定義 2.6 (アフィン写像 [40]) V , W を凸集合とする f : V → W が, 任意の v1, v2 ∈ V と p ∈ [0, 1] に対して, f(pv1 +(1−p)v2)=pf(v1)+(1−p)f(v2) を満たすとき, f をアフィン写像 0249名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:46:53.26ID:??? 線型空間から線型空間への写像として, 線型写像を定義 定義 2.7 (線型写像 [40]) V , V ′ は K 上線型空間 f : V → V ′ が, (1) 任意の|ψ⟩,|φ⟩∈V に対して, f(|ψ⟩+|φ⟩)=f(|ψ⟩)+f(|φ⟩) 0250名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:47:05.92ID:??? c∈K,任意の|ψ⟩∈V に対して,f(c|ψ⟩)=cf(|ψ⟩). を満たすとき, f は K 上の線型写像や線型演算子である 0251名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:47:18.35ID:??? V からV′ への線型写像全体の集合をL(V,V′) V =V′ のときL(V,V)を単にL(V) た, H, H1, H2 は複素内積空間 0252名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:47:32.17ID:??? L (H) の線型演算子を特徴付ける固有値とトレースという量を定義 定義 2.8 (固有値 [40]) A∈L(H)があるa∈Cと零元でない|ψ⟩∈Hに対して, A |ψ⟩ = a |ψ⟩ (2.4)を満たすとき, a を A の固有値といい, |ψ⟩ を 固有値 a の固有ベクトル 0253名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:47:46.83ID:??? Ea := {|ψ⟩ ∈ H | A|ψ⟩ = a|ψ⟩} を固有値 a の固有空間A の固有値全体の集合を σ(A) 0254名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:48:52.59ID:??? 有限次元の量子論 11 定義 2.9 (トレース [40]) H の正規直交基底 {|ei ⟩}dim H H 上のトレース Tr : L (H) → C を,TrA = で定義 Tr A は正規直交基底の選び方に依らない. 恒等演算子, 随伴演算子, 正規演算子と呼ばれる線型演算子を定義 0255名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:49:05.61ID:??? 定義 2.10 (恒等演算子 [40]) A ∈ L(H) が任意の |ψ⟩ ∈ H に対して A|ψ⟩ = |ψ⟩ を満たすとき, A を恒等演 i=1 dim H⟨ei|A|ei⟩ (2.5) i=1 算子といい, I や IH 0256名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:49:52.58ID:??? 定義 2.11 (随伴演算子 [40]) A ∈ L (H1, H2) このとき, 任意の |ψ⟩ ∈ H1, |φ⟩ ∈ H2 に対して, (|φ⟩,A|ψ⟩) = (B|φ⟩,|ψ⟩) を満たす B ∈ L (H2, H1) を A の随伴演算子といい, A† 0257名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:50:11.75ID:??? 定義 2.12 (正規演算子 [40]) A ∈ L (H) が AA† = A†A を満たすとき, A を正規演算子 正規演算子は, スペクトル分解と呼ばれる分解が可能 0258名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:50:26.10ID:??? 定理 2.13 (スペクトル分解 [40]) 任意の正規演算子 A ∈ L (H) は,PaPa′ =δaa′Paを満たす. 正規演算子のうち, 量子論において重要な役割を果たす演算子を定義 0259名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:51:44.03ID:??? 定義 2.14 (正規演算子の例 A∈L(H)が任意の|ψ⟩∈Hに対して⟨ψ|A|ψ⟩≥0を満たすとき, Aを正値演算子といい,A≥0 また, A,B ∈ L(H) に対して, A − B が正値演算子であるとき, A ≥ B 0260名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:52:01.90ID:??? A ∈ L (H) が AA† = IH を満たすとき, A をユニタリ演算子という A ∈ L (H) が A = A† を満たすとき, A をエルミート演算子という P ∈ L (H) が P 2 = P = P † を満たすとき, P を射影演算子 0261名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:53:19.76ID:??? 