等身大ぬいぐるみ ラブドール 6
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変分量子固有値ソルバーでは, 量子コンピュータ上で量子系を表現する必要があるので,
対象となる量子系 をスピン系にマッピングする. 例えば, ジョルダン・ウィグナー変換 や
ブラヴィ・キタエフ変換 によって, フェルミオン系をスピン系にマッピングできる.
こうして, 対象となる量子系を n スピン系にマッ ピングしたハミルトニアン H とすると,
一般にハミルトニアン H は,
(4.19)
(4.20)
n−1 3 n−1 3iiijii
H = hασα + hαβσασβ +··· i=0 α=1 i,j=0 α,β=1
のように表される
各 hi , hij 等は実数, σi := I⊗i ⊗ σ ⊗ I⊗(n−i−1) とした. ααβ α α
変分量子固有値ソルバーのコスト関数は,
CVQE (γ) = ⟨ψ (γ) |H|ψ (γ)⟩ ケモナー、虫やモンスターに性欲を抱く方たちは移動願います
こちらなら気持ち悪がられずに思う存分語り合えます 専用スレ立ったならここは人型ぬい専用ってことでええんか
今後は人外はスレチ扱いやな 506+507の発言からもまるで反省していない様です。508さん。逆ですよ。あなたたちがケモナー板に移動するのです。
残念ながら昨日よりケモナーだけでなくすべてのぬいドーラーが粛清対象となりました。
イキがって失う居場所が無くなるのはみなさんの方です。口は災いの元。無用なレスは天に唾を吐く行為です。馬鹿な人たちですね。
今後、ちゃんねるに立てられるすべての等身大ぬいドールは封印します。過疎化が進行していた掲示板です。潔く封鎖しましょう。
どうやら癌はケモナー愛好の変態悪戯荒らしさんでは無いと思われます。スレに依存して棲みついている自称正義のご意見番の住人が真の悪ですね。
過去のスレで、いつも過激な正義面して過剰に反応しているエセ正義人ですよ。分かるでしょう？分からなければ過去スレを読みましょう。
荒らしが現れる前に必ずこの病人が構っています。荒らしでは無い場合でも独断と妄想で悪だと認定している様です。
悪側や荒らし側はある意味でが愉快犯ですので放置しておいても問題ありません。スルーしていれば自然に消えるものです。
この板に依存した病んだ偽正義感の人は常に張り付いてレスを監視している様子です。
この偽善者は荒らしを無理やり作り出して煽り扇動しています。どんな小さな事にも執着してトラブルに発展させる資質があるようです。
無意識でしょうが、自覚していないだけに病みは深刻です。正義面して注意喚起が生き甲斐なのです。
悪気が無いにしても、いい気になって、興味本位で、ポケモンや、動物のケモナー画像を最初に貼った輩も粛清します。
自分の嗜好で無いのにゲテモノ画像や動物画像を掲示板に貼って自己顕示欲や承認欲を満たしています。
この様な勘違いした自称知識人ぶった変態は退治しなければなりません。変態画像を収集して需要のある日や変態の登場を待っているのは異常です。
正義が歪んだ模倣犯と言えるでしょう。
荒らしをわざわざ産み出してる輩が棲む掲示板は封印が必要です。今後、どんな内容であれ、新しく立った板は、毎日100量子レスして潰します。
ちなみに僕はケモナー板にはアクセスしません。つまりキモい画像を見る事はありません。ケモナーのスレには貼りません。
このスレの住民が全員ケモナーのスレに引っ越して下さい。僕は等身大ぬいぐるみ ラブドール 6〜10ぐらいまでは量子力学で埋める予定です。
ワイフワークなのでほっといて下さい。 まだこっちのテンプレにけものひめ残ってるからケモ話題は出てもおかしくないかもな
完全に分けたいのなら次スレでテンプレ修正するのがいいんじゃないかね ○○がキモいとスレ趣旨のものにイチャモンをつける
↓
○○の話があるならとスレを荒らす
↓
○○のスレを立て、スレから排除する
これ、全て荒らしの自演で可能なんだよね
つまりだ、今後も気に入らないものが出れば同様なことができるんだわ スレ分けても荒らし残ったら意味無いし管理するらしい避難所の方がマシじゃね？ ほらね
