等身大ぬいぐるみ ラブドール 6
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量子コンピュータは, 従来のコンピュータでは解くことが難しいとされていた
複雑な問題を解きうる可能性 を秘めている. さらに, 量子技術の急速な発展により,
量子コンピュータは現実のものとなりつつある.
現状の量子コンピュータは, 量子ビットの数や精度良く計算可能な量子回路の深さに制約があり,
複雑な問 題を完全に解くのは難しい. 変分量子アルゴリズムは, こうした制約の下でも機能すると
期待されている代表 的な量子アルゴリズムで, 量子化学, 組合せ最適化問題, 物理系シミュレーション,
機械学習といった様々な分 野への応用が提案されている 変分量子アルゴリズムの特徴は, 数理最適化問題の解の候補を量子回路上の量子状態として表現し,
従来のコンピュータを用いてその最適解を探索する点にある 物理系シミュレーションは, 量子コンピュータの応用例の一つとして期待されている
しかし, 現状の量子コ ンピュータの制約上, 単純な手法による物理系の長時間発展
シミュレーションは困難である. そこで, 本論文で は Restarted Quantum Dynamics
という変分量子アルゴリズムを用いることで, サイズの小さな系の長時間
発展シミュレーションを現状の量子コンピュータ上で実現した 物理系としては, 空間格子上の 1 + 1 次元量 子電磁力学に対応する
格子シュウィンガーモデルというモデルを例にとった. そして,
同アルゴリズムが従来 のコンピュータ上でシミュレーション
できないほどサイズの大きな系に対して効率的に実行可能か否かは,
格子シュウィンガーモデルの初期状態の電荷に依存しうることを解析的に導いた 広いクラスの変分量子アルゴリズムに対して, 解の候補の空間を作り出す
量子回路の表 現能力が豊かになるほど, 効率的に最適解を見つけることが
難しくなることを示唆する解析的な結果を得た
また, その解析的な結果が, 量子コンピュータのシミュレータを用いた
数値計算の結果と矛盾しないことを確 かめた ショアの素因数分解アルゴリズムが示唆するように, 量子コンピュータは
従来のコンピュータに比べ, 優 れた計算能力を持つと期待されている.
量子回路モデルと呼ばれる量子計算について述べる. 量 子回路モデルは
主に, 量子ビット, 量子ゲート, 測定から成る. 量子論の言葉で言えば,
n 量子ビットとは n 個 の 2 準位系の合成系であり, その合成系に
作用するユニタリ演算子を量子ゲートという. 量子回路では,
量子 ビットに適当なユニタリ演算子を繰り返し作用させた後に,
量子ビットを測定することで, 計算結果を得る. このように,
量子コンピュータは量子状態を情報単位として計算を行うという,
従来のコンピュータと異なる計 算方法を実現する 従来のコンピュータのことを, 量子コンピュータと区別して古典コンピュータともいう.
