC (γ) 987 変分量子アルゴリズム
• RZ(－φ) RY (－θ)
(a) A ゲート A (θ, φ) の RY ゲート, RZ ゲート, CNOT ゲートによる分解.
(b) 粒子数保存アンザッツ. A ゲートを繰り返し用いる
A ゲートと粒子数保存アンザッツの構造.
RY (θ) RZ(φ) •
A (θ0,0, φ0,0)
A (θ1,0, φ1,0)
A (θ2,0, φ2,0)
A (θ0,2, φ0,2)
A (θ1,2, φ1,2)
A (θ2,2, φ2,2)
A (θ0,1, φ0,1)
A (θ1,1, φ1,1)
A (θ2,1, φ2,1)6 粒子数とは, 量子状態の計算基底による表示において,
1 が立っている量子ビッ トの個数のことで,
古典コンピュータでいう popcount に対応する量
|0111⟩ の粒子数は 336 前提知識によってアンザッツで表現すべき量子状態の粒子数が
既にわかっている場合には, 粒子数保存アンザッツは有用
粒子数保存アンザッツを用いた
変分量子アルゴリズムのアンザッツ665 アンザッツの性質の指標として, エンタングルメント容量表現力表現度という
量が提案されている n 量子ビット系 H に作用するアンザッツ U : Γ → U (2n)87 アンザッツ U (γ) を量子状態 ρ ∈ S (H) に作用させることで,
量子状態 U (γ) ρU (γ)† を得ることができる. γ を
様々な値に変化させることで, U (γ) は
様々なユニタリ演算子となりうるので, U (γ) ρU (γ)† は
また様々 な量子状態874 γ が Γ の中の様々な値をとりうるという意味で分布 ν*2を持つ
Γ-値確率変 数と見なすことにすると, U (γ) もまた確率変数と
見なすことができる 一方で, U (2n) 上の “一様分布”7841 アンザッツ U : Γ → U (2n) は連続であると仮定する.
この仮定は合理的である. というのも, 変分量子アルゴリ
ズムに用いられる多くのアンザッツは, 回転ゲートと
パラメータを持たないゲートから成るので,
U (γ) の行列表示の各成分は, γ1, γ2, . . . , γNp に依存する
三角関数たちの線型和, つまり連続関数5 U (γ) の各成分が連続なので, ボレル可測，
つまり確率変数であるさらに, U (γ) の各成分が
確率変数ならば, U (γ) も確率変数987 変分量子アルゴリズム 34
ハール分布に従う確率変数 V を考えてみると,
V ρV † はユニタリ時間発展によって作り出せる
全ての量 子状態9854 確率変数 U (γ) と確率変数 V の差に対応する量として,
線型写像 A(t) : L (H⊗t) → L (H⊗t) を U(γ),ν
A(t) (·):= U(γ),ν
リ t - デザインであるという*5. そして, A(t) U(γ),ν
を用いて, 入力 X ∈ L (H) に対して, アンザッツ U (γ) の表
現力 ε(t) U(γ),ν
(X) を
⊗t μH(dV)V⊗t(·) V† －
⊗t ν(dγ)U(γ)⊗t(·) U(γ)† (4.3)
U(2n)98 t は自然数,
ν はアンザッツのパラメータ γ の分布,
μH はユニタリ群 U (2n) 上のハール
測度とした. 任意の X ∈ L (H⊗t) に対して
A(t) (X) = 0 であるとき, U (2n)-値確率変数 U (γ) はユニタ U(γ),ν
( t )98 シャッテン p - ノルムとした*6.
⊗ t X
( t )
εU(γ),ν (X) := AU(γ),ν
(4.4)54 アンザッツの表現力 ε(t) (X) は,
一般化フレームポテンシャルという量と
関係づけられる [39]. アンザッ U(γ),ν
ツ U (γ) とそのパラメータ γ の分布 ν,
X ∈ L (H) に対して, 一般化フレームポテンシャルを,t
F(t) (X) := ν (dγ) ν (dγ′) Tr XU (γ′)† U (γ) X†U (γ)† U (γ′)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
U(γ),ν98 U (2n)-値確率変数 U (γ) が,
ハール分布 μH に従うとき,
U(2n) とする. すると, X ∈ L (H) に対して,
が成り立ち, アンザッツの表現力 ε(t) U(γ),ν
F(t) U(γ),ν
U(2n)
(X) － F(t) (X) ≥ 0 H
F(t) (X) := H
t μH (dV ) μH (dW)Tr XW†V X†V †W
ΓΓ
Γ
(X) と一般化フレームポテンシャルとの関係は,
2 アンザッツの表現力は, A(t)
U(γ),ν
ε(t) U(γ),ν
(X) =
F(t) (X) － F(t) (X) U(γ),ν H
への入力 X に依存する量だった. そこで, 入力に依らない
アンザッツの表現力を定義874 2 つの線型写像 L (H⊗t) → L (H⊗t), μ (dV ) V ⊗t (·) V †⊗t
U(2n) H
と ν(dγ)U(γ)⊗t(·)U(γ)†⊗t の差を,
アンザッツの表現力として採用する.