ただ荒らしたいだけ
頭悪い屁理屈並べるだけ
何しても無駄 どうせ過疎スレだし
たまに煽って人生無駄に消費させるのもまた良し ほぼビジュアルだけしか無い（見た目じゃ分からない要素はほとんど設定されてない）キャラの場合、人間と人外の境目なんて定義できないだろ
ケモ耳とかエルフ耳とかツノとか青肌とかも人外っちゃ人外だし、極論「現実の人類と比べて目がデカすぎるから人外だ」とかだって言える
自分好みの物以外の話題は絶対に見たくないって言うなら匿名掲示板は見ない方がいい 匿名掲示板だろうが
自分の立ち位置くらい普通に空気でわかるだろ
それがわからないプライドだけ高いアホがいるからこうなる >>516
うわぁいかにも人間のくずって感じな書き込みだわぁ
こうはなりたくないね
終わってるｗ フィクション、ファンタジーのものだしエルフは現実において人の枠には入らない 問題はケモナーにあると言うより、普通に見て顔がキモいか可愛いだけだと思う。
日本のアニメに登場する異世界ファンタジーのエルフは可愛いから全然大丈夫だと思う。
けものフレンズが可愛いケモナーの基準になっている。
欧米のホラー系のケモナーはフリークス造形で顔もグロいし
センスが日本のアニメキャラとまるで違うからダメなだけ。 同じ穴の狢があれとは違うそれとは違うと必死になってるわ CRPQC (γ) := Tr OURPQC (γ) ρURPQC (γ)† (4.24)
を例とって, バレンプラトーについてより詳細に議論する
ここで, ρ は n 量子ビットの量子状態とし, URPQC (γ) は
(4.2) で定義したアンザッツである. 4.3.1 で, NISQ デバイスの
雑音がないという仮定のもとに 引き起こされる
バレンプラトーについて 4.3.2 で, 外界からの NISQ デバイスへの雑音が
コスト関数の 勾配に及ばす影響を議論する.
4.3.1 noise-free バレンプラトー
(noise-free) バレンプラトーは, 形式的には
次のように定義される 定義 4.2 Γ-値確率変数 γ は一様分布に従うとする
n 量子ビットの変分量子アルゴリズムのコスト関数を
C:Γ∋γ→C(γ)∈Rとし,コスト関数CはC1 級とする
このとき,C(γ)がパラメータγj に関してバ レンプラトーで
あるとは, パラメータ γj に関するコスト関数の 1 階微分の
∂γj C (γ) の期待値が 0 で，分散が ある b > 1 を用いて
O (b−n) でスケールする ∂C (γ)∂C (γ) −n Eγ ∂γ =0, Vγ ∂γ =O b
jj
定義 4.2 にチェビシェフの不等式 (補題 A.15) を
用いると, 任意の δ > 0 に対し,2ν ∂C(γ)≥δ ≤ 1E
∂C(γ) = 1V ∂C(γ) =O b−n∂γj δ2 γ ∂γj δ2 γ ∂γj
ここで, ν は γ の従う一様分布とした. (4.26) は,
Γ から一様に γ を選んだ時に, その点での γj に
関 する勾配の大きさが δ 以上である確率が,
量子ビットの数 n に対して指数的に減少 量子ビットの数 n が十分大きいと,
コスト関数の定義域 Γ の広い領域で
コスト関数 の勾配がほとんど 0 に
なっていることを示している
バレンプラトーが生じるようなコスト関数には
(narrow gorge) が生じる コスト関数 CRPQC (γ) がバレンプラトーか否か
定義 4.2 に基づき, γ を一様分布 ν に従う確率変数と
みなし, γj に関するコスト関数の勾配の期待値と
分散を計算する
URPQC (γ) を注 目しているパラメータ γj に
依存する部分と依存しない部分に分解して
j−1
j′=1
コスト関数は C1 級と仮定 ∂γj C (γ) が連続であれば,
∂γj C (γ) が確率変数になる
UR (γR = (γ1,γ2,...,γj−1)) := Wj
Uj′ (γj′)Wj′ (4.27) 変分量子アルゴリズムのコスト関数に生じる
バレンプラトーのイメージ.