実際の量子コンピュータは, 周囲からの雑音の影響を受けてしまい, 誤り訂正機能 なしで
正確な計算を行 うことはできない しかしながら, 誤り訂正機能を備えた量子コンピュータの実現にはまだ数十年かかるとさ れている
一方で, 誤り訂正機能を持たない数十量子ビットの量子コンピュータは既にクラウド上で利用可能である
このような誤り訂正機能を持たない数十から数百量子ビットを持つ量子コンピュータは,
NISQ (Noisy Initermediate-Scale Quantum) デバイスと呼ばれる NISQ デバイスは, 量子ビットの数や精度良く計算可能な量子ゲートの深さが限られている
量子ビットの 数が限られていることは, 計算に多くのメモリを要するアルゴリズムを
実行できないことを意味し, 量子ゲー トの深さが限られていることは, 計算に長時間を
要するアルゴリズムを実行できないことを意味する こうした制約の下で, 今後数十年の NISQ 時代に, 量子コンピュータを使って
どのようなことができるのかを議論す ることは, 学術的のみならず産業的,
社会的にも重要である このスレは量子力学の研究板に変更されています。
素人がレスしますと変態の依存者に粘着されて呪われます。
ぬいぐるみ関係の質問はXで等身大ぬいドールをお迎えしてる人に尋ねて下さい。
実物の写真をアップしている方を選んで質問しましょう。
この板のスレ民はそもそも等身大ぬいドールを所有すらしておりません。
口先だけの掲示板依存者ばかりです。
精神疾患者が多いので履歴を残さない方が身の為です。
この板でレスを残すとトラブルに巻き込まれて後々後悔する事になるでしょう。
このスレへのアクセスも自粛して自分を守りましょう。
（管理人より） ファインマンは Simulating physics with computers という講演の最後に,
“And I’m not happy with all the analyses that go with just the classical theory,
because nature isn’t classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature,
you’d better make it quantum mechanical, and by golly it’s a wonderful problem,
because it doesn’t look so easy.” と述べた ファインマンの言葉に対する自然な問として,
NISQ デバイスを用いて量子系の時間発展シ ミュレーションが可能なのかという問が生まれるだろう 最も基本的な量子コンピュータ上での量子系の時間 発展シミュレーションでは,
トロッター分解を用いる [7, 8, 9, 10]. トロッター分解では, 系の時間発展演算子 を
量子ゲートとして近似的に実現するが, シミュレーション時間に比例して
必要な量子ゲートが増えてしまう このような手法では, 計算可能な量子ゲートの深さが限られた NISQ デバイス上での
長時間発展シミュレー ションは困難である. こうした問題を解決すべく,
Restarted Quantum Dynamics (RQD) と呼ばれるアルゴ リズムが提案された RQD では, 系の時間発展演算子を NISQ デバイス上で実現可能な深さの量子ゲー トに近似する
こうして, NISQ デバイス上での長時間発展シミュレーションが可能になる RQD は, 変分量子アルゴリズムと呼ばれる,一般的な枠組みとして捉えることができる
変分量子 アルゴリズムは, NISQ デバイスを用いた最も代表的なアルゴリズムの一つで,
数理最適化問題つまり関数の 最小化問題を NISQ デバイスと古典コンピュータを
ハイブリッドに用いて解く 最小化すべき関数をコスト関数 C (γ) と呼び, コスト関数はパラメータ γ をもつ
量子ゲートの計算結果として定義される パラメータ付 きの量子ゲートのことをアンザッツという
変分量子アルゴリズムの特徴は, 量子コンピュータ上で評価した コスト関数の値や