一般に, 2つの線型写像3265 変分量子アルゴリズム
オプティマイザーがパラメータを更新していく様子.
パラメータ更新を繰り返すことで, コスト関数 C (γ) の最小 点を求める.
L (H1) → L (H2) 同士の差を定量化するノルムとして,
ダイアモンモンドノルム ∥·∥⋄ という量が知られ
アンザッツ U (γ) の表現力 ⋄ε(t) 98 アンザッツ U (γ) の表現力 ε(t)
U(γ),ν
εU(γ),ν := AU(γ),ν⋄ (4.9) (X), ⋄ε(t) は,
最も表現能力のあるユニタリ V との差として定義した
U(γ),ν⋄(t) (t)
U(γ),ν621 表現力の値が小さいほど, アンザッツがより豊かな
表現能力を持つという点に注意しなければならない.
以後, 本論文では表現力と表現能力を厳密に使い分ける.
4.1.3 オプティマイザーとは, 関数の最小点を求める
アルゴリズムのことをいう. 多くのオプティマイザーは,
関数のパラメータの更新を繰り返すことで関数の最小点0.021 第 t 回目のパラメータ更新を 第 t イテレーションと呼び,
第 t イテレーションにおけるパラメータの値を γ(t) と書く.
変分量子アルゴリズ ムでは, 量子コンピュータ上で
計算したコスト関数の値やその勾配の値をもとに,
古典コンピュータ上でパラ メータの更新69 オプティマイザーは, コスト関数の 1 階微分や 2 階微分の情報,
つまり勾配の情報を用いるオプティマイ ザーとコスト関数の
勾配の情報を用いないオプティマイザー84 確率的勾配降下法が挙げられる. 一方, コスト関数の勾配の
情報を用いないオプティマイザーとして, Nelder-Mead
COBYLA (Constrained Optimization By Linear Approximation optimizer)
SPSA (Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation)
ベイズ最適化 逐次最小化アルゴリズム954 逐次最小化アルゴリズムと Rotoselect は,
変分量子アルゴリズムのコスト関数に特化した
オプティマイ ザーである.
ダイアモンドノルム変分量子アルゴリズム
変分量子アルゴリズムにおける確率的勾配降下法と
逐次最小化アルゴリズム41 確率的勾配降下法変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配を
いかにして計算するかを述べる. パラメータ γ の第 j 成 分 γj に
関するコスト関数 (4.1) の勾配は,
∂C(γ) ∂⟨Oi⟩γ ∂fi(x) ∂γ = ∂γ ∂x
(4.10)
j i j
x=⟨Oi⟩γ54 Oi⟩γ := Tr OiU (γ) ρiU (γ)† この勾配を計算するには,
各 i に対して, ⟨Oi⟩γ と ∂γj ⟨Oi⟩γ を計算すれば良い.
⟨Oi⟩γ は, 量子状態 ρi にアンザッツ U (γ) を作用させて,
物理量 Oi を測定654 ∂γj ⟨Oi⟩γ は, 例えば差分法を用いることで
近似的に求めることができる.
ア ンザッツの構造によっては, パラメータシフトルール と呼ばれる方法で
∂γj ⟨Oi⟩γ を正確369 URPQC (γ) をとり,
いかにして ∂γj ⟨Oi⟩γ をパラメータシフ
トルールによって求めるかを述べる.
このとき, ⟨Oi ⟩γ = Tr Oi URPQC (γ ) ρi URPQC (γ )†
実数 a1, a2 a3 を用いて,
⟨Oi⟩γ = a1 sin2γj + a2 cos2γj + a3 γ の第 j 成分 γj をそれぞれ γj ± π/4 に置き換えたものを γ±
∂ ⟨Oi⟩γ = ⟨Oi⟩γ+ － ⟨Oi⟩γ－ (4.12) ∂γj
を得る. つまり, 量子状態 ρi に
アンザッツ U (γ±) を作用させて,
物理量 Oi を測定して得られた結果 ⟨Oi⟩γ± から ∂γj ⟨Oi ⟩γ を
正確に計算654 ⟨Oi ⟩γ± を有限回の物理量の測定によって推 定するので,
その真の値を得ることはできず, 統計誤差が生じることに注意しておく.