量子ビットの数 n に対して指数的に,
コ スト関数の平坦な領域が増大する. V
γ
∂CRPQC (γ) ∂γj
(4n − 1)2 2 Tr[X]2
Np
UL γL = (γj+1,γj+2,...,γNp) :=
として,
URPQC (γ ) = UL (γL ) Uj (γj ) UR (γR ) とする コスト関数のパラメータ γj に関する勾配は,
∂CRPQC (γ) = Tr OUL(γL)Uj,γj (γj )UR(γR)
ρUR(γR)†Uj (γj )†UL(γL)† ∂γj †††
+Tr OUL(γL)Uj(γj)UR(γR)ρUR(γR Uj,γj(γj) UL(γL) Uj,γj (γj) := ∂γjUj(γj)
, γR, γL はそれぞれ確率変数であり,
それらに依 存する UR(γR), UL(γL) もまた
確率変数 U (2n)-値確率変数 UR(γR), UL(γL) が
ユニタリ 2 - デザインである程に十分な
表現能力を持つ
j′=j+1
Uj′ (γj′)Wj′
(4.28)
∂CRPQC (γ)
Eγ ∂γ =0
j n+1 (2) ∆2n
(2) (2)
(ρ) ∆2n (O) ∆2n (Vj )
= 2
∆d (X):=Tr X − d
(2)
(4.32) O を (4.22) で定義した Oglobal とし, ρ を
純粋状態とし, Vj をトレースレスとすると,
(2) n (2) (2) −n
∆2n (Vj)=2 ,∆2n (O)=∆2n (ρ)=1−2 であるから,
∂CRPQC (γ)
1 −n
n 2 =O 4 (4.33)
Vγ ∂γ
となる. コスト関数 CRPQC (γ) の勾配の期待値が
0 であり, 分散が量子ビットの数 n に対して
指数的
=
2(2 +1)
j
に減少していくので, 定義 4.2 より
バレンプラトーが生じている バレンプラトーが生じ ていることを導くのに,
U (2n)-値確率変数 UR(γR), UL(γL) が
ユニタリ 2 - デザインである程に十分な
表現能 力を持つという仮定 変分量子アルゴリズム 44
URPQC (γ) =
図 4.9: URPQC (γ) の UR (γR), Uj (γj ), UL (γL) への分解.
図 4.10: 変分量子アルゴリズムのコスト関数に生じる
noise-induced バレンプラトーのイメージ.
量子ビットの数 n に 対して指数的に,
コスト関数が全体的に平坦になっていく.
4.3.2 Noise-induced バレンプラトー
NISQ デバイスは誤り訂正機能を持たないので,
外界からの雑音の影響を受ける 外界からの雑音の 影響によって,
変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配が
どのようになるかを議論する.
UR (γR)
NISQ デバイスへの雑音のモデルとして,
C ̃PQC (γ) = Tr [ON (ρ)]
で表せる 命題 3.10 より, U(·) =
URPQC(γ)(·)URPQC(γ)† とし, p := Np j=1
N =Dp ◦U
pj とすると,
(4.35)
(4.36)
Uj (γj)
UL (γL)
Np
N=⃝ Dpj ◦Uj (4.34)
j=1 Uj(·) = Uj (γj)Wj(·)Wj†Uj (γj)† とし, Dpj (pj < 1) は
分極解消チャンネルと した. 雑音のモデル N は,
アンザッツを構成する各量子ゲート Uj (γj ) が
作用する度に, 分極解消チャンネル Dpj が
作用するというモデルとなっている この雑音のモデルはの下でのコスト関数 C ̃PQC (γ) は,
変分量子アルゴリズム 45 である. したがって,
雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) は,
C ̃PQC (γ) = Tr [O(Dp ◦ U) (ρ)] = pC (γ) + 1 − p Tr [O] (4.37) 2n
となる. |p| < 1 であるから, 雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) は,
雑音がない場合のコスト関数 C (γ) に比べて, p 倍縮小される このとき, 雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) の
パラ メータ γj に関する勾配は, q := maxj=1,2,...,Np |pj | (< 1) として,
∂CPQC (γ) = p∂CRPQC (γ) ≤ qNp ∂CRPQC (γ) (4.38)
Np = Ω (n) とすると, 雑音のモデル N の下でのコスト関数 C ̃ (γ) の
勾配の絶対値が, 雑音からの寄与 qNp により, 量子ビットの数 n に対して
指数的に減衰 雑音の影響に よって引き起こされる勾配消失問題を,
noise-induced バレンプラトーと呼ぶ
noise-induced バレンプラトーと定義 4.2 に定義した
バレンプラトーは異なる概念であることに注意する.