その勾配の情報をもとに, 古典コンピュータを用いてパラメータ更新を行うことで,
コスト 関数の最小点を探索する点にある このスレは量子力学の研究板に変更されています。
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（管理人より） 幸福人偶っぽいのは幸福人偶が元々の製作元？
それとも幸福人偶もどこかが作ったのを販売していて製作元は別？ やっとぬいぐるみを心地よく抱ける気温になったか・・・ 変分量子アルゴリズムはその汎用さ故に, 量子化学組合せ最適化
機械学習実時間発展シミュレーション ,虚時間発展シミュレーション
深い 量子ゲートの浅いゲートへの近似といった幅広い分野への応用が
提案されている 変分量子アルゴリズムの中には, バレンプラトーと呼ばれる
大きな問題を引き起こすアルゴ リズムがあることが分かってきた
バレンプラトーとは, 変分量子アルゴリズ ムに用いる
NISQ デバイスの量子ビットの数に対して,
指数的にコスト関数の勾配が消失してしまう問題 コスト関数の最適化には,
量子ビットの数に対して
指数的に多くの物理量の測定が
必要である バレンプラトーが生ずる変分量子アルゴリズムは,
問題サイズすなわち用い る量子ビットの数が
十分大きいとき, 効率的に実行できない可能性がある NISQ デバイスの制約を超えた長時間の時間発展シミュレーションを,
実際の量子コンピュータ上で実現すること
2変分量子アルゴリズムのコスト関数の一般的な 性質を理解し,
バレンプラトーが起こる原因を明らかにする NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
量子コンピュータは, 古典コンピュータ上で表現できないほどに
サイズの大きな系のシミュレーションを可能にしうる NISQ デバイスの制約上, トロッター分解による長時間発展シミュレーションは 困難である
この問題を解決しうる変分量子アルゴリズムが RQD であった. RQD では,
物理系の時間発展演 算子に対応する量子ゲートと NISQ デバイス上で
計算可能な浅いアンザッツとの差をコスト関数として表現 する
関数を最小化することで, 時間発展演算子に対応する量子ゲートを浅く 高エネルギー物理のための量子アルゴリズムのトイモデルとしてよく用いられ る
格子シュウィンガーモデルを例にとった
RQD によって, サイズの小さな系に対して, NISQ デバイスの制約を超えた
長時間発展シミュレーションを実際の量子コンピュータ上で実現した 時間発展演算子に対応する量子ゲートを, 格子シュウィンガーモデル の
電荷保存則を必ず満たすような粒子数保存アンザッツと呼ばれる
アンザッツに近似をした. 系の対称性 を満たすように
近似量子ゲートを設計することで, NISQ デバイスの雑音の影響を緩和できることが,
数値計 算によって確かめられている 時間発展演算子に対応する量子ゲートと粒子数保存アンザッツと の差を
表現するコスト関数の最小化には, 雑音に対して剛健な逐次最小化アルゴリズムを用いた
逐次最 小化アルゴリズムの雑音に対する剛健性は, 本論文によって初めて示された アルゴリズムが効率的に実行可能か否かを明らか にした. そのために,
同アルゴリズムで最小化したコスト関数の解析的な性質を詳細に調べた
粒子数保存ア ンザッツを用いた変分量子アルゴリズムのコスト関数の解析は,
本論文によって初めて為された 格子シュウィンガーモデルの初期状態の電荷の固有空間の次元が大きくなるほど,
コスト関数の平坦 な領域が増大しうる 初期状態の電荷によっては, コスト関数がバレンプラトーを示す こと,
つまり同アルゴリズムが効率的に実行可能でないことを明らかにした 変分量子アルゴリズムのコスト関数の一般的な性質
変分量子アルゴリズムの実現において, コスト関数の最適化に要する計算量が
ボトルネックとなる
変分量子アルゴリズムのスケラービリティの理解のためには,
コスト関数の性質を理解することが 重要である 従来の研究では, アンザッツの具体的な構造に依存したコスト関数の性質が
