等身大ぬいぐるみ ラブドール 6
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逐次最小化アルゴリズムは, 変分量子アルゴリズムの
コスト関数が, ある 1 つのパラメータに注目すると
単純な関数形で書けるという性質を生かした
最適化アルゴリズムである コスト関数が, 4.2 で述べる変分量子固
有値ソルバーや Fixed input state compiling と
呼ばれる変分量子アルゴリズムのように,
CRPQC (γ) = Tr OURPQC (γ) ρURPQC (γ)† (4.14) で
表せるとする. アンザッツは (4.2) で定義した URPQC (γ)
この設定の下, パラメータ γj に
注目してコスト関数の解析的な性質
第 t イテレーションにおけるコスト関数の値 C おいて
, γj 以外のパラメータを固定した関数
RPQC
γ(t)に (4.15)
は, γ
C(t) (γj ) := CRPQC (γ)| (t) j γj′=γj′
に依らない実数 a(t), a(t), a(t) を用いて, j 123
′
C(t) (γ ) = a(t) sin2γ + a(t) cos2γ + a(t) jj1j2j3
(4.16) と表すことができる 実数 a(t), a(t), a(t) は, C(t) (γ ) の独立な
3 点の値から計算できる. 例えば, 独立な
123 jj3点として,γ(t),γ(t)+π,γ(t)−π を選べばよい.
すると,C(t)(γ )=a(t)sin2γ +a(t)cos2γ +a(t) は簡単
jj4j4 jj1j2j3 な三角関数なので, その最小点を容易
に求める コスト関数のあるパラメータ γj について注目してみれば,
C(t) (γj) の最小点を求めることができる.
この最小点を求めるステップを, 注目する j
パラメータ γj の添字 j を変化させて何度も繰り返すことで,
コスト関数の最小点を探索するアルゴリズムを
逐次最小化アルゴリズムという 逐次最小化アリゴリズムは, 既存のオプティ マイザーに比べ,
コスト関数の推定における統計誤差に対して剛健かつ収束が
速いことが数値計算により確か められている アンザッツとして URPQC (γ) を考えたが, より一般的なアンザッツに拡張して考え ることができる
例えば, アンザッツとして粒子数保存アンザッツを用いた場合の逐次最小化アルゴリズムに
雑音のある NISQ デバイス上で逐次最小化アルゴリズムが有用であることを議論する. 変分量子アルゴリズ ムのコスト関数を, より一般に
C (γ) = Tr OU (γ) ρU (γ)† (4.17) とし,
第 t イテレーションにおけるコスト関数の値 C γ(tにおいて,
γj 以外のパラメータを固定した関数を
C(t) (γj) とする. 逐次最小化アルゴリズムでは,
パラメータの添字 j を変化させて C(t) (γj) の最小点を求め jj
(j ̸=j) 変分量子アルゴリズム 40
で定義される. ここで, |ψ (γ)⟩ = U (γ) |ψ0⟩ は, 初期状態 |ψ0⟩ に
アンザッツ U (γ) を作用させて得られる量 子状態で, 試行状態という.
試行状態は n スピン系の量子状態であるから, 2n 次元の複素内積空間の
単位ベク トルで表現される. 試行状態を愚直に古典コンピュータ上で
表現するには O(2n) ビットが必要であるが, 量子 コンピュータ上であれば
n 量子ビットで良い 変分量子固有値ソルバーでは, 古典コンピュータ上で は表現しきれない程に
次元の大きい複素内積空間の試行状態から基底状態を探索することができよう.
4.2.2 Fixed input state compiling
Fixed input state compiling (FISC) とは,
n 量子ビットの状態 |ψ0⟩ に作用する V と同等の計算を行う量 子ゲートを求める
変分量子アルゴリズムである [22]. すると, U (γ) をアンザッツすれば, FISC の目的は
コスト関数 Cglobal (γ) = −F 理量
V |ψ0⟩ , U (γ) |0⟩
を最小化することで実現できる 関数は, 物V |ψ0⟩ = U (γ) |0⟩⊗n (4.21)
を満たす γ を求めることにある.