定義 4.2 に定義したバレンプラトーを, noise-induced
バレンプラトーと区別して, noise-free バレンプラトー
ということもある. noise-free バレンプラトーは,
パラメータ空間のほんとんどの領域コスト
関数の勾配が十分小さくなる現象であった
noise-induced バレンプラトーは,
コ スト関数全体が平坦になっていく現象である NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション 5.1 はじめに
量子コンピュータは, その量子ビットの数 n に対して指数的に
大きな O (2n) 次元の情報を表現できる. 一 方, 古典コンピュータは,
その古典ビットの数 n に対して O (n) 次元の情報を表現 この量子コンピュー タの持つ広大な空間が, 古典コンピュータでは
実現不可能な程にサイズの大きい系の時間発展シミュレーショ ンを
実現する可能性を秘めている.
最も基本的な量子コンピュータ上での系の時間発展シミュレーションでは,
トロッター分解によって系の時 間発展演子に対応する量子ゲートを
量子コンピュータ上で実装する トロッター分解に依る手 法では, シミュレーション時間に比例して,
必要な量子ゲートの深さが深くなる. つまり, 精度良く計算可能な
量子回路の深さが限られた NISQ デバイス上での長時間の時間発展
シミュレーションは困難 NISQ デバイス上での長時間の時間発展シミュレーションを可能にする,
Restarted Quantum Dynamics (RQD) と呼ばれるアルゴリズムが提案
RQD は, Fixed Input State Compiling (FISC) [22, 23] と呼ばれる
変分量子アルゴリズムを繰り返し用いる FISC とは, 量 子ビットの状態に作用するユニタリと同等の計算を行う
量子ゲートを求める変分量子アルゴリズムであった. RQD では,
FISC を用いて, 系の時間発展演子に対応する量子ゲートを NISQ で
実行可能な深さの量子ゲート に近似する. こうして, NISQ 上での
長時間の時間発展シミュレーションが可能になることが期待される RQD を用いることで, 実際の量子コンピュータ上において,
2 サイトの格子シュウィン ガーモデル の長時間の
時間発展シミュレーションを実現した. サイズの小さな系に対して,
RQD が単なるトロッター分解による時間発展シミュレーションに
比べて有用であることを実証した古典コンピュータ上で
シミュレーション不可能な程にサイズの大きな格子シュウィンガー
モデルに対 して, RQD が効率的に実行可能かを議論すべく,
粒子数保存アンザッツを用いた FISC のコスト関数の解析 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
トロッター分解に依る時間発展シミュレーションについて述べ
る. 5.3 では, RQD に依る時間発展シミュレーションについて
5.4 では, RQD に依る格子シュウィン ガーモデルの長時間発展
シミュレーションをいかにして実現したかを述べる. 5.5 では,
サイズの小さな格子 シュウィンガーモデルに対する,
トロッター分解と RQD に依る長時間発展シミュレーションの結果を述べる.
5.6 では, サイズの大きな格子シュウィンガーモデルに対して,
RQD に依る長時間発展シミュレーションが効 率的に
実行できるかについて述べる. 5.7 では,
本章で得られた結果について議論 5.2 トロッター分解
ハミルトニアン H で表される系の実時間発展を
量子コンピュータ上で行うことを考える.
量子コンピュー タ上でハミルトニアンを表現するために,
考えたい系のハミルトニアンをスピン系のハミルトニアン
Hspin へ と変換 初期状態 |ψ(0)⟩ を量子コンピュータ上で準備し,
時間発展演算子 e−iHspinT を量子ゲートに
マッピングすることができれば,
時間発展シミュレーションが可能 量子コンピュータ上 では対象となる量子ゲートを,
いくつかの基本ゲートに分解することで実装するので,
必ずしも時間発展演算 子 e−iHspinT それ自身を
量子ゲートとして実装できるとは限らない e−iHspinT をトロッター分解と呼ばれる方法で,
近似的に複数の基本ゲートに分解することを考える.