詳しく調べられてきた.Random Parametrized Quantum Circuit (RPQC) や
Hamiltonian Variational Ansatz (HVA) と呼ばれる クラスのアンザッツを用いた
コスト関数の性質はすでに詳しく知られている これらのク ラスのアンザッツを用いた変分量子アルゴリズムに対して,
アンザッツの豊かな表現能力がコスト関数の平坦だ アンザッツが RPQC や HVA といったク ラスに属する訳ではない
実際, 粒子数保存アンザッツはいずれのクラスにも属さない アンザッツの具体的な構造に依存しないコスト関数の一般的な性質を調べた
コスト関 数の勾配がある一定以上大きくなる領域の面積をアンザッツの
表現能力を定量化する表現力という量と 関係づけた アンザッツの豊かな表現能力が, コスト関数の平坦な領域を増大させうることが分かっ た
つまり, 従来 RPQC や HVA といった具体的なクラスのアンザッツを用いた場合に
成り立つとされてい た性質が, アンザッツの構造に依存せず成り立つ
普遍的な性質であることを明らかにした 量子コンピュータの計算原理の理解に必要な有限次元の量子論について
量子回路と呼ばれる量子コンピュータの計算モデル
変分量子アルゴリズムにつ いて
NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーションについて
変分量子アルゴリズムのコスト関数の一般的な性質について 有限次元の量子論の線型空間の次元は有限
量子論を記述するのに必要な言葉の準備と 量子論の出発点となる公理について
密度演算子という演 算子が量子系の状態を記述すること
CPTP 写像という線型写像が量子系の時間発展を記 述する
POVM という演算子の集合が量子系の測定を記述すること 2.1.1 線型空間 構造を持たない集合の中に加法とスカラー倍という演算
定義 2.1 (線型空間 [40]) 空でない集合 V が以下の 2 つの条件を満たすとき,
V は K 上線型空間であるとい う. 特に, C 上線型空間を複素線型空間,
R 上線型空間を実線型空間という V の任意の 2 つの元 |ψ⟩, |φ⟩ に対して, |ψ⟩ + |φ⟩ と書かれる
V の元を対応させる, 加法と呼ばれる演 算が存在して, 以下を満たす 任意の |ψ⟩,|φ⟩,|ξ⟩ ∈ V に対して, (|ψ⟩ + |φ⟩) + |ξ⟩ = |ψ⟩ + (|φ⟩ + |ξ⟩) が成立 任意の|ψ⟩,|φ⟩∈V に対して,|ψ⟩+|φ⟩=|φ⟩+|ψ⟩が成立 零元と呼ばれる|θ⟩∈V が存在して,任意の|ψ⟩∈V に対して,|ψ⟩+|θ⟩=|ψ⟩が成立 任意の |ψ⟩ ∈ V に対して, |ψ⟩ の逆元と呼ばれる −|ψ⟩ ∈ V が存在して, |ψ⟩ + (−|ψ⟩) = |θ⟩ が成立 有限次元の量子論 K の任意の元 c と V の任意の元 |ψ⟩ に対して, c |ψ⟩ と書かれる
V の元を対応させる, スカラー倍と呼 ばれる演算が存在して, 以下を満たす 任意のa,b∈K,任意の|ψ⟩∈V に対して,(a+b)|ψ⟩=a|ψ⟩+b|ψ⟩が成立 任意のa∈K,任意の|ψ⟩,|φ⟩∈V に対して,a(|ψ⟩+|φ⟩)=a|ψ⟩+a|φ⟩が成立 任意の a,b ∈ K, 任意の |ψ⟩ ∈ V に対して, (ab)|ψ⟩ = a(b|ψ⟩) が成立 任意の|ψ⟩∈V に対して,1|ψ⟩=|ψ⟩が成立 線型空間を特徴付ける線型空間の元の集合を定義する.
定義 2.2 (基底 [40]) K 上線型空間 V の元の集合 {|ei⟩}ni=1 が
以下の 2 条件を満たすとき, {|ei⟩}ni=1 を V の
基底といい, V は n 次元であるという V の次元を dim V と書く. |e1⟩,|e2⟩,...,|en⟩は線型独立である V の任意の元が, |e1⟩,|e2⟩,...,|en⟩ の K 上の線型結合で表せる 線型空間の中に, 長さや角度の概念に対応する内積という演算を取り入れる.