このように ∂γj ⟨Oi⟩γ を 計算する方法をパラメータシフトルール25 URPQC (γ) のような構造を持つアンザッツの構造 に関する
パラメータシフトルールを考えたが, より一般的なアンザッツの構造に対する
パラメータシフトルー ル26 勾配の情報を用いる代表的なオプティマイザーの 1 つとして,
勾配降下法が挙げられる. 勾配降下法とは, コ スト関数のパラメータを
γ(0) に適当に初期化した後
γ(t+1) ← γ(t) － α∇C(γ(t)) (4.13)
のように, 勾配方向にパラメータの更新を行うことを
何度も繰り返すことで, コスト関数の最小点を求める
ア ルゴリズムである
α ∈ R を学習率という. 上述したように,
変分量子アルゴリズムにおけるコスト関
は, γj に依らない (4.11)5241 変分量子アルゴリズム 37
数の勾配の評価では, 有限回の物理量の測定によって
∇C γ(t) を推定していることに注意しなければならな い.
このように, コスト関数の勾配の値を推定する勾配降下法を
一般に確率的勾配降下法54 学習率 α はイテレーション t に依らない定数としていたが,
Adam オプティマイザー のように, 学習率 α を
イテレーション t ごとに更新させることで,
オプティマイザーの収束性を向上54 コスト関数が, 4.2 で述べる変分量子固
有値ソルバーや Fixed input state compiling と
呼ばれる変分量子アルゴリズムのように,
CRPQC (γ) = Tr OURPQC (γ) ρURPQC (γ)† (4.14) URPQC (γ)
この設定の下, パラメータ γj に
注目してコスト関数の解析的な性質
第 t イテレーションにおけるコスト関数の値 C おいて
, γj 以外のパラメータを固定した関数
RPQC
γ(t)に (4.15)
は, γ
C(t) (γj ) := CRPQC (γ)| (t) j γj′=γj′
に依らない実数 a(t), a(t), a(t) を用いて, j 123
′
C(t) (γ ) = a(t) sin2γ + a(t) cos2γ + a(t) jj1j2j3
(4.16) 実数 a(t), a(t), a(t) は, C(t) (γ ) の独立な
3 点の値から計算できる. 例えば, 独立な
123 jj3点として,γ(t),γ(t)+π,γ(t)－π を選べばよい.
すると,C(t)(γ )=a(t)sin2γ +a(t)cos2γ +a(t) は簡単
jj4j4 jj1j2j3 98 コスト関数のあるパラメータ γj について注目してみれば,
C(t) (γj) の最小点を求めることができる.
この最小点を求めるステップを, 注目する j
パラメータ γj の添字 j を変化させて何度も繰り返すことで,
コスト関数の最小点を探索するアルゴリズムを
逐次最小化アルゴリズム54 変分量子アルゴリズ ムのコスト関数を, より一般に
C (γ) = Tr OU (γ) ρU (γ)† (4.17) とし,
第 t イテレーションにおけるコスト関数の値 C γ(tにおいて,
γj 以外のパラメータを固定した関数を
C(t) (γj) とする. 逐次最小化アルゴリズムでは,
パラメータの添字 j を変化させて C(t) (γj) の最小点を求め jj
(j ̸=j)32 |ψ (γ)⟩ = U (γ) |ψ0⟩ は, 初期状態 |ψ0⟩ に
アンザッツ U (γ) を作用させて得られる量 子状態で, 試行状態という.
試行状態は n スピン系の量子状態であるから, 2n 次元の複素内積空間の
単位ベク トルで表現される. 試行状態を愚直に古典コンピュータ上で
表現するには O(2n) ビットが必要であるが, 量子 コンピュータ上であれば
n 量子ビット65 変分量子固有値ソルバーでは, 古典コンピュータ上で は表現しきれない程に
次元の大きい複素内積空間の試行状態から基底状態を探索することができよう.
4.2.2 Fixed input state compiling
Fixed input state compiling (FISC) とは,
n 量子ビットの状態 |ψ0⟩ に作用する V と同等の計算を行う量 子ゲートを求める
変分量子アルゴリズムである [22]. すると, U (γ) をアンザッツすれば, FISC の目的は
コスト関数 Cglobal (γ) = －F 理量
V |ψ0⟩ , U (γ) |0⟩
を最小化65 関数は, 物V |ψ0⟩ = U (γ) |0⟩⊗n (4.21)
を満たす γ を求めることにある.
2 つの量子状態 V |ψ0⟩, U (γ) |0⟩⊗n 間の近さは,例えば,
忠実度 F V |ψ0⟩ , U (γ) |0⟩⊗n987 (4.21) を近似的に満たす U (γ) を求めるには,
忠実度を最大化する γ を求めればよい. これは,
⊗n2
Oglobal :=－(|0⟩⟨0|)⊗n (4.22)
を用いて, Cglobal (γ) = Tr [Oglobal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] と書ける
|ψ (γ)⟩ := U (γ)† V |ψ0⟩ とした. Cglobal (γ) は, |ψ (γ)⟩ の
n 量子ビット全てを測定して |0⟩⊗n を得る確率に, －1 をかけることで得られる.