トロッター分解では, まず, トロッターステップ数 M として,
e−iHspin T = e−iHspin ∆T M と分解する そして, 時間 ∆T の時間発展演算子 e−iHspin∆T を
量子ゲートに分解することを考える. さらに, ハミルトニアン
Hspin を Hspin = Hi と分解する. ここで, 量子コンピュータ上で
e−iHi∆T が実装できるようにハミルトニ iアンを分解する 全ての j, k に対して [Hj,Hk] = 0 であれば, e−iHspin∆T =
e−iHi∆T が成り立つ. iしかしながら, 一般に [Hj,Hk] ̸= 0 (j ̸= k) であり,
このとき,−iHspin∆T −iHi∆T 2 2 = e +O (∆T) =Utrot(∆T)+O (∆T)ieが成り立つ ここで, e−iH ∆T を O (∆t) のオーダーで近似した
量子ゲートを Utrot (∆T ) := e−iHi ∆T
e−iHspinT =(e−iHspin∆T)M =(Utrot(∆T))M +O(∆T)2(5.2)
であるから,M個のUtrot(∆T)を作用させることで,
欲しかった時間発展演算子e−iHspinT をO(∆T)の精度 で,
量子コンピュータ上で実現できる トロッター分解によって, NISQ デバイス上で
時間 T = M ∆T の実時間発展シミュレーションを,
O ((∆T )) の精度で行うことを考える M = T /∆T 個の量子ゲート Utrot (∆T ) が必要となる.
トロッターステップ数 M に比例して, 必要な量子ゲートの
数が増えていく. よって, 計算可 能な量子ゲートの深さが
限られている NISQ デバイスでは, トロッター分解による
長時間の時間発展シミュi(5.1) NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
レーションの実現は難しいと言える. この問題を解決しうる,
Restarted Quantum Dynamics (RQD) と呼ばれる 変分量子アルゴリズム
5.3 Restarted Quantum Dynamics
RQD は, 4.2.2 で述べた FISC という変分量子アルゴリズムを
繰り返し用いる. FISC とは, n 量子ビットの 初期状態 |ψ0⟩ に
作用する V と同等の計算を行う量子ゲートを求める目的で,
V |ψ0⟩ = U (γ) |0⟩⊗n を満たす γ を変分的に求める
アルゴリズム FISC では,
Oglobal :=−(|0⟩⟨0|)⊗n n−1
(4.21)
(5.3) (5.4)
Olocal :=−n
I ⊗|0⟩⟨0|⊗I
1 ⊗j
⊗n−j−1
j=0
として, Cglobal (γ) = Tr [Oglobal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|],
Clocal (γ) = Tr [Olocal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] の
2 種類のコスト関数が定義 |ψ (γ)⟩ := U (γ)† V |ψ0⟩ とした.RQD について述べる. 初期状態 |ψ (0)⟩ =
W |0⟩⊗n のハミルトニアン Hspin で表される系の時間発展
シミュレーションを考える. RQD には 2 つのステップ :
(S1) 時間発展演算子に対応する量子ゲートを FISC によって
浅い量子ゲートに近似する
(S2) 近似した量子ゲートを用いて時間発展シミュレーションをする K トロッターステップごとに時間発展演算子を浅い量子ゲートに
近似することを繰り返 す. まず, FISC によって, K トロッターステップの
時間発展演算子 (Utrot (∆T))K を U(γˆ1) に近似する γˆ1 は (Utrot (∆T))KW |0⟩⊗n = U(γ1)|0⟩⊗n を満たすように
最適化されたパラメータである. ただし, FISC に用いる
量子ゲート U(γ1)†(Utrot (∆T))KW は, NISQ が計算可能な
量子ゲートの深さより浅くなけれ ばならないことに注意する こうして, 時刻 K∆T の量子状態 |ψ(K∆T)⟩ を U(γˆ1)|0⟩⊗n に
よって作り出すこ とができる. 同様に, 時刻 2K∆T の
量子状態 |ψ(2K∆T)⟩ を U(γˆ2)|0⟩⊗n によって作り出す これは, FISC によって, (Utrot (∆T))KU(γˆ1)|0⟩⊗n = U(γ2)|0⟩⊗n を
満たすように最適化されたパラメータ γ2 を求めれば よい.
