前スレ 等身大ぬいぐるみ ラブドール https://mercury.bbspink.com/test/read.cgi/lovedoll/1560683103/ 等身大ぬいぐるみ ラブドール2 https://mercury.bbspink.com/test/read.cgi/lovedoll/1615779834/ 等身大ぬいぐるみ ラブドール 3 https://mercury.bbspink.com/test/read.cgi/lovedoll/1638664870/ 等身大ぬいぐるみ ラブドール 4 https://mercury.bbspink.com/test/read.cgi/lovedoll/1659966720/ 等身大ぬいぐるみ ラブドール 5 https://mercury.bbspink.com/test/read.cgi/lovedoll/1707980838/0780名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:14:07.79ID:??? 変分量子アルゴリズムと呼ばれる,一般的な枠組みとして捉えることができる 変分量子 アルゴリズムは, NISQ デバイスを用いた最も代表的なアルゴリズムの一つで, 数理最適化問題つまり関数の 最小化問題を NISQ デバイスと古典コンピュータを ハイブリッドに用いて解く 0781名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:14:26.66ID:??? 量子ゲートのことをアンザッツという 変分量子アルゴリズムの特徴は, 量子コンピュータ上で評価した コスト関数の値や その勾配の情報をもとに, 古典コンピュータを用いてパラメータ更新を行うことで, コスト 関数の最小点を探索 0782名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:14:43.78ID:??? NISQ デバイスの制約上, トロッター分解による長時間発展シミュレーションは 困難である この問題を解決しうる変分量子アルゴリズムが RQD であった. RQD では, 物理系の時間発展演 算子に対応する量子ゲートと NISQ デバイス上で 計算可能な浅いアンザッツとの差をコスト関数として表現 する 関数を最小化することで, 時間発展演算子に対応する量子ゲート 0783名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:14:56.75ID:??? 高エネルギー物理のための量子アルゴリズムのトイモデルとしてよく用いられ る 格子シュウィンガーモデルを例にとった RQD によって, サイズの小さな系に対して, NISQ デバイスの制約を超えた 長時間発展シミュレーションを実際の量子コンピュータ 0784名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:15:19.18ID:??? 時間発展演算子に対応する量子ゲートを, 格子シュウィンガーモデル の 電荷保存則を必ず満たすような粒子数保存アンザッツと呼ばれる アンザッツに近似をした. 系の対称性 を満たすように 近似量子ゲートを設計することで, NISQ デバイスの雑音の影響を緩和できる 0785名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:15:32.34ID:??? 時間発展演算子に対応する量子ゲートと粒子数保存アンザッツと の差を 表現するコスト関数の最小化には, 雑音に対して剛健な逐次最小化アルゴリズムを用いた 逐次最 小化アルゴリズムの雑音に対する剛健性 0786名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:16:04.36ID:??? アルゴリズムが効率的に実行可能か否かを明らかそのために, 同アルゴリズムで最小化したコスト関数の解析的な性質を詳細に調べた 粒子数保存ア ンザッツを用いた変分量子アルゴリズムのコスト関数の解析は, 本論文によって初めて為された 0787名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:16:18.59ID:??? 変分量子アルゴリズムのコスト関数の一般的な性質 変分量子アルゴリズムの実現において, コスト関数の最適化に要する計算量が ボトルネックとなる 変分量子アルゴリズムのスケラービリティの理解のためには, コスト関数の性質を理解することが 重要 0788名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:16:46.41ID:??? 量子コンピュータの計算原理の理解に必要な有限次元の量子論について 量子回路と呼ばれる量子コンピュータの計算モデル 変分量子アルゴリズムにつ いて NISQ デバイスの制約を超えた長時間発展シミュレーションについて 変分量子アルゴリズムのコスト関数の一般的な性質 0789名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:16:58.77ID:??? 