等身大ぬいぐるみ ラブドール 6
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そして, 時間 ∆T の時間発展演算子 e−iHspin∆T を
量子ゲートに分解することを考える. さらに, ハミルトニアン
Hspin を Hspin = Hi と分解する. ここで, 量子コンピュータ上で
e−iHi∆T が実装できるようにハミルトニ iアンを分解する 全ての j, k に対して [Hj,Hk] = 0 であれば, e−iHspin∆T =
e−iHi∆T が成り立つ. iしかしながら, 一般に [Hj,Hk] ̸= 0 (j ̸= k) であり,
このとき,−iHspin∆T −iHi∆T 2 2 = e +O (∆T) =Utrot(∆T)+O (∆T)ieが成り立つ ここで, e−iH ∆T を O (∆t) のオーダーで近似した
量子ゲートを Utrot (∆T ) := e−iHi ∆T
e−iHspinT =(e−iHspin∆T)M =(Utrot(∆T))M +O(∆T)2(5.2)
であるから,M個のUtrot(∆T)を作用させることで,
欲しかった時間発展演算子e−iHspinT をO(∆T)の精度 で,
量子コンピュータ上で実現できる トロッター分解によって, NISQ デバイス上で
時間 T = M ∆T の実時間発展シミュレーションを,
O ((∆T )) の精度で行うことを考える M = T /∆T 個の量子ゲート Utrot (∆T ) が必要となる.
トロッターステップ数 M に比例して, 必要な量子ゲートの
数が増えていく. よって, 計算可 能な量子ゲートの深さが
限られている NISQ デバイスでは, トロッター分解による
長時間の時間発展シミュi(5.1) NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
レーションの実現は難しいと言える. この問題を解決しうる,
Restarted Quantum Dynamics (RQD) と呼ばれる 変分量子アルゴリズム
5.3 Restarted Quantum Dynamics
RQD は, 4.2.2 で述べた FISC という変分量子アルゴリズムを
繰り返し用いる. FISC とは, n 量子ビットの 初期状態 |ψ0⟩ に
作用する V と同等の計算を行う量子ゲートを求める目的で,
V |ψ0⟩ = U (γ) |0⟩⊗n を満たす γ を変分的に求める
アルゴリズム FISC では,
Oglobal :=−(|0⟩⟨0|)⊗n n−1
(4.21)
(5.3) (5.4)
Olocal :=−n
I ⊗|0⟩⟨0|⊗I
1 ⊗j
⊗n−j−1
j=0
として, Cglobal (γ) = Tr [Oglobal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|],
Clocal (γ) = Tr [Olocal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] の
2 種類のコスト関数が定義 |ψ (γ)⟩ := U (γ)† V |ψ0⟩ とした.RQD について述べる. 初期状態 |ψ (0)⟩ =
W |0⟩⊗n のハミルトニアン Hspin で表される系の時間発展
シミュレーションを考える. RQD には 2 つのステップ :
(S1) 時間発展演算子に対応する量子ゲートを FISC によって
浅い量子ゲートに近似する
(S2) 近似した量子ゲートを用いて時間発展シミュレーションをする K トロッターステップごとに時間発展演算子を浅い量子ゲートに
近似することを繰り返 す. まず, FISC によって, K トロッターステップの
時間発展演算子 (Utrot (∆T))K を U(γˆ1) に近似する γˆ1 は (Utrot (∆T))KW |0⟩⊗n = U(γ1)|0⟩⊗n を満たすように
最適化されたパラメータである. ただし, FISC に用いる
量子ゲート U(γ1)†(Utrot (∆T))KW は, NISQ が計算可能な
量子ゲートの深さより浅くなけれ ばならないことに注意する こうして, 時刻 K∆T の量子状態 |ψ(K∆T)⟩ を U(γˆ1)|0⟩⊗n に
よって作り出すこ とができる. 同様に, 時刻 2K∆T の
量子状態 |ψ(2K∆T)⟩ を U(γˆ2)|0⟩⊗n によって作り出す これは, FISC によって, (Utrot (∆T))KU(γˆ1)|0⟩⊗n = U(γ2)|0⟩⊗n を
満たすように最適化されたパラメータ γ2 を求めれば よい.
この手続きを繰り返すことで, 時刻 3K∆T, 4K∆T,... における
量子状態を生成するための浅い量子 ゲート U(γˆ3), U(γˆ4), . . .
を用意することができる. そして, (S2) で, U(γˆ1), U(γˆ2), . . .