し たがって, Cglobal (γ) は －1 以上 0 以下の値をとりうる.
FISC では, Cglobal 以外のコスト関数847 物理量 Olocal を, n－1
Olocal :=－n
I ⊗|0⟩⟨0|⊗I
(4.23)
1 ⊗j ⊗n－j－1
j=0
として, FISC のコスト関数を
Clocal (γ) = Tr [Olocal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] 9 Clocal (γ) は, －1
以上 0 以下の値をとり, γ が (4.21) を満たすときにのみ最小値 －1 をとる.
Clocal (γ) は, |ψ (γ)⟩ の第 j 量 子ビットのみを測定して |0⟩ が得られる
確率の, j = 0, 1, . . . , n － 1 に対する平均に －1 変分量子アルゴリズム 38
Algorithm 1 逐次最小化アルゴリズム
Require: コスト関数は, (4.14) で定義した CRPQC (γ) とする.
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
パラメータの初期値 γ(0) を定める. while t < tmax do
for j = 1,2,...,Np do for j′ = 1,2,...,Np do
if j′ = j then
C(t) γ(t) , C(t) γ(t) + π , C(t) γ(t) － π を推定し,
a(t), a(t), a(t) を求める. jjjj4jj4 123
γ(t+1) ← arg min a(t) sinγ + a(t) cosγ + a(t) j 1j2j3
else
(t+1) γj′
10: end if 11: end for 12: t←t+1 13: end for
14: end while
← γj′654 変分量子アルゴリズム 41バレンプラトーを引き起こす量子ビット数 n の
変分量子アルゴリズムにおいて, 必要な物理量の測定回数 Ntotal
勾配の情報を用いるオプティマイザー (gradient descent) に限らず,
勾配の情報を用いないオプティ マイザー (Nelder-Mead, Powell, COBYLA) についても,
量子ビット数に対して指数的に多くの物理量の測定5487 量子ビットの数 n に対して O (log n) 程の深さの Alternating Layerd Ansatz という
クラスのア ンザッツを用いた変分量子アルゴリズムについては, (4.22) で定義した
Oglobal のように全ての量子ビットに 作用するような物理量 O を用いる場合には
バレンプラトーが起こる一方で, (4.23) で定義した Olocal ように 一部の量子ビットに
作用するような物理量 O を用いる場合にはバレンプラトーが起こらないことが示されて いる
バレンプラトーが起こらないアルゴリズムの例として, 量子畳み込みニューラルネットワー クや
アンザッツがツリーテンソルネットワーク構造を持つ量子ニューラルネットワーク
バレンプラトーの影響を軽減するためのアルゴリズムも提案され始めている
パラメータの一部をランダムに初期化し, 残りのパラメータをアンザッツが恒等演算子と
なるように選ぶパラ メータ初期化の手法である
アンザッツのパラメータを層ごとに最適化 変分量子アルゴリズムにおける
逐次最小化アルゴリズムの疑似コード.
ることを繰り返す. そのアルゴリズムの
変分量子アルゴリズムを NISQ デバイ ス上で
実装するためには, アンザッツを U (γ) = UNg UNg －1 . . . U2U1 の
ようにハードウエア上で実装可能な 基本ゲートに分解する必要があった.
そこで, NISQ デバイスへの雑音のモデルとして, (3.25) で定義した
Np
N = ⃝ (Dpi ◦ Ui) (4.18)
j=198 Dpi (pi ∈ (0, 1]) は
分極解消チャンネルとし た. この雑音のモデルに対して,
逐次最小化アルゴリズムが剛健であることを裏付ける
次の定理 4.1 定理 4.1 (4.17) で定義したコスト関数 C (γ) を考える. (4.18) で
定義した雑音のモデル N の下で計算される コスト関数を C ̃ (γ) とする.
このとき, 物理量の期待値の推定のための測定回数が無限回であならば,
任意の 自然数 t に対して, 逐次最小化アルゴリズムによって求めた
第 t イテレーション後の C (γ) の最適点と C ̃ (γ) 9 Algorithm 2 一般的な逐次最小化アルゴリズム Require:
コスト関数は (4.17) の形で表される.
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
10: 11: 12: 13:
パラメータの初期値 γ(0) を定める. while t < tmax do
for j = 1,2,...,Np do for j′ = 1,2,...,Np do
if j′ = j then
γ(t+1) ← arg min C(t) (γj)
else
(t+1) γj′
end if end for
t←t+1 end for
end while
(t) ← γj′
jj γj 一般的な逐次最小化アルゴリズムの疑似コード.
4.2 変分量子アルゴリズムの応用 4.2.1 変分量子固有値ソルバー
変分量子固有値ソルバー (Variational Quantum Eigensolove, VQE) は,
量子系の基底状態とその固有値 (基底エネルギー) を求める
変分量子アルゴリズム9874 変分量子固有値ソルバーでは, 量子コンピュータ上で量子系を表現する必要があるので,
対象となる量子系 をスピン系にマッピングする. 例えば, ジョルダン・ウィグナー変換 や
ブラヴィ・キタエフ変換 によって, フェルミオン系をスピン系にマッピングできる.