線型写像全体の集合 L (V, V ′) に自然な加法とスカラー倍の演算を考えることで, L (V, V ′) も線型空間をな す. したがって, 線型写像全体の集合から 線型写像全体の集合への線型写像が定義 0262名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:53:39.84ID:??? 量子論の 記述に重要な役割を果たすものを定義しておく.(2.7) σ (A) は A の固有値全体の集合, Pa は A の固有値 a の固有空間 Ea への射影演算子 A= aPa a∈σ(A) (2.6) 0263名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:54:18.04ID:??? 有限次元の量子論 12 定義 2.15 (正写像, n-正写像, CP 写像, CPTP 写像 [40]) E : L (H1 ) → L (H2 ) を線型写像とする. (1) E が正値演算子を正値演算子に写すとき, E を正写像という. (2) In をL(Cn)上の恒等写像として,E⊗In:L(H1)⊗L(Cn)→L(H2)⊗L(Cn)が正写像であるとき, E は n-正写像という. (3) E が任意の n ∈ N に対して n-正写像であるとき, E は CP 写像であるという. 特にトレースを保存する CP 写像を CPTP 写像という. 次の定理で述べるように, CPTP 写像には Kraus 表現と呼ばれる記述の方法が知られており, 量子コンピュータ上の雑音の記述等に用いられる. 0264名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:54:48.23ID:??? 定理 2.16 (Kraus 表現 [40]) 線型写像 E : L (H1) → L (H2) に対して, 以下は同値. (1) (2) 2.1.5 E が CPTP 写像である. lk=1 Vk†Vk = IH1 を満たす l ≤ dimH1 dimH2 個の線型演算子 Vk : H1 → H2 (k = 1,2,...,l) が あって, 任意の A ∈ L (H1) に対して, (2.8) E (A) = と表せる. 各 Vk : H1 → H2 のことを Kraus 演算子と呼ぶ 0265名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:55:25.76ID:??? テンソル積 2 つの線型空間を用いて, テンソル積空間と呼ばれる新たな線型空間を作り出す. 定義 2.17 (テンソル積空間 [41]) V1, V2, V を K 上線型空間とする. F : V1 × V2 → V が次の 2 つの条件を満たすとする. (1) 任意の |ψ1⟩,|ψ2⟩ ∈ V1, |φ1⟩,|φ2⟩ ∈ V2, a,b ∈ K に対して, F (a|ψ1⟩ + b|ψ2⟩,|φ1⟩) = aF (|ψ1⟩,|φ1⟩) + bF (|ψ2⟩,|φ1⟩) F (|ψ1⟩,a|φ1⟩ + b|φ2⟩) = aF (|ψ1⟩,|φ1⟩) + bF (|ψ1⟩,|φ2⟩) (2) V1 の基底 {|ei⟩}dim V1 , V2 の基底 {|fi⟩}dim V2 に対して, {F (|ei⟩ , |fj ⟩)} i=1 i=1 i=1,2,...,dim V1; (2.9) (2.10) がV の基底 0266名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:56:14.00ID:??? V を V1, V2 のテンソル積空間と呼び, V1 ⊗ V2 と書く. さらに, F (|ψ⟩ , |φ⟩) を |ψ⟩ ⊗ |φ⟩ 定義 2.17 と同様に, 3 つ以上の線型空間から テンソル積空間を作り出す 線型空間 V1, V2, V3 から, テンソル積空間 V1 ⊗ V2 ⊗ V3 を作り出せる 特に, n 個の線型空間 V から作り出せるテンソル積l k=1 VkAVk† j=1,2,...,dim V2 0267名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:57:04.59ID:??? 有限次元の量子論 13 空間を V ⊗n 2 つの内積空間を用いて, 内積を備えたテンソル積空間を作り出す. 定義 2.18 (テンソル積ヒルベルト空間 [41]) H1, H2 を複素内積空間とし, その基底をそれぞれ {|ei⟩}dim H1 , i=1 {|fi⟩}dimH2 とする.このとき,テンソル積空間H1⊗H2の内積を,|ψ⟩=dimH1dimH2ψij|ei⟩⊗|fj⟩, i=1 i=1 j=1 |φ⟩=dimH1 dimH2 φij|ei⟩⊗|fj⟩に対して, dimH1 dimH2 ⟨ψ|φ⟩ :=で定義 0268名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:58:09.03ID:??? 