を |0⟩⊗n に作用させ ることで, 時刻 K∆T, 2K∆T,... の状態を
シミュレーションすることができる RQD の一連 の手続きをRQD において必要な量子ゲートの深さは,
シミュレーション時間に依らな い. したがって, RQD によって,
NISQ デバイス上の長時間発展シミュレーションを実現できる可能性がある. NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
(a) トロッター分解による時間発展シミュレーション.
シミュレーション時間に比例して, 必要な量子回路の深さが深くなる.
(b) RQD による時間発展シミュレーション. (S1) で時間発展演算子に
対応する量子回路を浅い回路に近似したのち, (S2) で近似回路 を
用いた時間発展シミュレーションを行う.
必要な量子回路の深さは, シミュレーション時間に依存しない. RQD を用いて格子シュウィンガーモデルと呼ばれる
モデルの時間発展シミュレーションを 行った.
5.4.1 で格子シュウィンガーモデルについて述べる.
続いて, 5.4.2 で格子シュウィンガーモ デルの時間発展演算子を
粒子数保存アンザッツと呼ばれるアンザッツで近似すること
5.4.3 でコスト関数の最適化に用いた逐次最小化アルゴリズムについて NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション 50
5.4.1 格子シュウィンガーモデル
格子ウィンガーモデルとは, 1 次元空間格子上の
量子電磁力学を記述し, 高エネルギー物理のための
量子アルゴリズムのトイモデルとしてよく用いられる
[73, 74, 75, 76, 77]. n を正の偶数として, 格子間隔 a の n サイ
トの格子ウィンガーモデルのハミルトニアン Hlat は,
n−2 2 n−2 n−1
i†iθ †−iθ ga2j†
Hlat =−2a χje jχj+1 −χj+1e jχj + 2 j=0
Lj +m (−1) χjχj (5.5) j=0
j=0
で与えられる. χj は第 j サイトの質量 m のスタッガードフェルミオンであり,
正準反交換関係
{χ†j,χk} = δjk, {χj,χk} = 0 (5.6)
を満たす. 奇数サイトの非占有状態を電子の存在に,
偶数サイトの占有状態を陽電子の存在に対応させる.
Lj と θj は, 第 j サイトと第 j + 1 サイトのリンク上の
ゲージ場とその共役運動量に対応し, 正準交換関係 [θj,Lk] = iδjk
を満たす. さらに, フェルミオン場とゲージ場の
相互作用の強さは結合定数 g で特徴付けらている.
(5.7)
(5.8)
ゲージ場の自由度 Lj と θj は, Hlat から取り除くことができる. まず, ガウスの法則 † 1 − (−1)j
を境界条件 L−1 = 0 の下で解くと,
Lj −Lj−1 =χjχj − 2 k
k=0
χj →
χ†kχk − 1 − (−1) 2
Lj = Lj をスタッガードフェルミオン χ0, χ1, . . . , χj を
用いて書き表せる
スタッガードフェルミオンを正準反交換関係 (5.6) を保つように
k=0
と再定義することで, θj の自由度を Hlat から取り除くこと Hlat をスタッガードフェルミオンのみを用いて,
n−2 2 n−2j k2 n−1 i† † ga†1−(−1)j†
Hlat =−2a χnχn+1 −χn+1χn + 2 χkχk − 2 +m (−1) χjχj (5.11) j=0 j=0 k=0 j=0
e χj (5.10)
(5.9)
j−1
−iθk 量子コンピュータ上でハミルトニアン Hlat を表現するためには,
Hlat をスピン系の言葉で書き直す必要があった. ここでは,
正準反交換関係 (5.6) を保つように, ジョルダン・ウィグナー変換 [61] j−1
χj → 2
(−iZk) (5.12)
Xj −iYj
k=0
NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
51
k2
を得る 本来 Hspin に加わる恒等演算子に
比例する項を書くことを省いた. 1 サイトあたりの粒子の数
n−2 1
で与えられる. また, 物理量 Q
n−2 j
g2aZk+(−1)
n−1 m j
(XjXj+1 + YjYj+1) + 2 を
数密度と呼ぶことにすると, 数密度 N は,
+ 2
(−1) Zj (5.13)
を用いて,
Hspin = 4a
j=0
2
N = 1 (−1)jZj +1
n−1 1
Q=2 Zj j=0
j=0
2n
j=0
(5.14) (5.15)
への分解を考え
(5.16)
を定義すると, [Hspin , Q] = 0 が成り立つので, Q は電荷となっている.