こうして, 対象となる量子系を n スピン系にマッ ピングしたハミルトニアン H とすると,
一般にハミルトニアン H は,
(4.19)
(4.20)
n－1 3 n－1 3iiijii
H = hασα + hαβσασβ +··· i=0 α=1 i,j=0 α,β=1 定義 4.2 Γ-値確率変数 γ は一様分布に従うとする
n 量子ビットの変分量子アルゴリズムのコスト関数を
C:Γ∋γ→C(γ)∈Rとし,コスト関数CはC1 級とする
このとき,C(γ)がパラメータγj に関してバ レンプラトーで
あるとは, パラメータ γj に関するコスト関数の 1 階微分の
∂γj C (γ) の期待値が 0 で，分散が ある b > 1 を用いて
O (b－n) ∂C (γ)∂C (γ) －n Eγ ∂γ =0, Vγ ∂γ =O b
jj
定義 4.2 にチェビシェフの不等式 (補題 A.15) を
用いると, 任意の δ > 0 に対し,2ν ∂C(γ)≥δ ≤ 1E
∂C(γ) = 1V ∂C(γ) =O b－n∂γj δ2 γ ∂γj δ2 γ ∂γj
ここで, ν は γ の従う一様分布とした. (4.26) は,
Γ から一様に γ を選んだ時に, その点での γj に
関 する勾配の大きさが δ 以上である確率が,
量子ビットの数 n に対して指数625 スト関数 CRPQC (γ) がバレンプラトーか否か
定義 4.2 に基づき, γ を一様分布 ν に従う確率変数と
みなし, γj に関するコスト関数の勾配の期待値と
分散を計算する
URPQC (γ) を注 目しているパラメータ γj に
依存する部分と依存しない部分に分解して
j－1
j′=1 ∂γj C (γ) が連続であれば,
∂γj C (γ) が確率変数になる
UR (γR = (γ1,γ2,...,γj－1)) := Wj
Uj′ (γj′)Wj′ (4.27)65 V
γ
∂CRPQC (γ) ∂γj
(4n － 1)2 2 Tr[X]2
Np
UL γL = (γj+1,γj+2,...,γNp) :=
として,
URPQC (γ ) = UL (γL ) Uj (γj ) UR (γR ) 6 ∂CRPQC (γ) = Tr OUL(γL)Uj,γj (γj )UR(γR)
ρUR(γR)†Uj (γj )†UL(γL)† ∂γj †††
+Tr OUL(γL)Uj(γj)UR(γR)ρUR(γR Uj,γj(γj) UL(γL) Uj,γj (γj) := ∂γjUj(γj)
, γR, γL はそれぞれ確率変数であり,
それらに依 存する UR(γR), UL(γL) 65 j′=j+1
Uj′ (γj′)Wj′
(4.28)
∂CRPQC (γ)
Eγ ∂γ =0
j n+1 (2) ∆2n
(2) (2)
(ρ) ∆2n (O) ∆2n (Vj )
= 2
∆d (X):=Tr X － d
(2)
(4.32)0 O を (4.22) で定義した Oglobal とし, ρ を
純粋状態とし, Vj をトレースレスとすると,
(2) n (2) (2) －n
∆2n (Vj)=2 ,∆2n (O)=∆2n (ρ)=1－2 であるから,
∂CRPQC (γ)
1 －n
n 2 =O 4 (4.33)
Vγ ∂γ コスト関数 CRPQC (γ) の勾配の期待値が
0 であり, 分散が量子ビットの数 n に対して
指数的
=
2(2 +1)
j RPQC(γ)(·)URPQC(γ)† とし, p := Np j=1
N =Dp ◦U
pj とすると,
(4.35)
(4.36)
Uj (γj)
UL (γL)
Np
N=⃝ Dpj ◦Uj (4.34)
j=1 定義 4.2 に定義したバレンプラトーを, noise-induced
バレンプラトーと区別して, noise-free バレンプラトー
ということもある. noise-free バレンプラトーは,
パラメータ空間のほんとんどの領域コスト
関数の勾配が十分小さくなる現象であった
noise-induced バレンプラトーは,
コ スト関数全体が平坦になっていく NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション 5.1 はじめに
量子コンピュータは, その量子ビットの数 n に対して指数的に
大きな O (2n) 次元の情報を表現できる. 一 方, 古典コンピュータは,
その古典ビットの数 n に対して O (n) 次元の情報52 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
トロッター分解に依る時間発展シミュレーションについて述べ
る. 5.3 では, RQD に依る時間発展シミュレーションについて
5.4 では, RQD に依る格子シュウィン ガーモデルの長時間発展
シミュレーションをいかにして実現したかを述べる. 5.5 では,
サイズの小さな格子 シュウィンガーモデルに対する,
トロッター分解と RQD に依る長時間発展シミュレーション52 5.2 トロッター分解
ハミルトニアン H で表される系の実時間発展を
量子コンピュータ上で行うことを考える.