2 つの量子状態 V |ψ0⟩, U (γ) |0⟩⊗n 間の近さは,例えば,
忠実度 F V |ψ0⟩ , U (γ) |0⟩⊗n で定量化される. したがって, (4.21) を近似的に満たす U (γ) を求めるには,
忠実度を最大化する γ を求めればよい. これは,
⊗n2
Oglobal :=−(|0⟩⟨0|)⊗n (4.22)
を用いて, Cglobal (γ) = Tr [Oglobal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] と書ける
|ψ (γ)⟩ := U (γ)† V |ψ0⟩ とした. Cglobal (γ) は, |ψ (γ)⟩ の
n 量子ビット全てを測定して |0⟩⊗n を得る確率に, −1 をかけることで得られる.
し たがって, Cglobal (γ) は −1 以上 0 以下の値をとりうる.
FISC では, Cglobal 以外のコスト関数を定義することができる. 物理量 Olocal を, n−1
Olocal :=−n
I ⊗|0⟩⟨0|⊗I
(4.23)
1 ⊗j ⊗n−j−1
j=0
として, FISC のコスト関数を
Clocal (γ) = Tr [Olocal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] で定義 すると, Clocal (γ) は, −1
以上 0 以下の値をとり, γ が (4.21) を満たすときにのみ最小値 −1 をとる.
Clocal (γ) は, |ψ (γ)⟩ の第 j 量 子ビットのみを測定して |0⟩ が得られる
確率の, j = 0, 1, . . . , n − 1 に対する平均に −1 をかけることで得られる 変分量子アルゴリズム 38
Algorithm 1 逐次最小化アルゴリズム
Require: コスト関数は, (4.14) で定義した CRPQC (γ) とする.
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
パラメータの初期値 γ(0) を定める. while t < tmax do
for j = 1,2,...,Np do for j′ = 1,2,...,Np do
if j′ = j then
C(t) γ(t) , C(t) γ(t) + π , C(t) γ(t) − π を推定し,
a(t), a(t), a(t) を求める. jjjj4jj4 123
γ(t+1) ← arg min a(t) sinγ + a(t) cosγ + a(t) j 1j2j3
else
(t+1) γj′
10: end if 11: end for 12: t←t+1 13: end for
14: end while
← γj′
γj (t) 変分量子アルゴリズムのコスト関数には, バレンプラトーと呼ばれる勾配消失問題が起こりうる.
変分量子 アルゴリズムで解く問題のサイズ, つまり用いる量子ビットの数に対して,
指数的にコスト関数の勾配が消失 してしまう問題 変分量子アルゴリズム 41バレンプラトーを引き起こす量子ビット数 n の
変分量子アルゴリズムにおいて, 必要な物理量の測定回数 Ntotal
勾配の情報を用いるオプティマイザー (gradient descent) に限らず,
勾配の情報を用いないオプティ マイザー (Nelder-Mead, Powell, COBYLA) についても,
量子ビット数に対して指数的に多くの物理量の測定が 必要 数やその勾配の推定のためには, 量子ビットの数に対して指数的に大きな回数の物理量の測定が必要であり,
最適化を効率的に行うことはできない. つまり, コスト関数が満たすべき条件 (C4) を満たさない. 変分量子アルゴリズムにバレンプラトーが生じるのか否かの議論デザインをなす程に十分深い
RPQC を用いた変分量子アルゴリズムにはバレンプラトーが 起こる 量子ビットの数 n に対して O (log n) 程の深さの Alternating Layerd Ansatz という
クラスのア ンザッツを用いた変分量子アルゴリズムについては, (4.22) で定義した
Oglobal のように全ての量子ビットに 作用するような物理量 O を用いる場合には
バレンプラトーが起こる一方で, (4.23) で定義した Olocal ように 一部の量子ビットに
作用するような物理量 O を用いる場合にはバレンプラトーが起こらないことが示されて いる
バレンプラトーが起こらないアルゴリズムの例として, 量子畳み込みニューラルネットワー クや
アンザッツがツリーテンソルネットワーク構造を持つ量子ニューラルネットワーク
バレンプラトーの影響を軽減するためのアルゴリズムも提案され始めている
パラメータの一部をランダムに初期化し, 残りのパラメータをアンザッツが恒等演算子と
なるように選ぶパラ メータ初期化の手法である
アンザッツのパラメータを層ごとに最適化していく手法が提案 変分量子アルゴリズムにおける
逐次最小化アルゴリズムの疑似コード.