有限次元の量子論の線型空間の次元は有限 量子論を記述するのに必要な言葉の準備と 量子論の出発点となる公理について 密度演算子という演 算子が量子系の状態を記述すること CPTP 写像という線型写像が量子系の時間発展を記 述する POVM という演算子の集合が量子系の測定を記述 0790名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:17:18.41ID:??? 2.1.1 線型空間 構造を持たない集合の中に加法とスカラー倍という演算 定義 2.1 (線型空間 [40]) 空でない集合 V が以下の 2 つの条件を満たすとき, V は K 上線型空間であるとい う. 特に, C 上線型空間を複素線型空間, R 上線型空間を実線型空間 0791名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:17:34.30ID:??? 線型空間の中に, 長さや角度の概念に対応する内積という演算を取り入れる. 定義 2.3 (内積空間 [40]) K 上線型空間 V の任意の 2 つの元 |ψ⟩, |φ⟩ に対して, (|ψ⟩ , |φ⟩) と書かれる K の 元を対応させる内積と呼ばれる演算が存在するときに, V を内積空間という 0792名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:17:47.08ID:??? 内積空間 V のベクトル |ψ⟩, |φ⟩ が ⟨ψ|φ⟩ = 0 を満たすとき, |ψ⟩, |φ⟩ は直交する また, 内積空間 V には自然なノルム ‖|ψ⟩‖ := ⟨ψ|ψ⟩ が定義でき る ノルムが 1 のベクトルを単位 0793名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:18:06.65ID:??? 内積空間の互いに直交する単位ベクトルから成る基底を正規直交基底 定義 2.4 (正規直交基底 ) K 上内積空間 V の基底 {|ei⟩}dim V が, を満たすとき, {|ei ⟩}dim V は V の正規直交基底であるという. i=1 i=1 ⟨ei|ej⟩ = δij (i,j = 1,2,...,dimV ) (2.1)01 0794名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:18:18.42ID:??? 有限次元の量子論 2.1.3 凸集合とアフィン写像 実線型空間の部分集合のうち, 凹みのないような 凸集合と呼ばれる集合を定義する. 定義 2.5 (凸集合) 実線型空間 V の部封ｪ集合 W が, 任意の w1, w2 ∈ W と p ∈ [0, 1] に対して, pw1 +(1−p)w2 ∈W (2.2) を満たすとき, W を凸集合 0795名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:18:36.06ID:??? 定義 2.6 (アフィン写像 [40]) V , W を凸集合とする f : V → W が, 任意の v1, v2 ∈ V と p ∈ [0, 1] に対して, f(pv1 +(1−p)v2)=pf(v1)+(1−p)f(v2) を満たすとき, f をアフィン写像3651 0796名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:18:49.16ID:??? 線型空間から線型空間への写像として, 線型写像を定義 定義 2.7 (線型写像 [40]) V , V ′ は K 上線型空間 f : V → V ′ が, (1) 任意の|ψ⟩,|φ⟩∈V に対して, f(|ψ⟩+|φ⟩)=f(|ψ⟩)+f(|φ⟩) 0797名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:19:25.07ID:??? L (H) の線型演算子を特徴付ける固有値とトレースという量を定義 定義 2.8 (固有値 [40]) A∈L(H)があるa∈Cと零元でない|ψ⟩∈Hに対して, A |ψ⟩ = a |ψ⟩ (2.4)を満たすとき, a を A の固有値といい, |ψ⟩ を 固有値 a の固有 0798名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:19:40.78ID:??? 有限次元の量子論 11 定義 2.9 (トレース [40]) H の正規直交基底 {|ei ⟩}dim H H 上のトレース Tr : L (H) → C を,TrA = で定義 Tr A は正規直交基底の選び方に依らない. 恒等演算子, 随伴演算子, 正規演算子と呼ばれる線型演算子を定義 0799名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:20:09.72ID:??? 