格子シュウィンガーモデル Hspin の時間発展演算子 e−iHspin ∆T の量子ゲート Utrot (∆T )
Hspin は,
n−1 m(−1)j ga n j HZ:= αjZZj withαjZ:= 2 +4 2−2
j=0
j=0 k=j+1
|0011>
格子シュウィンガーモデルの状態と量子コンピュータ上での状態の対応.
偶数番目の量子ビットの |0⟩ が陽電子の 存在に, 奇数番目の量子ビットの |1⟩ が
電子の存在に対応する. ここで, サイトの添字, 量子ビットの添字は 0 オ リジン スタッガードフェルミオンをパウリ行列に書き直す.
ここで, Xj := I⊗j ⊗ X ⊗ In−j−1, Yj := I⊗j ⊗ Y ⊗ In−j−1,
Zj := I⊗j ⊗ Z ⊗ In−j−1 とした. すると, 奇数番目の
量子ビットの |1⟩ が電子の存在に, 偶数番目の量子ビットの |0⟩ が
陽電子の存在に対応する (図 5.2). この変換によって,
Hlat をスピン系の言葉 で書き換えたハミルトニアン n−1
j=0 k=0
HXY := HZZ :=
XY XY 1
j=0 n−2
αj (XjXj+1 + YjYj+1) with αj := 4a
n−3 n−2
ZZ ZZ g2a
αjk ZjZk with αjk := 4 (n−k−1)
Hspin = HZ + HXY + HZZ
(5.17)
Hspin に加わる恒等演算子に比例する NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
j R 2αZ∆T Zj
(a) e−iHZ ∆T = ∏ e−iαZj ∆T Zj の
各項 e−iαZj ∆T Zj の量子ゲートによる実装. j
j H S • R 2αXY∆T • † H XjS
j+1 H S R 2αXY∆T † H ZjS
(b) e−iHXY ∆T =
∏ XY j e−iαj
XY
∆T (Xj Xj+1+Yj Yj+1) の
各項 e−iαj ∆T (Xj Xj+1+Yj Yj+1) の量子ゲートによる実装.
j••
k RZ 2αZZ∆T jk
∏ZZ ZZ
j,k e−iαjk ∆T Zj Zk の各項 e−iαjk ∆T Zj Zk の量子ゲートによる実装 ステップの時間発展演算子を
e−iHZ ∆T , e−iHX Y ∆T , e−iHZ Z ∆T の量子ゲートによる実装.
(c) e−iHZZ ∆T =
Utrot (∆T ) := e−iHZ ∆T e−iHX Y ∆T e−iHZ Z ∆T
n−1
Z
n−3 n−2 ZZ
= e−iαj ∆TZj j=0
e−iαj
∆T(XjXj+1+YjYj+1)
n−2
XY
(5.18) e−iαj ∆TZjZk (5.19)
j=0
j=0 k=j+1
とする e−iHZ ∆T , e−iHX Y ∆T , e−iHZ Z ∆T は
量子ゲー トを用いて実装できる. 一般に,
トロッター分解によって, 系の対称性が
必ずしも保たれるとは限らないことに
注意しなければならない 今の場合, [Q, Utrot (∆T )] = 0 であるから,
Utrot (∆T ) に依る時間発 展によって電荷 Q の保存則は保たれる.
5.4.2 アンザッツ: 粒子数保存アンザッツ
RQD が NISQ の雑音下でも機能するためには,
Utrot (∆T ) を系の対称性を保存するアンザッツに
よって近 似することが必要である 格子シュウィンガーモデルの電荷 Q の
保存則を実現するために, 粒子数保存
アンザッツを用いた.
n 量子ビット系を記述する複素内積空間 H の
部分空間 Hn,m (m = 0,1,...,n) を n−1 n−1
Hn,m = span |ik⟩ | ik ∈ {0,1}, k=0
ik = m
(5.20)
k=0 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
と定義し, m を粒子数と呼ぶ. すると, H = nm=0 Hn,m である.