ることを繰り返す. そのアルゴリズムの
変分量子アルゴリズムを NISQ デバイ ス上で
実装するためには, アンザッツを U (γ) = UNg UNg −1 . . . U2U1 の
ようにハードウエア上で実装可能な 基本ゲートに分解する必要があった.
そこで, NISQ デバイスへの雑音のモデルとして, (3.25) で定義した
Np
N = ⃝ (Dpi ◦ Ui) (4.18)
j=1
なるモデル CPTP 写像 Ui (·) = Ui (·)Ui† とし, Dpi (pi ∈ (0, 1]) は
分極解消チャンネルとし た. この雑音のモデルに対して,
逐次最小化アルゴリズムが剛健であることを裏付ける
次の定理 4.1 が成立す る. 定理の証明は, 付録 F.2 に述べた 定理 4.1 (4.17) で定義したコスト関数 C (γ) を考える. (4.18) で
定義した雑音のモデル N の下で計算される コスト関数を C ̃ (γ) とする.
このとき, 物理量の期待値の推定のための測定回数が無限回であならば,
任意の 自然数 t に対して, 逐次最小化アルゴリズムによって求めた
第 t イテレーション後の C (γ) の最適点と C ̃ (γ) の最適点は一致する 変分量子アルゴリズム 39
Algorithm 2 一般的な逐次最小化アルゴリズム Require:
コスト関数は (4.17) の形で表される.
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
10: 11: 12: 13:
パラメータの初期値 γ(0) を定める. while t < tmax do
for j = 1,2,...,Np do for j′ = 1,2,...,Np do
if j′ = j then
γ(t+1) ← arg min C(t) (γj)
else
(t+1) γj′
end if end for
t←t+1 end for
end while
(t) ← γj′
jj γj 一般的な逐次最小化アルゴリズムの疑似コード.
4.2 変分量子アルゴリズムの応用 4.2.1 変分量子固有値ソルバー
変分量子固有値ソルバー (Variational Quantum Eigensolove, VQE) は,
量子系の基底状態とその固有値 (基底エネルギー) を求める
変分量子アルゴリズムである 変分量子固有値ソルバーでは, 量子コンピュータ上で量子系を表現する必要があるので,
対象となる量子系 をスピン系にマッピングする. 例えば, ジョルダン・ウィグナー変換 や
ブラヴィ・キタエフ変換 によって, フェルミオン系をスピン系にマッピングできる.
こうして, 対象となる量子系を n スピン系にマッ ピングしたハミルトニアン H とすると,
一般にハミルトニアン H は,
(4.19)
(4.20)
n−1 3 n−1 3iiijii
H = hασα + hαβσασβ +··· i=0 α=1 i,j=0 α,β=1
のように表される
各 hi , hij 等は実数, σi := I⊗i ⊗ σ ⊗ I⊗(n−i−1) とした. ααβ α α
変分量子固有値ソルバーのコスト関数は,
CVQE (γ) = ⟨ψ (γ) |H|ψ (γ)⟩ ケモナー、虫やモンスターに性欲を抱く方たちは移動願います
こちらなら気持ち悪がられずに思う存分語り合えます 専用スレ立ったならここは人型ぬい専用ってことでええんか
今後は人外はスレチ扱いやな 506+507の発言からもまるで反省していない様です。508さん。逆ですよ。あなたたちがケモナー板に移動するのです。
残念ながら昨日よりケモナーだけでなくすべてのぬいドーラーが粛清対象となりました。
イキがって失う居場所が無くなるのはみなさんの方です。口は災いの元。無用なレスは天に唾を吐く行為です。馬鹿な人たちですね。
今後、ちゃんねるに立てられるすべての等身大ぬいドールは封印します。過疎化が進行していた掲示板です。潔く封鎖しましょう。
どうやら癌はケモナー愛好の変態悪戯荒らしさんでは無いと思われます。スレに依存して棲みついている自称正義のご意見番の住人が真の悪ですね。