量子コンピュー タ上でハミルトニアンを表現するために,
考えたい系のハミルトニアンをスピン系のハミルトニアン
Hspin98 e－iH ∆T を O (∆t) のオーダーで近似した
量子ゲートを Utrot (∆T ) := e－iHi ∆T
e－iHspinT =(e－iHspin∆T)M =(Utrot(∆T))M +O(∆T)2(5.2)
であるから,M個のUtrot(∆T)を作用させることで,
欲しかった時間発展演算子e－iHspinT をO(∆T)87 M = T /∆T 個の量子ゲート Utrot (∆T ) が必要となる.
トロッターステップ数 M に比例して, 必要な量子ゲートの
数が増えていく. よって, 計算可 能な量子ゲートの深さが
限られている NISQ デバイスでは, トロッター分解による
長時間の時間発展シミュi(5.1)784 (Utrot (∆T))KU(γˆ1)|0⟩⊗n = U(γ2)|0⟩⊗n を
満たすように最適化されたパラメータ γ2 を求めれば よい.
この手続きを繰り返すことで, 時刻 3K∆T, 4K∆T,... における
量子状態を生成するための浅い量子 ゲート U(γˆ3), U(γˆ4), . . .
を用意することができる. そして, (S2) で, U(γˆ1), U(γˆ2), . . .
を |0⟩⊗n に作用させ ることで, 時刻 K∆T, 2K∆T NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
(a) トロッター分解による時間発展シミュレーション.
シミュレーション時間に比例して, 必要な量子回路の深さが深くなる.
(b) RQD による時間発展シミュレーション. (S1) で時間発展演算子に
対応する量子回路を浅い回路に近似したのち, (S2) で近似回路 を
用いた時間発展365 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション 50
5.4.1 格子シュウィンガーモデル
格子ウィンガーモデルとは, 1 次元空間格子上の
量子電磁力学を記述し, 高エネルギー物理のための
量子アルゴリズムのトイモデルとしてよく用いられる
[73, 74, 75, 76, 77]. n を正の偶数として, 格子間隔 a の n サイ
トの格子ウィンガーモデルのハミルトニアン Hlat は,
n－2 2 n－2 n－1
i†iθ †－iθ ga2j†
Hlat =－2a χje jχj+1 －χj+1e jχj + 2 j=0
Lj +m (－1) χjχj (5.5) j=0
j=0 χj は第 j サイトの質量 m のスタッガードフェルミオンであり,
正準反交換関係
{χ†j,χk} = δjk, {χj,χk} = 0 (5.6)
を満たす. 奇数サイトの非占有状態を電子の存在に,
偶数サイトの占有状態を陽電子の存在に対応させる.
Lj と θj は, 第 j サイトと第 j + 1 サイトのリンク上の
ゲージ場とその共役運動量95 [θj,Lk] = iδjk
を満たす. さらに, フェルミオン場とゲージ場の
相互作用の強さは結合定数 g で特徴付けらている.
(5.7)
(5.8)
ゲージ場の自由度 Lj と θj は, Hlat から取り除くことができる. まず, ガウスの法則 † 1 － (－1)j
を境界条件 L－1 = 0 の下で解くと,
Lj －Lj－1 =χjχj － 2 k
k=0
χj →
χ†kχk － 1 － (－1) 2
Lj =987 n－2 2 n－2j k2 n－1 i† † ga†1－(－1)j†
Hlat =－2a χnχn+1 －χn+1χn + 2 χkχk － 2 +m (－1) χjχj (5.11) j=0 j=0 k=0 j=0
e χj (5.10)
(5.9)
j－1
－iθk8 ジョルダン・ウィグナー変換 [61] j－1
χj → 2
(－iZk) (5.12)
Xj －iYj
k=0 1 サイトあたりの粒子の数
n－2 1
で与えられる. また, 物理量 Q
n－2 j
g2aZk+(－1)
n－1 m j
(XjXj+1 + YjYj+1) + 2 を
数密度と呼ぶことにすると, 数密度 N は,
+ 2
(－1) Zj (5.13)
を用いて,
Hspin = 4a
j=0
2
N = 1 (－1)jZj +1
n－1 1
Q=2 Zj j=0
j=0
2n
j=0
(5.14) 格子シュウィンガーモデル Hspin の時間発展演算子 e－iHspin ∆T の量子ゲート Utrot (∆T )
Hspin は,
n－1 m(－1)j ga n j HZ:= αjZZj withαjZ:= 2 +4 2－2
j=0
j=0 k=j+1
|0011>98 Xj := I⊗j ⊗ X ⊗ In－j－1, Yj := I⊗j ⊗ Y ⊗ In－j－1,
Zj := I⊗j ⊗ Z ⊗ In－j－1 とした. すると, 奇数番目の
量子ビットの |1⟩ が電子の存在に, 偶数番目の量子ビットの |0⟩ が
陽電子の存在に対応54 n－1
j=0 k=0
HXY := HZZ :=
XY XY 1
j=0 n－2
αj (XjXj+1 + YjYj+1) with αj := 4a
n－3 n－2
ZZ ZZ g2a
αjk ZjZk with αjk := 4 (n－k－1)
Hspin = HZ + HXY + HZZ
(5.17) j R 2αZ∆T Zj
(a) e－iHZ ∆T = ∏ e－iαZj ∆T Zj の
各項 e－iαZj ∆T Zj の量子ゲートによる実装. j
j H S • R 2αXY∆T • † H XjS
j+1 H S R 2αXY∆T † H ZjS
(b) e－iHXY ∆T =
∏ XY j e－iαj
XY
∆T (Xj Xj+1+Yj Yj+1) e－iHZ ∆T , e－iHX Y ∆T , e－iHZ Z ∆T の量子ゲートによる実装.