この手続きを繰り返すことで, 時刻 3K∆T, 4K∆T,... における
量子状態を生成するための浅い量子 ゲート U(γˆ3), U(γˆ4), . . .
を用意することができる. そして, (S2) で, U(γˆ1), U(γˆ2), . . .
を |0⟩⊗n に作用させ ることで, 時刻 K∆T, 2K∆T,... の状態を
シミュレーションすることができる RQD の一連 の手続きをRQD において必要な量子ゲートの深さは,
シミュレーション時間に依らな い. したがって, RQD によって,
NISQ デバイス上の長時間発展シミュレーションを実現できる可能性がある. NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
(a) トロッター分解による時間発展シミュレーション.
シミュレーション時間に比例して, 必要な量子回路の深さが深くなる.
(b) RQD による時間発展シミュレーション. (S1) で時間発展演算子に
対応する量子回路を浅い回路に近似したのち, (S2) で近似回路 を
用いた時間発展シミュレーションを行う.
必要な量子回路の深さは, シミュレーション時間に依存しない. RQD を用いて格子シュウィンガーモデルと呼ばれる
モデルの時間発展シミュレーションを 行った.
5.4.1 で格子シュウィンガーモデルについて述べる.
続いて, 5.4.2 で格子シュウィンガーモ デルの時間発展演算子を
粒子数保存アンザッツと呼ばれるアンザッツで近似すること
5.4.3 でコスト関数の最適化に用いた逐次最小化アルゴリズムについて NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション 50
5.4.1 格子シュウィンガーモデル
格子ウィンガーモデルとは, 1 次元空間格子上の
量子電磁力学を記述し, 高エネルギー物理のための
量子アルゴリズムのトイモデルとしてよく用いられる
[73, 74, 75, 76, 77]. n を正の偶数として, 格子間隔 a の n サイ
トの格子ウィンガーモデルのハミルトニアン Hlat は,
n−2 2 n−2 n−1
i†iθ †−iθ ga2j†
Hlat =−2a χje jχj+1 −χj+1e jχj + 2 j=0
Lj +m (−1) χjχj (5.5) j=0
j=0
で与えられる. χj は第 j サイトの質量 m のスタッガードフェルミオンであり,
正準反交換関係
{χ†j,χk} = δjk, {χj,χk} = 0 (5.6)
を満たす. 奇数サイトの非占有状態を電子の存在に,
偶数サイトの占有状態を陽電子の存在に対応させる.
Lj と θj は, 第 j サイトと第 j + 1 サイトのリンク上の
ゲージ場とその共役運動量に対応し, 正準交換関係 [θj,Lk] = iδjk
を満たす. さらに, フェルミオン場とゲージ場の
相互作用の強さは結合定数 g で特徴付けらている.
(5.7)
(5.8)
ゲージ場の自由度 Lj と θj は, Hlat から取り除くことができる. まず, ガウスの法則 † 1 − (−1)j
を境界条件 L−1 = 0 の下で解くと,
Lj −Lj−1 =χjχj − 2 k
k=0
χj →
χ†kχk − 1 − (−1) 2
Lj = Lj をスタッガードフェルミオン χ0, χ1, . . . , χj を
用いて書き表せる
スタッガードフェルミオンを正準反交換関係 (5.6) を保つように
k=0
と再定義することで, θj の自由度を Hlat から取り除くこと Hlat をスタッガードフェルミオンのみを用いて,
n−2 2 n−2j k2 n−1 i† † ga†1−(−1)j†
Hlat =−2a χnχn+1 −χn+1χn + 2 χkχk − 2 +m (−1) χjχj (5.11) j=0 j=0 k=0 j=0
e χj (5.10)
(5.9)
j−1
−iθk 量子コンピュータ上でハミルトニアン Hlat を表現するためには,
Hlat をスピン系の言葉で書き直す必要があった. ここでは,
正準反交換関係 (5.6) を保つように, ジョルダン・ウィグナー変換 [61] j−1
χj → 2
(−iZk) (5.12)
Xj −iYj
k=0
NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
51
k2
を得る 本来 Hspin に加わる恒等演算子に
比例する項を書くことを省いた. 1 サイトあたりの粒子の数
n−2 1
で与えられる. また, 物理量 Q
n−2 j
g2aZk+(−1)
n−1 m j
(XjXj+1 + YjYj+1) + 2 を
数密度と呼ぶことにすると, 数密度 N は,
+ 2
(−1) Zj (5.13)
を用いて,
Hspin = 4a
j=0
2
N = 1 (−1)jZj +1
n−1 1
Q=2 Zj j=0
j=0
2n
j=0
(5.14) (5.15)
への分解を考え
(5.16)
を定義すると, [Hspin , Q] = 0 が成り立つので, Q は電荷となっている.