過去のスレで、いつも過激な正義面して過剰に反応しているエセ正義人ですよ。分かるでしょう？分からなければ過去スレを読みましょう。
荒らしが現れる前に必ずこの病人が構っています。荒らしでは無い場合でも独断と妄想で悪だと認定している様です。
悪側や荒らし側はある意味でが愉快犯ですので放置しておいても問題ありません。スルーしていれば自然に消えるものです。
この板に依存した病んだ偽正義感の人は常に張り付いてレスを監視している様子です。
この偽善者は荒らしを無理やり作り出して煽り扇動しています。どんな小さな事にも執着してトラブルに発展させる資質があるようです。
無意識でしょうが、自覚していないだけに病みは深刻です。正義面して注意喚起が生き甲斐なのです。
悪気が無いにしても、いい気になって、興味本位で、ポケモンや、動物のケモナー画像を最初に貼った輩も粛清します。
自分の嗜好で無いのにゲテモノ画像や動物画像を掲示板に貼って自己顕示欲や承認欲を満たしています。
この様な勘違いした自称知識人ぶった変態は退治しなければなりません。変態画像を収集して需要のある日や変態の登場を待っているのは異常です。
正義が歪んだ模倣犯と言えるでしょう。
荒らしをわざわざ産み出してる輩が棲む掲示板は封印が必要です。今後、どんな内容であれ、新しく立った板は、毎日100量子レスして潰します。
ちなみに僕はケモナー板にはアクセスしません。つまりキモい画像を見る事はありません。ケモナーのスレには貼りません。
このスレの住民が全員ケモナーのスレに引っ越して下さい。僕は等身大ぬいぐるみ ラブドール 6〜10ぐらいまでは量子力学で埋める予定です。
ワイフワークなのでほっといて下さい。 まだこっちのテンプレにけものひめ残ってるからケモ話題は出てもおかしくないかもな
完全に分けたいのなら次スレでテンプレ修正するのがいいんじゃないかね ○○がキモいとスレ趣旨のものにイチャモンをつける
↓
○○の話があるならとスレを荒らす
↓
○○のスレを立て、スレから排除する
これ、全て荒らしの自演で可能なんだよね
つまりだ、今後も気に入らないものが出れば同様なことができるんだわ スレ分けても荒らし残ったら意味無いし管理するらしい避難所の方がマシじゃね？ ほらね
ただ荒らしたいだけ
頭悪い屁理屈並べるだけ
何しても無駄 どうせ過疎スレだし
たまに煽って人生無駄に消費させるのもまた良し ほぼビジュアルだけしか無い（見た目じゃ分からない要素はほとんど設定されてない）キャラの場合、人間と人外の境目なんて定義できないだろ
ケモ耳とかエルフ耳とかツノとか青肌とかも人外っちゃ人外だし、極論「現実の人類と比べて目がデカすぎるから人外だ」とかだって言える
自分好みの物以外の話題は絶対に見たくないって言うなら匿名掲示板は見ない方がいい 匿名掲示板だろうが
自分の立ち位置くらい普通に空気でわかるだろ
それがわからないプライドだけ高いアホがいるからこうなる >>516
うわぁいかにも人間のくずって感じな書き込みだわぁ
こうはなりたくないね
終わってるｗ フィクション、ファンタジーのものだしエルフは現実において人の枠には入らない 問題はケモナーにあると言うより、普通に見て顔がキモいか可愛いだけだと思う。
日本のアニメに登場する異世界ファンタジーのエルフは可愛いから全然大丈夫だと思う。
けものフレンズが可愛いケモナーの基準になっている。
欧米のホラー系のケモナーはフリークス造形で顔もグロいし
センスが日本のアニメキャラとまるで違うからダメなだけ。 同じ穴の狢があれとは違うそれとは違うと必死になってるわ CRPQC (γ) := Tr OURPQC (γ) ρURPQC (γ)† (4.24)
を例とって, バレンプラトーについてより詳細に議論する
ここで, ρ は n 量子ビットの量子状態とし, URPQC (γ) は
(4.2) で定義したアンザッツである. 4.3.1 で, NISQ デバイスの
雑音がないという仮定のもとに 引き起こされる
バレンプラトーについて 4.3.2 で, 外界からの NISQ デバイスへの雑音が
コスト関数の 勾配に及ばす影響を議論する.