また, Hn,m は, n 量子ビットのうち, m 量 子ビットが |1⟩,
n − m 量子ビットが |0⟩ となっている量子状態を正規直交基底として持つ
したがって, Hn,m の次元 dn,m は nCm となる n サイト格子シュウィンガーモデルの電荷 Q の
固有値 q の固有空間は, Hn, n2 −q である.
q ≥ 0 とする. このとき, 電荷 q の系の状態は
電子が k 個, 陽電子が q + k
個 (k = 0, 1, . . . , n2 − q) の状態の重ね合わせである 今, 奇数番目の量子ビットの |1⟩ が電子の存在に,
偶数番目の量子ビットの |0⟩ が陽電子の存在に
対応させる描像をとっていること 陽電子がq+k個,電子がk個の状態を量子ビット上で
表現すると,粒子数k+(n/2−(q+k))= n2 −qの量子状態
陽電子が q + k 個, 電子が k 個の状態が張る空間の
次元は, n2 Ck · n2 Cq+k であるから, 電荷 q の固有空間の
次元は,n2−q nCq+k ·nCk =nCn−q =dn,n−q q≥0のとき,電荷Qの固 k=02 2 2 2有値 q の固有空間は,
Hn, n2 −q であることが言えた. q < 0 の場合も同様に
示すことができる. したがって, 格 子シュウィンガーモデルの
電荷 Q の保存則は, 量子ビット上の粒子数の保存則と
言い換えることができる おう、ようやく起きたか
昨日も今日も遅いぞ。
死んだんじゃないかと心配したぞ。 量子ビット上の粒子数保存を満たす粒子数保存アンザッツと
呼ばれるアンザッツを考える. 粒子数保存アンザッツの
最も単純なものは特に A ゲートと呼ばれる. A ゲート A (θ, φ) は, 2 量子ビットに作用する量子ゲートで,
計算基底 {|00⟩ , |01⟩ , |10⟩ , |11⟩} による行列表現
1000 0 sin θ eiφ cos θ 0
A(θ,φ) = 0 e−iφ cosθ −sinθ 0 (θ ∈ [0,2π), φ ∈ [0,2π)) (5.21) 0001
によって定義 A ゲートは RY , RZ , CNOT ゲートを用いて, RZ(−φ) RY (−θ)RY (θ) RZ(φ) •
|00⟩ や |11⟩ に対して, A ゲートが作用しても状態は変化しない.
一方で, A ゲートは, H2,1 の量子状態を H2,1 の量子状態に写す.
したがって, |ψ⟩ ∈ H2,m であれば, A (θ, φ) |ψ⟩ ∈ H2,m である. A ゲートは粒子数 m を保存する量子ゲートと言える.
粒子数保存アンザッツは, A ゲートを複数用いることで
実現できる. 形式的に, n 量子ビットに作用する L 層の
粒子数保存アンザッツ An,L (θ = (θl,i)l,i, φ = (φl,i)l,i) を
An,L (θ, φ) =
によって定義 ここで, A ̃ (θ )n−2, (φ )n−2 は, 粒子数保存アンザッツ A
(5.22) (θ, φ) の第 l 層に対応
L−1n−2 n−2
An (θl,i)i=0 , (φl,i)i=0 n l,i i=0 l,i i=0
l=0
n,L
馬n馬馬n
*2 x に関する恒等式 n n Cj xj = (x + 1)n = (x + 1) 2 (x + 1) 2 = j=0
見れば,nCn = 2 nC ·nCを得る. 2−q k=0 2 q+k 2 k
2 2 n Cj1 · n Cj2 xj1 +j2 の x 2 −q の係数を j1=0 j2=0 2 2
n −q 夜勤明けとかなら無理してやらなくてもいいんだぞ
煽りに反応して身体壊しちゃなんにもならん
ここのわずかしかいない住人にとってオマエなんて所詮赤の他人なんだから、そんなのに踊らされる必要はない
辛いならやめてしまっても誰もオマエを責められない
義務感でやってるならそれこそスクリプト使えよ
結果は同じなんだから無理をするな
ほんの少しでも関わったオマエが心や身体を損ねたらほんの少しでも心が痛むからな 在日朝鮮人の職工で夜勤明けで徹夜で貼ってるから大変だよ。工場でも差別されてるし毎日生き地獄。
生まれ付き結核だしコロナの後遺症も残ってる。知恵も遅れてるかも。もう直ぐ死ぬと思う。
指が2本欠損してるけど、保険証が無いから手帳の申請も病院にも行けない。
赤線の私生児だったから誰の子か分からない汚れた子扱いで親が出生届を出して無かったんだ。