内積を定めたテンソル積空間をテンソル積ヒルベルト空間 定義 2.18 と同様に, 3 つ以上の複素内積空間から テンソル積ヒルベルト空間を作り出す 2 つの線型空間上の線型演算子から, テンソル積空間上の線型演算子を作り出す 0269名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:58:28.78ID:??? i=1 j=1 dim V1 dim V2 ψij |ei⟩ ⊗ |fj ⟩ に対して, i=1 j=1で定義する. L(H1 ⊗H2)に対して, TrH2 X = で定義する. ここで, TrH2 X は X の分解の仕方に依らない 0270名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:59:34.69ID:??? 2.2 有限次元の量子論の公理 有限次元の量子論の出発点となる公理系 量子系の状態, 物理量, 測定に関して次のような公理を課す 0271名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 12:59:56.06ID:??? (2.13) i,k=1 j,l=1 定義 2.19 (線型演算子のテンソル積 V1, V2 を K 上線型空間とし, その基底をそれぞれ {|ei⟩}dim V1 , i=1 {|fi⟩}dimV2 とする. このとき, A ∈ L(V1), B ∈ L(V2) に対して, A ⊗ B ∈ L(V1 ⊗V2) を, |ψ⟩ = i=1 dimV1 dimV2 (A ⊗ B) |ψ⟩ := ψij A |ei⟩ ⊗ B |fj ⟩ i=1 j=1 (2.12) 定義 2.19 と同様に, 3 つ以上の線型空間の線型演算子から, テンソル積空間上の線型演算子を作り出す 0272名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:00:18.69ID:??? テンソル積空間 H1 ⊗ H2 上への線型演算子を, H1 上の線型演算子に変換する演算として, 部分トレースが 定義 定義2.20(部分トレース)H2上の部分トレースTrH2:L(H1⊗H2)→L(H1)を,X=Aj⊗Bj ∈ j j ψijφkl ⟨ei|ek⟩⟨fj|fl⟩ (2.11) Tr[Bj]Aj 0273名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:03:15.77ID:??? 有限次元の量子論 公理 2.21 有限次元の量子系は複素内積空間 H で表現され, 量子状態は H 上の単位ベクトルで表現 物理量は, エルミート演算子 A ∈ L(H) で表現され, 測定値はその固有値で与えられる 0274名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:03:40.56ID:??? 状態 |ψ⟩ ∈ H の下で, 物理量 A ∈ L(H) を測定するとき, 測定値が A の固有値 a ∈ R となる確率 P (A = a| |ψ⟩) は, P (A = a| |ψ⟩) = ⟨ψ|Pa|ψ⟩ (2.14) で与えられ, 測定値の期待値は ⟨ψ|A|ψ⟩ で与えられる 0275名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:03:59.03ID:??? Pa ∈ L (H) は A の固有値 a の固有空間への 射影演算子とした. 閉じた量子系の時間発展に関して次のような公理を課す 0276名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:04:19.05ID:??? 公理 2.22 ([40]) 閉じた系の時間発展はユニタリ演算子で記述 時刻 t1 における量子状態 |ψ(t1)⟩ と時刻 t2 における 量子状態 |ψ(t2)⟩ との関係は, t1 と t2 だけに依存する ユニタリ演算子 U を用いて |ψ(t2)⟩ = U |ψ(t1)⟩ (2.15) と関係づけられる 0277名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:04:48.91ID:??? 量子系の合成系に関して次のような公理を課す. 公理 2.23 ([40]) 複素内積空間 H1, H2 によって 表現される量子系 S1, S2 の合成系 S1 + S2 は, テンソル積ヒルベルト空間 H1 ⊗ H2 0278名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:05:16.55ID:??? S1 系の物理量 A1 ∈ L (H1) は, 合成系 S1 + S2 では A1⊗IH2 ∈L(H1⊗H2)で表現される. 同様に,S2系の物理量A2 ∈L(H2)は, 合成系S1+S2では IH1 ⊗A2 ∈L(H1 ⊗H2) 0279名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:05:29.84ID:??? 2.3 量子系の状態の記述 量子状態の確率混合の操作と 合成系から部分系を抽出する操作を許すことで, より一般的な量子状態を作り出すことができる 0280名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:05:56.79ID:??? 一般的な量子状態を作り出すことができる