4.3.1 noise-free バレンプラトー
(noise-free) バレンプラトーは, 形式的には
次のように定義される 定義 4.2 Γ-値確率変数 γ は一様分布に従うとする
n 量子ビットの変分量子アルゴリズムのコスト関数を
C:Γ∋γ→C(γ)∈Rとし,コスト関数CはC1 級とする
このとき,C(γ)がパラメータγj に関してバ レンプラトーで
あるとは, パラメータ γj に関するコスト関数の 1 階微分の
∂γj C (γ) の期待値が 0 で，分散が ある b > 1 を用いて
O (b−n) でスケールする ∂C (γ)∂C (γ) −n Eγ ∂γ =0, Vγ ∂γ =O b
jj
定義 4.2 にチェビシェフの不等式 (補題 A.15) を
用いると, 任意の δ > 0 に対し,2ν ∂C(γ)≥δ ≤ 1E
∂C(γ) = 1V ∂C(γ) =O b−n∂γj δ2 γ ∂γj δ2 γ ∂γj
ここで, ν は γ の従う一様分布とした. (4.26) は,
Γ から一様に γ を選んだ時に, その点での γj に
関 する勾配の大きさが δ 以上である確率が,
量子ビットの数 n に対して指数的に減少 量子ビットの数 n が十分大きいと,
コスト関数の定義域 Γ の広い領域で
コスト関数 の勾配がほとんど 0 に
なっていることを示している
バレンプラトーが生じるようなコスト関数には
(narrow gorge) が生じる コスト関数 CRPQC (γ) がバレンプラトーか否か
定義 4.2 に基づき, γ を一様分布 ν に従う確率変数と
みなし, γj に関するコスト関数の勾配の期待値と
分散を計算する
URPQC (γ) を注 目しているパラメータ γj に
依存する部分と依存しない部分に分解して
j−1
j′=1
コスト関数は C1 級と仮定 ∂γj C (γ) が連続であれば,
∂γj C (γ) が確率変数になる
UR (γR = (γ1,γ2,...,γj−1)) := Wj
Uj′ (γj′)Wj′ (4.27) 変分量子アルゴリズムのコスト関数に生じる
バレンプラトーのイメージ.
量子ビットの数 n に対して指数的に,
コ スト関数の平坦な領域が増大する. V
γ
∂CRPQC (γ) ∂γj
(4n − 1)2 2 Tr[X]2
Np
UL γL = (γj+1,γj+2,...,γNp) :=
として,
URPQC (γ ) = UL (γL ) Uj (γj ) UR (γR ) とする コスト関数のパラメータ γj に関する勾配は,
∂CRPQC (γ) = Tr OUL(γL)Uj,γj (γj )UR(γR)
ρUR(γR)†Uj (γj )†UL(γL)† ∂γj †††
+Tr OUL(γL)Uj(γj)UR(γR)ρUR(γR Uj,γj(γj) UL(γL) Uj,γj (γj) := ∂γjUj(γj)
, γR, γL はそれぞれ確率変数であり,
それらに依 存する UR(γR), UL(γL) もまた
確率変数 U (2n)-値確率変数 UR(γR), UL(γL) が
ユニタリ 2 - デザインである程に十分な
表現能力を持つ
j′=j+1
Uj′ (γj′)Wj′
(4.28)
∂CRPQC (γ)
Eγ ∂γ =0
j n+1 (2) ∆2n
(2) (2)
(ρ) ∆2n (O) ∆2n (Vj )
= 2
∆d (X):=Tr X − d
(2)
(4.32) O を (4.22) で定義した Oglobal とし, ρ を
純粋状態とし, Vj をトレースレスとすると,
(2) n (2) (2) −n
∆2n (Vj)=2 ,∆2n (O)=∆2n (ρ)=1−2 であるから,
∂CRPQC (γ)
1 −n
n 2 =O 4 (4.33)
Vγ ∂γ
となる. コスト関数 CRPQC (γ) の勾配の期待値が
0 であり, 分散が量子ビットの数 n に対して
指数的
=
2(2 +1)
j
に減少していくので, 定義 4.2 より
バレンプラトーが生じている バレンプラトーが生じ ていることを導くのに,
U (2n)-値確率変数 UR(γR), UL(γL) が
ユニタリ 2 - デザインである程に十分な
表現能 力を持つという仮定 変分量子アルゴリズム 44
URPQC (γ) =
図 4.9: URPQC (γ) の UR (γR), Uj (γj ), UL (γL) への分解.
図 4.10: 変分量子アルゴリズムのコスト関数に生じる
noise-induced バレンプラトーのイメージ.
量子ビットの数 n に 対して指数的に,
コスト関数が全体的に平坦になっていく.