学校も行ってないよ。ボクは住民票も年齢も無いんだよ。信じられるかい？ ずっと全存在が自称なんだ。
親の顔はどちらも知らない。ずっと放浪して誰かのフリをして生きてきたんだよ。
今はこの板だけが生きる糧。ぬいぐるみを見ていると心が癒されるよね。荒らす奴は退治するんだ。
家も無いからネカフェで生活してる。拾ったPCやスマホを秋葉原で修理して使ってるんだ。
手先は器用なんだ。ハンダが必需品だよ。SNSだけが自分の世界なんだ。差別が無いからね。
誰でも英雄や賢者や勇者やヒーローになれるんだ。善も悪も背中合わせだよね。毎日戦慄してるよw
痛むココロは病みの栄養素でご馳走だよね。他者の苦しみは自己の歓喜に変換される。
嫌がるココロと病んだ依存精神は美味しく食べて不幸を超越しないと弥勒になれない。
神になるには みんなと心中して この世から消滅した後に 瘡蓋になって ぽろりと 堕ちたら いいんだ。 ネカフェは身分証無いと会員証作れないぞ
それを踏まえてもう一回やろうか？ 全体的に悪くないが、ネカフェならPCあるからな、自前のは要らないんだ
ちょっと詰めが甘いが、ちょっとずつ頑張ろうか なんか頭もだけど人生経験も足りなそうな文章。とりあえず乙 それと、乳幼児期をどのように生き延びたかを考えたらもう少し良くなると思う
指欠損の件も、何かエピソードを添えたらもう少し興味をひけるかな
職場でも差別されてるのはリアリティあって良かった 彼らは少しでも下に見える者にはそういう対応するからね
まぁ、荒削りだけど悪くないと思うよ 終盤のポエムは要らなかったかな
入れたいなら、もっと酒鬼薔薇くらいの拙さと中２全開の怪文でイカれたキャラをアピールできないと弱いかな
頭が悪いのに頭が良いと周りに思わせたいような絶妙な感じを出せればいいんだけど、なかなか難しいよね
それは追々出来るようになればいいから、今はまずリアリティのあるキャラをつくるところから始めよう 気をつけるのは、上手い文章、凝った表現などは逆にリアリティを損なうというところ
文章下手が精一杯上手く書こうとしたような匙加減の文章を狙って書ければ言う事無し
馬鹿丸出しだとわざとらしさが出るからね
今後に期待 （初コメ）貼ってる人は今まで何の意見もレスしておりません。ただ貼るだけです。何か意見を書いてる人は便乗している成りすましの別人です。 読点の使い方が変なやつに文章の指図なんかされとうないわな
なんか3レスに分けてるしガイジ過ぎる >>517
ぬいドール自作する奴も居た東方キャラも、設定上は大半が人外なんだよね この荒らし、頭が悪いからキャラ設定とかを理解するだけの知能が無くて
「人間に見えるキャラは人間でいいんだよ」とか
おじいちゃんっぽい事を言い出すと思う NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展
シミュレーション 54 し, n−1個のAゲートを用いて
()
A θl,0,φl,0 ()
A θl,1,φl,1 .
A
()
θl,n/2 , φl,n/2
. ..
()
A θl,n−2 , φl,n−2
A
()
θl,n/2−1 , φl,n/2−1
のように分解 4 量子ビットに作用する 3 層の粒子数保存アンザッツ An=4,L=3 (θ, φ) は
粒子数保存アンザッツ An,L (θ, φ) は, 粒子数を保存する A ゲートのみから
構成されているので, 粒 子数保存アンザッツ An,L (θ, φ) もまた粒子数を
保存する. つまり, |ψ⟩ ∈ Hn,m ならば, A (θ, φ) |ψ⟩ ∈ Hn,m である 粒子数 m の状態に粒子数保存アンザッツを作用させることで,
パラメータ付きの粒子数 m の状態を作り出すことができる.
そこで, 量子回路の初期状態 |0⟩⊗n に作用することで,
粒子数 m となる量子状態を作り出すゲートを考える.
量子ゲート Xn,m n−1
A (θ0,0, φ0,0)
A (θ1,0, φ1,0)
A (θ0,2, φ0,2)
A (θ1,2, φ1,2)
A (θ2,2, φ2,2)
A (θ0,1, φ0,1)
A (θ1,1, φ1,1)
A (θ2,1, φ2,1)
στj (5.23) とする. τj ∈ {0, 1} は, n−1 τj = m を満たす
Xn,m |0⟩⊗n は粒子数 m の量子状態
Xn,m =
j=0
となる An,L (θ, φ) Xn,m |0⟩⊗n は, 粒子数 m の
パラメータ付きの量子状態を表現できる.