定義 2.10 (恒等演算子 [40]) A ∈ L(H) が任意の |ψ⟩ ∈ H に対して A|ψ⟩ = |ψ⟩ を満たすとき, A を恒等演 i=1 dim H⟨ei|A|ei⟩ (2.5) i=1 算子と1875 0800名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:20:30.41ID:??? 定義 2.11 (随伴演算子 [40]) A ∈ L (H1, H2) このとき, 任意の |ψ⟩ ∈ H1, |φ⟩ ∈ H2 に対して, (|φ⟩,A|ψ⟩) = (B|φ⟩,|ψ⟩) を満たす B ∈ L (H2, H1) を A の随伴演算子659 0801名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:20:43.14ID:??? 定義 2.12 (正規演算子 [40]) A ∈ L (H) が AA† = A†A を満たすとき, A を正規演算子 正規演算子は, スペクトル分解と呼ばれる分解 0802名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:21:06.50ID:??? 定理 2.13 (スペクトル分解 [40]) 任意の正規演算子 A ∈ L (H) は,PaPa′ =δaa′Paを満たす. 正規演算子のうち, 量子論において重要な役割を果たす演算子を定義 0803名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:21:29.22ID:??? 定義 2.14 (正規演算子の例 A∈L(H)が任意の|ψ⟩∈Hに対して⟨ψ|A|ψ⟩≥0を満たすとき, Aを正値演算子といい,A≥0 また, A,B ∈ L(H) に対して, A − B が正値演算子であるとき, A ≥ B 0804名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:21:44.12ID:??? A ∈ L (H) が AA† = IH を満たすとき, A をユニタリ演算子という A ∈ L (H) が A = A† を満たすとき, A をエルミート演算子という P ∈ L (H) が P 2 = P = P † を満たすとき, P を射影演算子365 0805名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:22:03.21ID:??? 線型写像全体の集合 L (V, V ′) に自然な加法とスカラー倍の演算を考えることで, L (V, V ′) も線型空間をな す. したがって, 線型写像全体の集合から 線型写像全体の集合への線型写像が定義6548 0806名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:22:23.11ID:??? 有限次元の量子論 12 定義 2.15 (正写像, n-正写像, CP 写像, CPTP 写像 [40]) E : L (H1 ) → L (H2 ) を線型写像とする. (1) E が正値演算子を正値演算子に写すとき, E を正写像という. (2) In をL(Cn)上の恒等写像として,E⊗In:L(H1)⊗L(Cn)→L(H2)⊗L(Cn)が正写像であるとき, E は n-正写像という. (3) E が任意の n ∈ N に対して n-正写像であるとき, E は CP 写像であるという. 特にトレースを保存する CP 写像を CPTP 写像という. 次の定理で述べるように, CPTP 写像には Kraus 表現と呼ばれる記述の方法が知られており, 量子コンピュータ上の雑音の記述154 0807名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:22:36.53ID:??? 定理 2.16 (Kraus 表現 [40]) 線型写像 E : L (H1) → L (H2) に対して, 以下は同値. (1) (2) 2.1.5 E が CPTP 写像である. lk=1 Vk†Vk = IH1 を満たす l ≤ dimH1 dimH2 個の線型演算子 Vk : H1 → H2 (k = 1,2,...,l) が あって, 任意の A ∈ L (H1) に対して, (2.8) E (A) = と表せる. 各 Vk : H1 → H2 のことを Kraus 演算子 0808名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:22:51.12ID:??? 2 つの線型空間を用いて, テンソル積空間と呼ばれる新たな線型空間を作り出す. 