4.3.2 Noise-induced バレンプラトー
NISQ デバイスは誤り訂正機能を持たないので,
外界からの雑音の影響を受ける 外界からの雑音の 影響によって,
変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配が
どのようになるかを議論する.
UR (γR)
NISQ デバイスへの雑音のモデルとして,
C ̃PQC (γ) = Tr [ON (ρ)]
で表せる 命題 3.10 より, U(·) =
URPQC(γ)(·)URPQC(γ)† とし, p := Np j=1
N =Dp ◦U
pj とすると,
(4.35)
(4.36)
Uj (γj)
UL (γL)
Np
N=⃝ Dpj ◦Uj (4.34)
j=1 Uj(·) = Uj (γj)Wj(·)Wj†Uj (γj)† とし, Dpj (pj < 1) は
分極解消チャンネルと した. 雑音のモデル N は,
アンザッツを構成する各量子ゲート Uj (γj ) が
作用する度に, 分極解消チャンネル Dpj が
作用するというモデルとなっている この雑音のモデルはの下でのコスト関数 C ̃PQC (γ) は,
変分量子アルゴリズム 45 である. したがって,
雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) は,
C ̃PQC (γ) = Tr [O(Dp ◦ U) (ρ)] = pC (γ) + 1 − p Tr [O] (4.37) 2n
となる. |p| < 1 であるから, 雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) は,
雑音がない場合のコスト関数 C (γ) に比べて, p 倍縮小される このとき, 雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) の
パラ メータ γj に関する勾配は, q := maxj=1,2,...,Np |pj | (< 1) として,
∂CPQC (γ) = p∂CRPQC (γ) ≤ qNp ∂CRPQC (γ) (4.38)
Np = Ω (n) とすると, 雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) の
勾配の絶対値が, 雑音からの寄与 qNp により, 量子ビットの数 n に対して
指数的に減衰 雑音の影響に よって引き起こされる勾配消失問題を,
noise-induced バレンプラトーと呼ぶ
noise-induced バレンプラトーと定義 4.2 に定義した
バレンプラトーは異なる概念であることに注意する.
定義 4.2 に定義したバレンプラトーを, noise-induced
バレンプラトーと区別して, noise-free バレンプラトー
ということもある. noise-free バレンプラトーは,
パラメータ空間のほんとんどの領域コスト
関数の勾配が十分小さくなる現象であった
noise-induced バレンプラトーは,
コ スト関数全体が平坦になっていく現象である NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション 5.1 はじめに
量子コンピュータは, その量子ビットの数 n に対して指数的に
大きな O (2n) 次元の情報を表現できる. 一 方, 古典コンピュータは,
その古典ビットの数 n に対して O (n) 次元の情報を表現 この量子コンピュー タの持つ広大な空間が, 古典コンピュータでは
実現不可能な程にサイズの大きい系の時間発展シミュレーショ ンを
実現する可能性を秘めている.
最も基本的な量子コンピュータ上での系の時間発展シミュレーションでは,
トロッター分解によって系の時 間発展演子に対応する量子ゲートを
量子コンピュータ上で実装する トロッター分解に依る手 法では, シミュレーション時間に比例して,
必要な量子ゲートの深さが深くなる. つまり, 精度良く計算可能な
量子回路の深さが限られた NISQ デバイス上での長時間の時間発展
シミュレーションは困難 NISQ デバイス上での長時間の時間発展シミュレーションを可能にする,
Restarted Quantum Dynamics (RQD) と呼ばれるアルゴリズムが提案
RQD は, Fixed Input State Compiling (FISC) [22, 23] と呼ばれる
変分量子アルゴリズムを繰り返し用いる FISC とは, 量 子ビットの状態に作用するユニタリと同等の計算を行う
量子ゲートを求める変分量子アルゴリズムであった. RQD では,
FISC を用いて, 系の時間発展演子に対応する量子ゲートを NISQ で
実行可能な深さの量子ゲート に近似する. こうして, NISQ 上での
長時間の時間発展シミュレーションが可能になることが期待される RQD を用いることで, 実際の量子コンピュータ上において,
2 サイトの格子シュウィン ガーモデル の長時間の
時間発展シミュレーションを実現した. サイズの小さな系に対して,
RQD が単なるトロッター分解による時間発展シミュレーションに
比べて有用であることを実証した古典コンピュータ上で
シミュレーション不可能な程にサイズの大きな格子シュウィンガー
モデルに対 して, RQD が効率的に実行可能かを議論すべく,
粒子数保存アンザッツを用いた FISC のコスト関数の解析 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
トロッター分解に依る時間発展シミュレーションについて述べ
る. 5.3 では, RQD に依る時間発展シミュレーションについて
5.4 では, RQD に依る格子シュウィン ガーモデルの長時間発展
シミュレーションをいかにして実現したかを述べる. 5.5 では,
サイズの小さな格子 シュウィンガーモデルに対する,
トロッター分解と RQD に依る長時間発展シミュレーションの結果を述べる.