さて, n サイト格子シュウィンガーモデルの
初期状態 |ψ (0)⟩ が, Q |ψ (0)⟩ = q |ψ (0)⟩ を満たすとすると,
初期状態は固有値 q の固有空間の元,
つまり |ψ (0)⟩ ∈ Hn, n2 −q 格子シュウィンガーモデルは電荷 Q を保存するので,
時刻 t > 0 の状態 |ψ(t)⟩ もまた固有値 q の固有ベクトルで,
|ψ (t)⟩ ∈ Hn, n2 −q を満た す. よって, |ψ(t)⟩ を, ある θˆ と φˆ を
用いて An,L(θˆ, φˆ)Xn, n2 −q |0⟩⊗n に近似 An,L(θ, φ)Xn, n2 −q を RQD に用いるアンザッツとすれば良い.
5.4.3 オプティマイザー: 逐次最小化アルゴリズム FISC のコスト関数の
最小化には逐次最小化アルゴリズムを用いた. 逐次最小化アルゴリズム は,
収束が早く, 統計誤差に対して剛健な最適化アルゴリズムである
また, 定理 4.1 で示したように, 逐 次最小化アルゴリズムは
雑音に対して剛健 j=0
A (θ2,0, φ2,0)
NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
本論文で用いた逐次最小化アルゴリズムの詳細について述べる.
初期状態 |ψ (0)⟩ が電荷 q の固有状態で ある, n サイトの
格子シュウィンガーモデルの時間発展を RQD によって
シミュレーションすること 時刻 sK∆T の状態 |ψ(sK∆T )⟩ は, 既に用意できているとする.
このとき, RQD によって, 時刻 (s + 1)K∆T の状態 |ψ((s + 1)K∆T )⟩ を
作り出すには,
An,L (θs+1, φs+1) Xn, n2 −q |0⟩⊗n = (Utrot (∆T ))K |ψ((sK∆T ))⟩
(5.24) を満たす (θs+1, φs+1) を求める必要がある 以下 θs+1, φs+1 をそれぞれ θ, φ と書きかえる
と, これは, FISC のコスト関数
2
第 t イテレーションにおけるパラメータの値を
(θ(t) = (θ(t))l,i, φ(t) = (φ(t))l,i) とする.
このとき, コスト l,i l,i
関数のパラメータ (θ, φ) のある 1 つのパラメータ
γl,i (γ ∈ {θ, φ}) に注目する γl,i 以外のパラ メータの値を γ(t) に
固定したコスト関数を
C (θ,φ) = Tr X† n An,L (θ,φ)† |ψ(sK∆T)⟩⟨ψ(sK∆T)|An,L (θ,φ)Xn,n −qO (5.25)
n, 2 −q
を最小化することで実現 O は Oglobal または Olocal とした.
C(t) (γl,i):= γ,l,i
(forall(l′,i′))
(forall(l′,i′)) (γ ) は, 5 つの実数 a(t), a(t), . . . , a(t) を用いて,
(5.26)
とする. このとき, C(t)
γ,l,i l,i
1 2
5
C(θ,φ)|θ′
l ,i
′=θ(t) l′,i′
(for(l′,i′)̸=(l,i)), φ′
l ,i
′=φ(t) l′,i′
(γ=θ) (γ=φ)
C(θ,φ)|φ′
l ,i
′=φ(t) l′,i′
(for(l′,i′)̸=(l,i)), θ′
l ,i
′=θ(t) l′,i′
C(t) (γ ) = a(t) sin2γ γ,l,i l,i 1
+ a(t) cos2γ l,i 2
+ a(t) sinγ + a(t) cosγ l,i 3 l,i 4
+ a(t) l,i 5
(5.27) と表せる 5 つの実数 a(t),a(t),...,a(t) は, C(t) (γ ) の
独立な 5 点 γ ,γ ,...,γ の値 C(t) (γ ),
C(t) γ ,l,i
(γ2) , . . . ,C(t) γ ,l,i
1 2 5 γ,l,i l,i 1 2 5 (γ5) を推定することで
求めることができる 実際, 連立方程式
γ,l,i 1
(5.28)
を解けば良い.