定義 2.17 (テンソル積空間 [41]) V1, V2, V を K 上線型空間とする. F : V1 × V2 → V が次の 2 つの条件を満たすとする. (1) 任意の |ψ1⟩,|ψ2⟩ ∈ V1, |φ1⟩,|φ2⟩ ∈ V2, a,b ∈ K に対して, F (a|ψ1⟩ + b|ψ2⟩,|φ1⟩) = aF (|ψ1⟩,|φ1⟩) + bF (|ψ2⟩,|φ1⟩) F (|ψ1⟩,a|φ1⟩ + b|φ2⟩) = aF (|ψ1⟩,|φ1⟩) + bF (|ψ1⟩,|φ2⟩) (2) V1 の基底 {|ei⟩}dim V1 , V2 の基底 {|fi⟩}dim V2 に対して, {F (|ei⟩ , |fj ⟩)} i=1 i=1 i=1,2,...,dim V1; (2.9) (2.10) がV の基底6847 0809名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:23:14.44ID:??? V を V1, V2 のテンソル積空間と呼び, V1 ⊗ V2 と書く. さらに, F (|ψ⟩ , |φ⟩) を |ψ⟩ ⊗ |φ⟩ 定義 2.17 と同様に, 3 つ以上の線型空間から テンソル積空間を作り出す 線型空間 V1, V2, V3 から, テンソル積空間 V1 ⊗ V2 ⊗ V3 を作り出せる 特に, n 個の線型空間 V から作り出せるテンソル積l k=1 VkAVk† j=1,2,...,dim V2214 0810名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:23:28.77ID:??? 有限次元の量子論 13 空間を V ⊗n 2 つの内積空間を用いて, 内積を備えたテンソル積空間を作り出す. 定義 2.18 (テンソル積ヒルベルト空間 [41]) H1, H2 を複素内積空間とし, その基底をそれぞれ {|ei⟩}dim H1 , i=1 {|fi⟩}dimH2 とする.このとき,テンソル積空間H1⊗H2の内積を,|ψ⟩=dimH1dimH2ψij|ei⟩⊗|fj⟩, i=1 i=1 j=1 |φ⟩=dimH1 dimH2 φij|ei⟩⊗|fj⟩に対して, dimH1 dimH2 ⟨ψ|φ⟩ :=で定義8745 0811名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:23:42.27ID:??? 内積を定めたテンソル積空間をテンソル積ヒルベルト空間 定義 2.18 と同様に, 3 つ以上の複素内積空間から テンソル積ヒルベルト空間を作り出す 2 つの線型空間上の線型演算子から, テンソル積空間上の線型演算子を作り出す478 0812名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:23:57.45ID:??? i=1 j=1 dim V1 dim V2 ψij |ei⟩ ⊗ |fj ⟩ に対して, i=1 j=1で定義する. L(H1 ⊗H2)に対して, TrH2 X = で定義する. ここで, TrH2 X は X の分解9874 0813名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:24:15.52ID:??? (2.13) i,k=1 j,l=1 定義 2.19 (線型演算子のテンソル積 V1, V2 を K 上線型空間とし, その基底をそれぞれ {|ei⟩}dim V1 , i=1 {|fi⟩}dimV2 とする. このとき, A ∈ L(V1), B ∈ L(V2) に対して, A ⊗ B ∈ L(V1 ⊗V2) を, |ψ⟩ = i=1 dimV1 dimV2 (A ⊗ B) |ψ⟩ := ψij A |ei⟩ ⊗ B |fj ⟩ i=1 j=1 (2.12) 定義 2.19 と同様に, 3 つ以上の線型空間の線型演算子から, テンソル積空間上の線型演算子654 0814名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:24:30.44ID:??? テンソル積空間 H1 ⊗ H2 上への線型演算子を, H1 上の線型演算子に変換する演算として, 部分トレースが 定義 定義2.20(部分トレース)H2上の部分トレースTrH2:L(H1⊗H2)→L(H1)を,X=Aj⊗Bj ∈ j j ψijφkl ⟨ei|ek⟩⟨fj|fl⟩ (2.11) Tr[Bj]Aj6541 0815名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:24:49.46ID:??? 有限次元の量子論 公理 2.21 有限次元の量子系は複素内積空間 H で表現され, 量子状態は H 上の単位ベクトルで表現 物理量は, エルミート演算子 A ∈ L(H) で表現され, 測定値はその固有値321 0816名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:25:05.76ID:??? 