定義 2.3 (内積空間 [40]) K 上線型空間 V の任意の 2 つの元 |ψ⟩, |φ⟩ に対して,
(|ψ⟩ , |φ⟩) と書かれる K の 元を対応させる内積と呼ばれる演算が存在するときに,
V を内積空間という. ここで, 内積とは次の 3 条件 任意の |ψ⟩,|φ⟩ ∈ V に対して, (|ψ⟩,|φ⟩)∗ = (|φ⟩,|ψ⟩) が成立 任意のa,b∈K,任意の|ψ⟩,|φ⟩,|ξ⟩∈V に対して,(|ψ⟩,a|φ⟩+b|ξ⟩)=a(|ψ⟩,|φ⟩)+b(|ψ⟩,|ξ⟩)が成立 任意の |ψ⟩ ∈ V に対して, (|ψ⟩ , |ψ⟩) ≥ 0 が成立し, 等号は |ψ⟩ が V の零元のときにのみ成立 上内積空間を複素内積空間, R 上内積空間を実内積空間という
量子論では, 内積 (|ψ⟩ , |φ⟩) を ⟨ψ|φ⟩ と表記することが多い 内積空間 V のベクトル |ψ⟩, |φ⟩ が ⟨ψ|φ⟩ = 0 を満たすとき,
|ψ⟩, |φ⟩ は直交する
また, 内積空間 V には自然なノルム ‖|ψ⟩‖ := ⟨ψ|ψ⟩ が定義でき る
ノルムが 1 のベクトルを単位ベクトル 内積空間の互いに直交する単位ベクトルから成る基底を正規直交基底
定義 2.4 (正規直交基底 ) K 上内積空間 V の基底 {|ei⟩}dim V が,
を満たすとき, {|ei ⟩}dim V は V の正規直交基底であるという. i=1
i=1
⟨ei|ej⟩ = δij (i,j = 1,2,...,dimV ) (2.1) 有限次元の量子論 2.1.3 凸集合とアフィン写像
実線型空間の部分集合のうち, 凹みのないような
凸集合と呼ばれる集合を定義する.
定義 2.5 (凸集合) 実線型空間 V の部封ｪ集合 W が,
任意の w1, w2 ∈ W と p ∈ [0, 1] に対して,
pw1 +(1−p)w2 ∈W (2.2)
を満たすとき, W を凸集合という 凸集合から凸集合への写像のうち, 線型性のような性質を満たす
アフィン写像と呼ばれる写像を定義する
定義 2.6 (アフィン写像 [40]) V , W を凸集合とする
f : V → W が, 任意の v1, v2 ∈ V と p ∈ [0, 1] に対して,
f(pv1 +(1−p)v2)=pf(v1)+(1−p)f(v2) を満たすとき, f をアフィン写像 線型空間から線型空間への写像として, 線型写像を定義
定義 2.7 (線型写像 [40]) V , V ′ は K 上線型空間
f : V → V ′ が, (1) 任意の|ψ⟩,|φ⟩∈V に対して,
f(|ψ⟩+|φ⟩)=f(|ψ⟩)+f(|φ⟩) c∈K,任意の|ψ⟩∈V に対して,f(c|ψ⟩)=cf(|ψ⟩). を満たすとき,
f は K 上の線型写像や線型演算子である V からV′ への線型写像全体の集合をL(V,V′)
V =V′ のときL(V,V)を単にL(V)
た, H, H1, H2 は複素内積空間 L (H) の線型演算子を特徴付ける固有値とトレースという量を定義
定義 2.8 (固有値 [40]) A∈L(H)があるa∈Cと零元でない|ψ⟩∈Hに対して,
A |ψ⟩ = a |ψ⟩ (2.4)を満たすとき, a を A の固有値といい, |ψ⟩ を
固有値 a の固有ベクトル Ea := {|ψ⟩ ∈ H | A|ψ⟩ = a|ψ⟩} を固有値 a の固有空間A の固有値全体の集合を σ(A) 有限次元の量子論 11 定義 2.9 (トレース [40]) H の正規直交基底 {|ei ⟩}dim H
H 上のトレース Tr : L (H) → C を,TrA = で定義
Tr A は正規直交基底の選び方に依らない.
恒等演算子, 随伴演算子, 正規演算子と呼ばれる線型演算子を定義 定義 2.10 (恒等演算子 [40]) A ∈ L(H) が任意の |ψ⟩ ∈ H に対して
A|ψ⟩ = |ψ⟩ を満たすとき, A を恒等演
i=1 dim H⟨ei|A|ei⟩ (2.5)
i=1
算子といい, I や IH 定義 2.11 (随伴演算子 [40]) A ∈ L (H1, H2)
このとき, 任意の |ψ⟩ ∈ H1, |φ⟩ ∈ H2 に対して,
(|φ⟩,A|ψ⟩) = (B|φ⟩,|ψ⟩) を満たす B ∈ L (H2, H1) を
A の随伴演算子といい, A† 定義 2.12 (正規演算子 [40]) A ∈ L (H) が AA† = A†A を満たすとき,
A を正規演算子
正規演算子は, スペクトル分解と呼ばれる分解が可能 定理 2.13 (スペクトル分解 [40]) 任意の正規演算子 A ∈ L (H) は,PaPa′ =δaa′Paを満たす.