格子シュウィンガーモデル Hspin の時間発展演算子 e−iHspin ∆T の量子ゲート Utrot (∆T )
Hspin は,
n−1 m(−1)j ga n j HZ:= αjZZj withαjZ:= 2 +4 2−2
j=0
j=0 k=j+1
|0011>
格子シュウィンガーモデルの状態と量子コンピュータ上での状態の対応.
偶数番目の量子ビットの |0⟩ が陽電子の 存在に, 奇数番目の量子ビットの |1⟩ が
電子の存在に対応する. ここで, サイトの添字, 量子ビットの添字は 0 オ リジン スタッガードフェルミオンをパウリ行列に書き直す.
ここで, Xj := I⊗j ⊗ X ⊗ In−j−1, Yj := I⊗j ⊗ Y ⊗ In−j−1,
Zj := I⊗j ⊗ Z ⊗ In−j−1 とした. すると, 奇数番目の
量子ビットの |1⟩ が電子の存在に, 偶数番目の量子ビットの |0⟩ が
陽電子の存在に対応する (図 5.2). この変換によって,
Hlat をスピン系の言葉 で書き換えたハミルトニアン n−1
j=0 k=0
HXY := HZZ :=
XY XY 1
j=0 n−2
αj (XjXj+1 + YjYj+1) with αj := 4a
n−3 n−2
ZZ ZZ g2a
αjk ZjZk with αjk := 4 (n−k−1)
Hspin = HZ + HXY + HZZ
(5.17)
Hspin に加わる恒等演算子に比例する NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
j R 2αZ∆T Zj
(a) e−iHZ ∆T = ∏ e−iαZj ∆T Zj の
各項 e−iαZj ∆T Zj の量子ゲートによる実装. j
j H S • R 2αXY∆T • † H XjS
j+1 H S R 2αXY∆T † H ZjS
(b) e−iHXY ∆T =
∏ XY j e−iαj
XY
∆T (Xj Xj+1+Yj Yj+1) の
各項 e−iαj ∆T (Xj Xj+1+Yj Yj+1) の量子ゲートによる実装.
j••
k RZ 2αZZ∆T jk
∏ZZ ZZ
j,k e−iαjk ∆T Zj Zk の各項 e−iαjk ∆T Zj Zk の量子ゲートによる実装 ステップの時間発展演算子を
e−iHZ ∆T , e−iHX Y ∆T , e−iHZ Z ∆T の量子ゲートによる実装.
(c) e−iHZZ ∆T =
Utrot (∆T ) := e−iHZ ∆T e−iHX Y ∆T e−iHZ Z ∆T
n−1
Z
n−3 n−2 ZZ
= e−iαj ∆TZj j=0
e−iαj
∆T(XjXj+1+YjYj+1)
n−2
XY
(5.18) e−iαj ∆TZjZk (5.19)
j=0
j=0 k=j+1
とする e−iHZ ∆T , e−iHX Y ∆T , e−iHZ Z ∆T は
量子ゲー トを用いて実装できる. 一般に,
トロッター分解によって, 系の対称性が
必ずしも保たれるとは限らないことに
注意しなければならない 今の場合, [Q, Utrot (∆T )] = 0 であるから,
Utrot (∆T ) に依る時間発 展によって電荷 Q の保存則は保たれる.