5.6 では, サイズの大きな格子シュウィンガーモデルに対して,
RQD に依る長時間発展シミュレーションが効 率的に
実行できるかについて述べる. 5.7 では,
本章で得られた結果について議論 5.2 トロッター分解
ハミルトニアン H で表される系の実時間発展を
量子コンピュータ上で行うことを考える.
量子コンピュー タ上でハミルトニアンを表現するために,
考えたい系のハミルトニアンをスピン系のハミルトニアン
Hspin へ と変換 初期状態 |ψ(0)⟩ を量子コンピュータ上で準備し,
時間発展演算子 e−iHspinT を量子ゲートに
マッピングすることができれば,
時間発展シミュレーションが可能 量子コンピュータ上 では対象となる量子ゲートを,
いくつかの基本ゲートに分解することで実装するので,
必ずしも時間発展演算 子 e−iHspinT それ自身を
量子ゲートとして実装できるとは限らない e−iHspinT をトロッター分解と呼ばれる方法で,
近似的に複数の基本ゲートに分解することを考える.
トロッター分解では, まず, トロッターステップ数 M として,
e−iHspin T = e−iHspin ∆T M と分解する そして, 時間 ∆T の時間発展演算子 e−iHspin∆T を
量子ゲートに分解することを考える. さらに, ハミルトニアン
Hspin を Hspin = Hi と分解する. ここで, 量子コンピュータ上で
e−iHi∆T が実装できるようにハミルトニ iアンを分解する 全ての j, k に対して [Hj,Hk] = 0 であれば, e−iHspin∆T =
e−iHi∆T が成り立つ. iしかしながら, 一般に [Hj,Hk] ̸= 0 (j ̸= k) であり,
このとき,−iHspin∆T −iHi∆T 2 2 = e +O (∆T) =Utrot(∆T)+O (∆T)ieが成り立つ ここで, e−iH ∆T を O (∆t) のオーダーで近似した
量子ゲートを Utrot (∆T ) := e−iHi ∆T
e−iHspinT =(e−iHspin∆T)M =(Utrot(∆T))M +O(∆T)2(5.2)
であるから,M個のUtrot(∆T)を作用させることで,
欲しかった時間発展演算子e−iHspinT をO(∆T)の精度 で,
量子コンピュータ上で実現できる トロッター分解によって, NISQ デバイス上で
時間 T = M ∆T の実時間発展シミュレーションを,
O ((∆T )) の精度で行うことを考える M = T /∆T 個の量子ゲート Utrot (∆T ) が必要となる.