正規演算子のうち, 量子論において重要な役割を果たす演算子を定義 定義 2.14 (正規演算子の例
A∈L(H)が任意の|ψ⟩∈Hに対して⟨ψ|A|ψ⟩≥0を満たすとき,
Aを正値演算子といい,A≥0
また, A,B ∈ L(H) に対して, A − B が正値演算子であるとき, A ≥ B A ∈ L (H) が AA† = IH を満たすとき,
A をユニタリ演算子という
A ∈ L (H) が A = A† を満たすとき,
A をエルミート演算子という
P ∈ L (H) が P 2 = P = P † を満たすとき, P を射影演算子 線型写像全体の集合 L (V, V ′) に自然な加法とスカラー倍の演算を考えることで,
L (V, V ′) も線型空間をな す. したがって, 線型写像全体の集合から
線型写像全体の集合への線型写像が定義 量子論の 記述に重要な役割を果たすものを定義しておく.(2.7)
σ (A) は A の固有値全体の集合, Pa は A の固有値 a の固有空間 Ea への射影演算子
A= aPa a∈σ(A)
(2.6) 有限次元の量子論 12 定義 2.15 (正写像, n-正写像, CP 写像,
CPTP 写像 [40]) E : L (H1 ) → L (H2 ) を線型写像とする.
(1) E が正値演算子を正値演算子に写すとき, E を正写像という.
(2) In をL(Cn)上の恒等写像として,E⊗In:L(H1)⊗L(Cn)→L(H2)⊗L(Cn)が正写像であるとき,
E は n-正写像という.
(3) E が任意の n ∈ N に対して n-正写像であるとき, E は CP 写像であるという. 特にトレースを保存する
CP 写像を CPTP 写像という.
次の定理で述べるように, CPTP 写像には Kraus 表現と呼ばれる記述の方法が知られており,
量子コンピュータ上の雑音の記述等に用いられる. 定理 2.16 (Kraus 表現 [40]) 線型写像 E : L (H1) → L (H2) に対して, 以下は同値.
(1) (2)
2.1.5
E が CPTP 写像である.
lk=1 Vk†Vk = IH1 を満たす l ≤ dimH1 dimH2 個の線型演算子 Vk :
H1 → H2 (k = 1,2,...,l) が あって, 任意の A ∈ L (H1) に対して,
(2.8)
E (A) = と表せる. 各 Vk : H1 → H2 のことを Kraus 演算子と呼ぶ テンソル積
2 つの線型空間を用いて, テンソル積空間と呼ばれる新たな線型空間を作り出す.
定義 2.17 (テンソル積空間 [41]) V1, V2, V を K 上線型空間とする.
F : V1 × V2 → V が次の 2 つの条件を満たすとする.
(1) 任意の |ψ1⟩,|ψ2⟩ ∈ V1, |φ1⟩,|φ2⟩ ∈ V2, a,b ∈ K に対して,
F (a|ψ1⟩ + b|ψ2⟩,|φ1⟩) = aF (|ψ1⟩,|φ1⟩) + bF (|ψ2⟩,|φ1⟩)
F (|ψ1⟩,a|φ1⟩ + b|φ2⟩) = aF (|ψ1⟩,|φ1⟩) + bF (|ψ1⟩,|φ2⟩)
(2) V1 の基底 {|ei⟩}dim V1 , V2 の基底 {|fi⟩}dim V2 に対して, {F (|ei⟩ , |fj ⟩)}
i=1 i=1 i=1,2,...,dim V1;
(2.9) (2.10)
がV の基底 V を V1, V2 のテンソル積空間と呼び,
V1 ⊗ V2 と書く. さらに, F (|ψ⟩ , |φ⟩) を |ψ⟩ ⊗ |φ⟩
定義 2.17 と同様に, 3 つ以上の線型空間から
テンソル積空間を作り出す
線型空間 V1, V2, V3 から, テンソル積空間 V1 ⊗ V2 ⊗ V3 を作り出せる
特に, n 個の線型空間 V から作り出せるテンソル積l k=1
VkAVk†
j=1,2,...,dim V2 有限次元の量子論 13 空間を V ⊗n 2 つの内積空間を用いて, 内積を備えたテンソル積空間を作り出す.