一般的な量子状態は, 以下に定義する密度演算子よって記述
定義 2.24 (密度演算子) ρ ∈ L (H) が ρ ≥ 0 かつ Tr ρ = 1 であるとき, ρ を密度演算子 0281名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:06:20.21ID:??? 以下,密度演算子全体の集合をS(H):={ρ∈L(H)|ρ≥0, Trρ=1} S(H)は凸集合である. 確率 pi で状態 |ψi⟩ ∈ H を準備するという 確率混合の操作によって得られた混合状態 s は,ρ =と密度演算子 ρ で記述 0282名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:06:34.73ID:??? 実際, 混合状態 s に対して, 任意の物理量 A = 定値 a を得る確率は, P (A = a | ρ) = piP (A = a | |ψi⟩) = pi ⟨ψi|Pa|ψi⟩ = Tr[ρPa] (2.17) ii i pi |ψi⟩ ⟨ψi| (2.16) aPa の測定をして, a∈σ(A) 0283名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:07:40.05ID:??? 密度演算子さえわかれば, 任意の物理量に対する 測定値の確率分布を得る 密度演算子には, 混合状態 s の全ての物理的な情報が含まれている 0284名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:07:58.24ID:??? 確率 pi で密度演算子 ρi ∈ S (H) で記述される混合状態 si を 準備するという確率混合の操作によっ て得られた混合状態 s もまた ρ =と密度演算子 ρ で記述でき, 混合状態 s に対して, 任意の物理量 A = (2.18) aPa の測定をして, 測定値 a を 得る確率は, P (A = a | ρ) = pi Tr[Paρi] = Tr[ρPa] (2.19) piρi
piP (A = a | ρi) = ii
i となっている 0285名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:08:51.92ID:??? 合成系 S + E から部分系 S の状態を抽出する 操作によって得られる量子状態も密度演算子で記述 合成系S+Eにおける量子状態をρSE ∈S(HS ⊗HE)とし, Sの任意の物理量Aの任意の固有値aに対し て, 量子状態ρS ∈S(HS)が P (A = a | ρS) = P (A = a | ρSE) (2.20) を満たすとき,ρS を合成系S+Eの部分系Sの量子状態 0286名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:10:29.98ID:??? P(A=a|ρS)はρS に対して測定 をして測定値 a を得る確率, P (A = a | ρSE) は ρSE に対して測定をして測定値 a を得る確率 このと き,全体系S+Eの量子状態ρSE ∈S(HS ⊗HE)の部分系Sの状態は 密度演算子TrEρSE ∈S(HS)で記述 0287名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:10:48.40ID:??? 量子状態の確率混合の操作と合成系から 部分系を抽出する操作を許すことで作り出された 一般的 な量子状態は, 密度演算子で記述できる 0288名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:11:11.66ID:??? 公理 2.21, 公理 2.22 を, 密度演算子の命題 2.25 量子系は 複素内積空間 H で表現され, 量子状態は ρ ∈ S (H) で表現
物理量は, エルミー ト演算子 A ∈ L(H) で表現され, 測定値はその固有値で与えられる 0289名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:11:29.28ID:??? 量子状態 ρ ∈ S (H) の下で, 物理量 A ∈ L(H) を測定するとき, 測定値が A の固有値 a ∈ R となる確率 P (A = a | ρ) は, P (A = a | ρ) = Tr[ρPa] (2.21) で与えられ, 測定値の期待値は Tr [ρA] で与えられる. ここで, Pa ∈ L (H) は A の固有値 a の固有空間への射影演算子 0290名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:11:59.24ID:??? 