トロッターステップ数 M に比例して, 必要な量子ゲートの
数が増えていく. よって, 計算可 能な量子ゲートの深さが
限られている NISQ デバイスでは, トロッター分解による
長時間の時間発展シミュi(5.1) NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
レーションの実現は難しいと言える. この問題を解決しうる,
Restarted Quantum Dynamics (RQD) と呼ばれる 変分量子アルゴリズム
5.3 Restarted Quantum Dynamics
RQD は, 4.2.2 で述べた FISC という変分量子アルゴリズムを
繰り返し用いる. FISC とは, n 量子ビットの 初期状態 |ψ0⟩ に
作用する V と同等の計算を行う量子ゲートを求める目的で,
V |ψ0⟩ = U (γ) |0⟩⊗n を満たす γ を変分的に求める
アルゴリズム FISC では,
Oglobal :=−(|0⟩⟨0|)⊗n n−1
(4.21)
(5.3) (5.4)
Olocal :=−n
I ⊗|0⟩⟨0|⊗I
1 ⊗j
⊗n−j−1
j=0
として, Cglobal (γ) = Tr [Oglobal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|],
Clocal (γ) = Tr [Olocal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] の
2 種類のコスト関数が定義 |ψ (γ)⟩ := U (γ)† V |ψ0⟩ とした.RQD について述べる. 初期状態 |ψ (0)⟩ =
W |0⟩⊗n のハミルトニアン Hspin で表される系の時間発展
シミュレーションを考える. RQD には 2 つのステップ :
(S1) 時間発展演算子に対応する量子ゲートを FISC によって
浅い量子ゲートに近似する
(S2) 近似した量子ゲートを用いて時間発展シミュレーションをする K トロッターステップごとに時間発展演算子を浅い量子ゲートに
近似することを繰り返 す. まず, FISC によって, K トロッターステップの
時間発展演算子 (Utrot (∆T))K を U(γˆ1) に近似する γˆ1 は (Utrot (∆T))KW |0⟩⊗n = U(γ1)|0⟩⊗n を満たすように
最適化されたパラメータである. ただし, FISC に用いる
量子ゲート U(γ1)†(Utrot (∆T))KW は, NISQ が計算可能な
量子ゲートの深さより浅くなけれ ばならないことに注意する こうして, 時刻 K∆T の量子状態 |ψ(K∆T)⟩ を U(γˆ1)|0⟩⊗n に
よって作り出すこ とができる. 同様に, 時刻 2K∆T の
量子状態 |ψ(2K∆T)⟩ を U(γˆ2)|0⟩⊗n によって作り出す これは, FISC によって, (Utrot (∆T))KU(γˆ1)|0⟩⊗n = U(γ2)|0⟩⊗n を
満たすように最適化されたパラメータ γ2 を求めれば よい.
この手続きを繰り返すことで, 時刻 3K∆T, 4K∆T,... における
量子状態を生成するための浅い量子 ゲート U(γˆ3), U(γˆ4), . . .
を用意することができる. そして, (S2) で, U(γˆ1), U(γˆ2), . . .
を |0⟩⊗n に作用させ ることで, 時刻 K∆T, 2K∆T,... の状態を
シミュレーションすることができる RQD の一連 の手続きをRQD において必要な量子ゲートの深さは,
シミュレーション時間に依らな い. したがって, RQD によって,
NISQ デバイス上の長時間発展シミュレーションを実現できる可能性がある. NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
(a) トロッター分解による時間発展シミュレーション.
シミュレーション時間に比例して, 必要な量子回路の深さが深くなる.
(b) RQD による時間発展シミュレーション. (S1) で時間発展演算子に
対応する量子回路を浅い回路に近似したのち, (S2) で近似回路 を
用いた時間発展シミュレーションを行う.
必要な量子回路の深さは, シミュレーション時間に依存しない. RQD を用いて格子シュウィンガーモデルと呼ばれる
モデルの時間発展シミュレーションを 行った.
5.4.1 で格子シュウィンガーモデルについて述べる.
続いて, 5.4.2 で格子シュウィンガーモ デルの時間発展演算子を
粒子数保存アンザッツと呼ばれるアンザッツで近似すること
5.4.3 でコスト関数の最適化に用いた逐次最小化アルゴリズムについて NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション 50
5.4.1 格子シュウィンガーモデル
格子ウィンガーモデルとは, 1 次元空間格子上の
量子電磁力学を記述し, 高エネルギー物理のための
量子アルゴリズムのトイモデルとしてよく用いられる
[73, 74, 75, 76, 77]. n を正の偶数として, 格子間隔 a の n サイ
トの格子ウィンガーモデルのハミルトニアン Hlat は,
n−2 2 n−2 n−1
i†iθ †−iθ ga2j†
Hlat =−2a χje jχj+1 −χj+1e jχj + 2 j=0
Lj +m (−1) χjχj (5.5) j=0
j=0
で与えられる. χj は第 j サイトの質量 m のスタッガードフェルミオンであり,
正準反交換関係
{χ†j,χk} = δjk, {χj,χk} = 0 (5.6)
を満たす. 奇数サイトの非占有状態を電子の存在に,
偶数サイトの占有状態を陽電子の存在に対応させる.
Lj と θj は, 第 j サイトと第 j + 1 サイトのリンク上の
ゲージ場とその共役運動量に対応し, 正準交換関係 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