定義 2.18 (テンソル積ヒルベルト空間 [41]) H1, H2 を複素内積空間とし, その基底をそれぞれ {|ei⟩}dim H1 ,
i=1 {|fi⟩}dimH2 とする.このとき,テンソル積空間H1⊗H2の内積を,|ψ⟩=dimH1dimH2ψij|ei⟩⊗|fj⟩,
i=1 i=1 j=1 |φ⟩=dimH1 dimH2 φij|ei⟩⊗|fj⟩に対して,
dimH1 dimH2
⟨ψ|φ⟩ :=で定義 内積を定めたテンソル積空間をテンソル積ヒルベルト空間
定義 2.18 と同様に, 3 つ以上の複素内積空間から
テンソル積ヒルベルト空間を作り出す
2 つの線型空間上の線型演算子から,
テンソル積空間上の線型演算子を作り出す i=1 j=1
dim V1 dim V2 ψij |ei⟩ ⊗ |fj ⟩ に対して, i=1 j=1で定義する.
L(H1 ⊗H2)に対して,
TrH2 X = で定義する.
ここで, TrH2 X は X の分解の仕方に依らない 2.2 有限次元の量子論の公理
有限次元の量子論の出発点となる公理系
量子系の状態, 物理量, 測定に関して次のような公理を課す (2.13)
i,k=1 j,l=1
定義 2.19 (線型演算子のテンソル積
V1, V2 を K 上線型空間とし, その基底をそれぞれ {|ei⟩}dim V1 , i=1
{|fi⟩}dimV2 とする. このとき,
A ∈ L(V1), B ∈ L(V2) に対して, A ⊗ B ∈ L(V1 ⊗V2) を, |ψ⟩ = i=1
dimV1 dimV2
(A ⊗ B) |ψ⟩ := ψij A |ei⟩ ⊗ B |fj ⟩ i=1 j=1
(2.12)
定義 2.19 と同様に, 3 つ以上の線型空間の線型演算子から,
テンソル積空間上の線型演算子を作り出す テンソル積空間 H1 ⊗ H2 上への線型演算子を,
H1 上の線型演算子に変換する演算として, 部分トレースが 定義
定義2.20(部分トレース)H2上の部分トレースTrH2:L(H1⊗H2)→L(H1)を,X=Aj⊗Bj ∈ j
j
ψijφkl ⟨ei|ek⟩⟨fj|fl⟩
(2.11)
Tr[Bj]Aj 有限次元の量子論
公理 2.21 有限次元の量子系は複素内積空間 H で表現され,
量子状態は H 上の単位ベクトルで表現
物理量は, エルミート演算子 A ∈ L(H) で表現され,
測定値はその固有値で与えられる 状態 |ψ⟩ ∈ H の下で, 物理量 A ∈ L(H) を測定するとき,
測定値が A の固有値 a ∈ R となる確率 P (A = a| |ψ⟩) は,
P (A = a| |ψ⟩) = ⟨ψ|Pa|ψ⟩ (2.14) で与えられ,
測定値の期待値は ⟨ψ|A|ψ⟩ で与えられる Pa ∈ L (H) は A の固有値 a の固有空間への
射影演算子とした. 閉じた量子系の時間発展に関して次のような公理を課す ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