命題 2.26 閉じた系の時間発展はユニタリ演算子で記述 つまり, 時刻 t1 における量子状態 ρ(t1) と時刻 t2 における 量子状態 ρ(t2) との関係は, t1 と t2 だけに依存する ユニタリ演算子 U を用いて ρ(t2) = Uρ(t1)U† (2.22) と関係づけられる. a∈σ(A) 0291名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:13:09.59ID:??? 有限次元の量子論 16 2 つの量子状態 ρ, σ ∈ S (H) の近さを定量化する 指標として, 忠実度を定義 0292名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:13:28.75ID:??? 定義 2.27 (忠実度 [7]) ρ, σ ∈ S (H) に対して, 忠実度 F : S (H) × S (H) → [0, 1] を, √ √ F(ρ,σ)=Tr ρσ ρ (2.23) で定義 0293名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:13:42.65ID:??? ρ, σ が純粋状態で, ρ = |ψ⟩⟨ψ|, σ = |φ⟩⟨φ| であるならば, F(ρ,σ) を F(|ψ⟩,|φ⟩) と書く. 純粋状態 |ψ⟩, |φ⟩ に対しては, F (|ψ⟩ , |φ⟩) = |⟨ψ|φ⟩| (2.24)が成立 0294名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:13:56.12ID:??? |ψ⟩ と |φ⟩ が, 位相因子を除いて等しい時にのみ忠実度は 1 になり, 直交している時 にのみ忠実度は 0 になる. 一般に, 純粋状態同士の忠実度に限らず, F (ρ, σ) = 1 であることと ρ = σ であるこ とは同値 0295名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:15:26.31ID:??? 2.4 量子系の時間発展の記述 例えば, 量子コンピュータと外界との相互作用によって 引き起こされる雑音は, 全体系で見ればユニタリ演 算子で記述 一方で, 量子コンピュータの部分系から見ると, その雑音は必ずしもユニタリ演算子で記述 できるとは限らない. 0296名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:15:45.22ID:??? 一般的な状態の時間変化は, 複素内積空間 HA で表現される量子系 A の 初期状態を複素内積空間 HB で表 現される量子系 B の終状態に移す 時間発展写像は, S (HA) から S (HB) への写像であるから, TP 写像である. 0297名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:16:26.40ID:??? 時間発展 写像はアフィン性を備える確率 p, 1 − p で, 量子状態 ρ, σ ∈ S (HA) が 混合した量 子状態 pρ + (1 − p)σ を, 時間発展写像 E で 時間発展させて得られた状態 E (pρ + (1 − p)σ) と 量子状態 ρ, σ ∈ S (HA) を時間発展写像 E で 時間発展させて得られた状態 E (ρ), E (σ) が 確率 p, 1 − p で混合した量子状 態pE(ρ)+(1−p)E(σ) は同じ状態 0298名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:16:38.71ID:??? E (pρ + (1 − p)σ) = pE (ρ) + (1 − p)E (σ) (2.25) が成立するべきであるからである. したがって, 時間発展写像 E : S (HA ) → S (HB ) は TP かつアフィンな写 像であるべきといえる. ここで, 次の命題が成り立つ 0299名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:17:23.17ID:??? 命題 2.28 ([40]) 写像 f : S (HA) → S (HB) はアフィン写像である このとき, 任意の ρ ∈ S (HA) に対して, f ̃(ρ) = f (ρ) なる TP かつ正写像な線型写像 f ̃: L(HA) → L(HB) が一意に定まる 0300名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:17:41.05ID:??? 命題 2.28 は, TP かつアフィンな時間発展写像 E : S (HA) → S (HB) を, TP かつ正写像な線型写像 E:L(HA)→L(HB)と論じてよいこと意味している 以後,時間発展写像は,アフィン写像E:S(HA)→ S (HB ) ではなく, TP かつ正写像な線型写像 E : L (HA ) → L (HB ) として議論を進める 0301名無しさん＠ピンキー2024/09/23(月) 13:19:19.46ID:??? 猿がオナニー覚えた状態