(c) e－iHZZ ∆T =
Utrot (∆T ) := e－iHZ ∆T e－iHX Y ∆T e－iHZ Z ∆T
n－1
Z
n－3 n－2 ZZ
= e－iαj ∆TZj j=0
e－iαj
∆T(XjXj+1+YjYj+1)
n－2
XY
(5.18) e－iαj ∆TZjZk (5.19)
j=0
j=0 k=j+1 [Q, Utrot (∆T )] = 0 であるから,
Utrot (∆T ) に依る時間発 展によって電荷 Q の保存則は保たれる.
5.4.2 アンザッツ: 粒子数保存アンザッツ
RQD が NISQ の雑音下でも機能するためには,
Utrot (∆T ) n 量子ビット系を記述する複素内積空間 H の
部分空間 Hn,m (m = 0,1,...,n) を n－1 n－1
Hn,m = span |ik⟩ | ik ∈ {0,1}, k=0
ik = m
(5.20)
k=09 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
と定義し, m を粒子数と呼ぶ. すると, H = nm=0 Hn,m である.
また, Hn,m は, n 量子ビットのうち, m 量 子ビットが |1⟩,
n － m 量子ビットが |0⟩ となっている量子状態を正規直交基底として持つ
したがって, Hn,m の次元 dn,m は nCm 8 n サイト格子シュウィンガーモデルの電荷 Q の
固有値 q の固有空間は, Hn, n2 －q である.
q ≥ 0 とする. このとき, 電荷 q の系の状態は
電子が k 個, 陽電子が q + k
個 (k = 0, 1, . . . , n2 － q) 陽電子がq+k個,電子がk個の状態を量子ビット上で
表現すると,粒子数k+(n/2－(q+k))= n2 －qの量子状態
陽電子が q + k 個, 電子が k 個の状態が張る空間の
次元は, n2 Ck · n2 Cq+k であるから, 電荷 q の固有空間の
次元は,n2－q nCq+k ·nCk =nCn－q =dn/ q≥0のとき,電荷Qの固 k=02 2 2 2有値 q の固有空間は,
Hn, n2 －q であることが言えた. q < 0 の場合も同様に
示すことができる. したがって, 格 子シュウィンガーモデルの
電荷 Q の保存則は, 量子ビット上の粒子数の保存則665487 A ̃ (θ )n－2, (φ )n－2 は, 粒子数保存アンザッツ A
(5.22) (θ, φ) の第 l 層に対応
L－1n－2 n－2
An (θl,i)i=0 , (φl,i)i=0 n l,i i=0 l,i i=0
l=0
n,L9 A θl,0,φl,0 ()
A θl,1,φl,1 .
A
()
θl,n/2 , φl,n/2
. ..