ここで, C(t) γ ,l,i
(γ ) 5
(γ1) , C(t) γ ,l,i
sin2γ5
(γ2) , . . . , C(t) (γ5) の推定には,
量子回路の測定回数が有限です (t)
Cγ ,l,i (γ1 ) sin 2γ1
(t)
Cγ ,l,i (γ2 ) sin 2γ2
C(t) (γ ) = sin 2γ γ,l,i 3 3
C (t) (γ4 ) sin 2γ4 γ,l,i
cos 2γ1 cos 2γ2
γ ,l,i
sin γ1 sin γ2
cos γ1 cos γ2
(t) 1a1
(t) 1 a2
1 a(t) 3 1 a(t)
5 C(t) γ,l,i
4 1 a(t)
cos 2γ cos 2γ4 cos 2γ5
sin γ sin γ4 sin γ5
cos γ cos γ4 cos γ5
とによる統計誤差や
外界からの雑音の影響が
あることを注意 C (t) (γl,i ) の関数形を定め γ ,l,i
ることができた. C(t) (γl,i) の
定義域は有限区間 [0, 2π) なので,
力任せ探索 (brute force)*3によって
その正確 γ ,l,iな最小点を効率的に
求めることができる. この力任せ探索による C(t) (γl,i) の
最小化の手続きを, 全てのパラ γ ,l,iメータに
注目して何度も繰り返すことで,
コスト関数 C (θ, φ) の最小点を
探索することができる ここで述べ た逐次最小化アルゴリズムの
疑似コードを図 5.4 に示した.
*3 力任せ探索とは, コスト関数の
定義域をグリッド上に分割し,
グリッドの各点における
コスト関数の値を全て計算することで,
コス ト関数の最小点を求める手法のこと.
3
3
3 NISQ デバイスの制約を超えた
長時間発展シミュレーション 56
Algorithm 3 粒子数保存アンザッツを用いた
RQD における逐次最小化アルゴリズム
Require: コスト関数 C (θ, φ) は
(5.25) で与えられたものとする 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
10: 11: 12: 13: 14:
パラメータの初期値 (θ(0) = (θ(0))l,i, φ(0) = (φ(0))l,i) を定める. l,i l,i
while t < tmax do
for (γ,l,i) ∈ {θ,φ} × {0,1,...,L − 1} × {0,1,...,n − 2} do
for (γ′,l′,i′) ∈ {θ,φ} × {0,1,...,L − 1} × {0,1,...,n − 2} do if (γ,l,i) = (γ′,l′,i′) then
else
(t+1) γl′,i′
end if end for
t←t+1 end for
end while
← γl′,i′ 独立な 5 点における C(t) (γ γ,l,i l,i
) の値を推定し, (5.27) の a(t), a(t), . . . , a(t) を求める.
γ(t+1) ← arg min a(t) sin2γ
+ a(t) cos2γ l,i 2
+ a(t) sinγ l,i 3
+ a(t) cosγ l,i 4
l,i
γl,i (t)
1
1 2
5
+ a(t)
l,i 5 粒子数保存アンザッツを用いた RQD における逐次最小化
アルゴリズムの疑似コード.
5.5 時間発展シミュレーションの結果
5.5.1 シミュレータを用いた 4 サイト
格子シュウィンガーモデルの時間発展シミュレーション 初期状態 |ψ(0)⟩ が真空 (全てのサイト上に電子, 陽電子が存在しない状態) の
4 サイトの格子シュウィン ガーモデルの時間発展シミュレーションを,
トロッター分解と RQD の 2 通りの方法 シュウィンガー モデルのモデルパラメータは, a = 0.5, g = 2, m = 0.5 とし,
1 トロッターステップの時間間隔 ∆T = π/30 とした. RQD において,
コスト関数は Cglobal あるいは Clocal を用いて, K = 1 トロッターステップの
時間発 展演算子をアンザッツ A4,2(θ, φ)(X ⊗ I)⊗2 (図 5.6a) 量子計算部分において,
(a) 1 量子回路あたりの測定回数 ∞ の雑音なし
量子コンピュータシミュレータ (b) 1 量子回路あたりの
測定回数 106 の雑音なし量子コンピュータシミュレータ (c)
1 量子回路あたりの測定回数 106 の雑音あり
量子コンピュータシミュレータ NISQ デバイスの制約を超えた
長時間発展シミュレーション 57
を用いて, 比較を行った. (c) で用いた
雑音のモデルについて
第 sK トロッターステップにおいて,
時間発展演算子を
どの程度近似できているかを示している トロッター分解の場合, 忠実度 F(e−iHspinsK∆T |ψ(0)⟩,
(Utrot (∆T))sK |ψ(0)⟩) を示している. RQD の場合,
量子計算部分に (a), (b), (c) を用いた際に得られた
(Utrot (∆T ))sK の近似 A4,2 (θˆs , φˆs )(X ⊗ I )⊗2 に 対して,
忠実度 F(e−HspinsK∆T |ψ(0)⟩,A4,2(θˆs,φˆs)(X ⊗ I)⊗2 |0⟩⊗4) 各手法 を用いた際に得られた系の数密度の時間発展
トロッター分解による時間発展演算子の近似の誤差は
高々 0.003 となっている. また, 雑音のない場合であれば,
1 量子回路あたりの測定回数が有限回であったとしても,
RQD による時間発展演算 子の近似の誤差は
高々 0.004 となっている 雑音のない場合であれば, RQD の (S1) における回路の
近似を精度良く行うことができていることを示している.