5.4.2 アンザッツ: 粒子数保存アンザッツ
RQD が NISQ の雑音下でも機能するためには,
Utrot (∆T ) を系の対称性を保存するアンザッツに
よって近 似することが必要である 格子シュウィンガーモデルの電荷 Q の
保存則を実現するために, 粒子数保存
アンザッツを用いた.
n 量子ビット系を記述する複素内積空間 H の
部分空間 Hn,m (m = 0,1,...,n) を n−1 n−1
Hn,m = span |ik⟩ | ik ∈ {0,1}, k=0
ik = m
(5.20)
k=0 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
と定義し, m を粒子数と呼ぶ. すると, H = nm=0 Hn,m である.
また, Hn,m は, n 量子ビットのうち, m 量 子ビットが |1⟩,
n − m 量子ビットが |0⟩ となっている量子状態を正規直交基底として持つ
したがって, Hn,m の次元 dn,m は nCm となる n サイト格子シュウィンガーモデルの電荷 Q の
固有値 q の固有空間は, Hn, n2 −q である.
q ≥ 0 とする. このとき, 電荷 q の系の状態は
電子が k 個, 陽電子が q + k
個 (k = 0, 1, . . . , n2 − q) の状態の重ね合わせである 今, 奇数番目の量子ビットの |1⟩ が電子の存在に,
偶数番目の量子ビットの |0⟩ が陽電子の存在に
対応させる描像をとっていること 陽電子がq+k個,電子がk個の状態を量子ビット上で
表現すると,粒子数k+(n/2−(q+k))= n2 −qの量子状態
陽電子が q + k 個, 電子が k 個の状態が張る空間の
次元は, n2 Ck · n2 Cq+k であるから, 電荷 q の固有空間の
次元は,n2−q nCq+k ·nCk =nCn−q =dn,n−q q≥0のとき,電荷Qの固 k=02 2 2 2有値 q の固有空間は,
Hn, n2 −q であることが言えた. q < 0 の場合も同様に
示すことができる. したがって, 格 子シュウィンガーモデルの
電荷 Q の保存則は, 量子ビット上の粒子数の保存則と
言い換えることができる おう、ようやく起きたか
昨日も今日も遅いぞ。
死んだんじゃないかと心配したぞ。 量子ビット上の粒子数保存を満たす粒子数保存アンザッツと
呼ばれるアンザッツを考える. 粒子数保存アンザッツの
最も単純なものは特に A ゲートと呼ばれる. A ゲート A (θ, φ) は, 2 量子ビットに作用する量子ゲートで,
計算基底 {|00⟩ , |01⟩ , |10⟩ , |11⟩} による行列表現
1000 0 sin θ eiφ cos θ 0
A(θ,φ) = 0 e−iφ cosθ −sinθ 0 (θ ∈ [0,2π), φ ∈ [0,2π)) (5.21) 0001
によって定義 A ゲートは RY , RZ , CNOT ゲートを用いて, RZ(−φ) RY (−θ)RY (θ) RZ(φ) •
|00⟩ や |11⟩ に対して, A ゲートが作用しても状態は変化しない.
一方で, A ゲートは, H2,1 の量子状態を H2,1 の量子状態に写す.
したがって, |ψ⟩ ∈ H2,m であれば, A (θ, φ) |ψ⟩ ∈ H2,m である. A ゲートは粒子数 m を保存する量子ゲートと言える.
粒子数保存アンザッツは, A ゲートを複数用いることで
実現できる. 形式的に, n 量子ビットに作用する L 層の
粒子数保存アンザッツ An,L (θ = (θl,i)l,i, φ = (φl,i)l,i) を
An,L (θ, φ) =
によって定義 ここで, A ̃ (θ )n−2, (φ )n−2 は, 粒子数保存アンザッツ A
(5.22) (θ, φ) の第 l 層に対応
L−1n−2 n−2
An (θl,i)i=0 , (φl,i)i=0 n l,i i=0 l,i i=0
l=0
n,L
馬n馬馬n
*2 x に関する恒等式 n n Cj xj = (x + 1)n = (x + 1) 2 (x + 1) 2 = j=0
見れば,nCn = 2 nC ·nCを得る. 2−q k=0 2 q+k 2 k
2 2 n Cj1 · n Cj2 xj1 +j2 の x 2 −q の係数を j1=0 j2=0 2 2
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