()
A θl,n－2 , φl,n－2
A
()
θl,n/2－1 , φl,n/2－1 量子ビットに作用する 3 層の粒子数保存アンザッツ An=4,L=3 (θ, φ) は
粒子数保存アンザッツ An,L (θ, φ) は, 粒子数を保存する A ゲートのみから
構成されているので, 粒 子数保存アンザッツ An,L (θ, φ) もまた粒子数を
保存874 n－1
A (θ0,0, φ0,0)
A (θ1,0, φ1,0)
A (θ0,2, φ0,2)
A (θ1,2, φ1,2)
A (θ2,2, φ2,2)
A (θ0,1, φ0,1)
A (θ1,1, φ1,1)
A (θ2,1, φ2,1)
στj (5.23) τj ∈ {0, 1} は, n－1 τj = m を満たす
Xn,m |0⟩⊗n は粒子数 m の量子状態
Xn,m =
j=0 時刻 t > 0 の状態 |ψ(t)⟩ もまた固有値 q の固有ベクトルで,
|ψ (t)⟩ ∈ Hn, n2 －q を満た す. よって, |ψ(t)⟩ を, ある θˆ と φˆ を
用いて An,L(θˆ, φˆ)Xn, n2 －q |0⟩⊗n8 γ,l,i l,i
1 2
5
C(θ,φ)|θ′
l ,i
′=θ(t) l′,i′
(for(l′,i′)̸=(l,i)), φ′
l ,i
′=φ(t) l′,i′
(γ=θ) (γ=φ)
C(θ,φ)|φ′
l ,i
′=φ(t) l′,i′
(for(l′,i′)̸=(l,i)), θ′
l ,i
′=θ(t) l′,i′
C(t) (γ ) = a(t) sin2γ γ,l,i l,i 1
+ a(t) cos2γ l,i 2
+ a(t) sinγ + a(t) cosγ l,i 3 l,i 4
+ a(t) l,i 5 (t)
Cγ ,l,i (γ1 ) sin 2γ1
(t)
Cγ ,l,i (γ2 ) sin 2γ2
C(t) (γ ) = sin 2γ γ,l,i 3 3
C (t) (γ4 ) sin 2γ4 γ,l,i
cos 2γ1 cos 2γ2
γ ,l,i
sin γ1 sin γ2
cos γ1 cos γ2
(t) 1a1
(t) 1 a2
1 a(t) 3 1 a(t)
598 パラメータの初期値 (θ(0) = (θ(0))l,i, φ(0) = (φ(0))l,i) を定める. l,i l,i
while t < tmax do
for (γ,l,i) ∈ {θ,φ} × {0,1,...,L － 1} × {0,1,...,n － 2} do
for (γ′,l′,i′) ∈ {θ,φ} × {0,1,...,L － 1} × {0,1,...,n － 2} do if (γ,l,i) = (γ′,l′,i′) then
else
(t+1) γl′,i′
end if end for
t←t+1 end for
end while
← γl′,i′987 γ(t+1) ← arg min a(t) sin2γ
+ a(t) cos2γ l,i 2
+ a(t) sinγ l,i 3
+ a(t) cosγ l,i 4
l,i
γl,i (t)
1
1 2
5
+ a(t)
l,i 5 0.5 0.4 0.3
0.2 0.1 0.0
Exact Trotter
RQD (Cglobal)
0 /5 2/5 3/5 time Eθ,φ Eθ,φ
∂γ
∂Clocal(θ,φ) ∂γ
= 0, Vθ,φ
=0, Vθ,φ
∂γ
∂Clocal(θ,φ) ∂γ
= 4bγ dn－2,m－1 dn,m(dn,m+1)2
(5.32)
∂Cglobal(θ,φ) ∂Cglobal(θ,φ) 0
(m = 0, n)
(m=1, 2, ..., n－1)
0
=16bγd2n－2,m－1m(n－m) (m=1, 2, ..., n－1)
(dn,m +1)(d2n,m －1)n3
(5.33) C (γ) = Tr UL (γL)† OUL (γL)UM
(γM)UR (γR)ρUR (γR)† UM (γM)† と
表せるから, γ に関する勾配は,
∂C(γ)† † † ∂γ =Tr UL (γL) OUL (γL)UM,γ (γM)UR (γR)ρUR (γR) UM (γM)
(6.4)
(6.5) (6.6)
(6.7)
+ Tr UL (γL)† OUL (γL) UM (γM ) UR (γR) ρUR (γR)† UM,γ (γM )†
UM,γ (γM ) := ∂UM (γM ) ∂γ
UM (γM ), UM (γM )† （初コメ3号）僕は貼るだけで意見を述べないと告知しているにも関わらず
成りすましのさらに成りすましの無能なレスで多くの無能なスレ民が釣られている。
馬鹿なのですね。
今後も無能なレスは全部成りすましです。念の為。
僕は今後も無言で貼り続けますね。
勝ち負けの問題では有りません。誰とも勝負はしていません。
ぬいドーラーの居場所を永久に潰すだけです。 （今後）
後残り、5500レス分は量子力学です。
その後はフランス構造主義哲学周辺（デリダ、フーコー、ドゥルーズ、ガタリ）を7800レス予定しています。
その後はギリシャ哲学（ピタゴラス、アリストテレス、プラトン、ニーチェまで）や、ハイデガーも15000レス貼ります。
（次回スレの事前予告）
何も言わずに平均100レス連続で貼っているのが僕です。
そのあとで皆さんを怒らせる（呆れさせる）無能なレスをしているのが成りすましです。
くれぐれも今後は釣られないようにして下さい。 このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
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