一方, 雑音の影響のもとで, 1 量子回路あたりの測定回数が
有限回であると, RQD による時間発展演算子の近似の誤差は
0.01 程度まで大き くなる. 雑音と統計誤差の影響で, 回路の近似の精度が
悪くなることを示している. さらに, 回路の近 似を
繰り返すごとに, その近似の精度が悪くなっていく
よれば, 雑音の影響がなければ, トロッター分解,
RQD ともに理論値に沿った時間発展を示し ている. しかしながら, 雑音の影響の下で, トロッター分解を
用いた時間発展は, 時刻 > π/5 の領域で理論値 から
大幅にずれていく. これは, 用いる量子ゲートの数が
シミュレーション時間に比例する分, 雑音の影響を
大 きく受けるからである 一方で, RQD の場合, 時刻 > π/5 の領域であっても,
定性的には理論値に沿った結果 を得られている.
5.5.2 実機を用いた 2 サイト格子シュウィンガーモデルの
時間発展シミュレーション初期状態 |ψ(0)⟩ が
真空 (全てのサイト上に電子, 陽電子が存在しない状態) の
2 サイトの格子シュウィン ガーモデルの時間発展シミュレーションを,
トロッター分解と RQD の 2 通りの方法で行った. シュウィ ンガーモデルのモデルパラメータは,
a = 0.5, g = 2, m = 0.5 とした. 1 トロッターステップの
時間間隔 ∆T = 3π/255 とした. RQD において,
コスト関数は Cglobal を用いて, K = 3 トロッターステップを
ア ンザッツ A2,1(θ, φ)(X ⊗ I) (図 5.6b) に近似した. 量子計算部分において, IBM Quantum Falcon Processor の
1 つである ibm lagos という量子コンピュータを用いた
ここで, 1 つの量子回路あたりの測 定回数は 819200
時刻 0.6π の時間発展をシミュレーションするのに用いた
量子回路の深さとゲート数を示した. 実際に用いた量子回路のトロッター分解による手法で用いた
715 個の 1 量子ビットゲー ト, 102 個の 2 量子ビットゲート
からなる量子回路を, RQD によって 11 個の 1 量子ビットゲート,
3 個の 2 量 子ビットゲートからなる量子回路に圧縮 格子シュウィンガーモデルの数密度の期待値の時間発展
シミュレーションの結果を示した. ト ロッター分解に依る
方法では, シミュレーション時間が長くなるにつれて
数密度が 0.5 に漸近 NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーション
(a) 1 量子回路あたりの測定回数 ∞ の雑 (b)
1 量子回路あたりの測定回数 106 の (c)
1 量子回路あたりの測定回数 106 の 音なし
量子コンピュータシミュレー 雑音なし
量子コンピュータシミュ 雑音あり
量子コンピュータシミュレー タを
用いた場合 レータを用いた場合
タを用いた場合 量子シミュレータを用いた 4 サイト格子
シュウィンガーモデルの時間発展.
トロッター分解による手法 と
RQD による手法を比較
時間発展演算子の近似誤差 オレンジ色の点は, (Utrot (∆T))sK |ψ(0)⟩ と
e−iHspinsK∆T |ψ(0)⟩ の忠実度を表している.
緑色, 紫色の点は, RQD によって 求めた
(Utrot (∆T))sK |ψ(0)⟩ の近似 A4,2(θˆ,φˆ)(X ⊗ I)
⊗2 |0⟩⊗4 と e−iHspinsK∆T |ψ(0)⟩ の忠実度
数密度の時間発展を示している. 青い線はハミルトニアン Hspin の厳密対角化により
求まる理論値を 示している. オレンジ色の点は
トロッター分解を用いた場合, 緑色, 紫色の点は
RQD を用いた場合に対応してい る ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