公理 2.22 ([40]) 閉じた系の時間発展はユニタリ演算子で記述 時刻 t1 における量子状態 |ψ(t1)⟩ と時刻 t2 における 量子状態 |ψ(t2)⟩ との関係は, t1 と t2 だけに依存する ユニタリ演算子 U を用いて |ψ(t2)⟩ = U |ψ(t1)⟩ (2.15) と関係6521 0817名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:25:25.39ID:??? 量子系の合成系に関して次のような公理を課す. 公理 2.23 ([40]) 複素内積空間 H1, H2 によって 表現される量子系 S1, S2 の合成系 S1 + S2 は, テンソル積ヒルベルト空間 H1 ⊗ H6521 0818名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:25:41.33ID:??? S1 系の物理量 A1 ∈ L (H1) は, 合成系 S1 + S2 では A1⊗IH2 ∈L(H1⊗H2)で表現される. 同様に,S2系の物理量A2 ∈L(H2)は, 合成系S1+S2では IH1 ⊗A2 ∈L(H1 ⊗H2)58 0819名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:25:58.98ID:??? 密度演算子全体の集合をS(H):={ρ∈L(H)|ρ≥0, Trρ=1} S(H)は凸集合である. 確率 pi で状態 |ψi⟩ ∈ H を準備するという 確率混合の操作によって得られた混合状態 s は,ρ =と密度演算子 ρ で記述625 0820名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:26:24.93ID:??? 混合状態 s に対して, 任意の物理量 A = 定値 a を得る確率は, P (A = a | ρ) = piP (A = a | |ψi⟩) = pi ⟨ψi|Pa|ψi⟩ = Tr[ρPa] (2.17) ii i pi |ψi⟩ ⟨ψi| (2.16) aPa の測定をして, a∈σ(A) 0821名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:26:37.20ID:??? 確率 pi で密度演算子 ρi ∈ S (H) で記述される混合状態 si を 準備するという確率混合の操作によっ て得られた混合状態 s もまた ρ =と密度演算子 ρ で記述でき, 混合状態 s に対して, 任意の物理量 A = (2.18) aPa の測定をして, 測定値 a を 得る確率は, P (A = a | ρ) = pi Tr[Paρi] = Tr[ρPa] (2.19) piρi
piP (A = a | ρi) = ii
i 0822名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:26:57.25ID:??? 合成系 S + E から部分系 S の状態を抽出する 操作によって得られる量子状態も密度演算子で記述 合成系S+Eにおける量子状態をρSE ∈S(HS ⊗HE)とし, Sの任意の物理量Aの任意の固有値aに対し て, 量子状態ρS ∈S(HS)が P (A = a | ρS) = P (A = a | ρSE) (2.20) を満たすとき,ρS を合成系S+Eの部分系Sの量子状態6954 0823名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:27:11.68ID:??? P(A=a|ρS)はρS に対して測定 をして測定値 a を得る確率, P (A = a | ρSE) は ρSE に対して測定をして測定値 a を得る確率 このと き,全体系S+Eの量子状態ρSE ∈S(HS ⊗HE)の部分系Sの状態は 密度演算子TrEρSE ∈S(HS)で記述147 0824名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:27:27.51ID:??? 公理 2.21, 公理 2.22 を, 密度演算子の命題 2.25 量子系は 複素内積空間 H で表現され, 量子状態は ρ ∈ S (H) で表現
物理量は, エルミー ト演算子 A ∈ L(H) で表現され, 測定値はその固有値9874 0825名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:27:46.04ID:??? 量子状態 ρ ∈ S (H) の下で, 物理量 A ∈ L(H) を測定するとき, 測定値が A の固有値 a ∈ R となる確率 P (A = a | ρ) は, P (A = a | ρ) = Tr[ρPa] (2.21) で与えられ, 測定値の期待値は Tr [ρA] で与えられる. ここで, Pa ∈ L (H) は A の固有値 a の固有空間への射影演算子51 0826名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:28:00.43ID:??? 命題 2.26 閉じた系の時間発展はユニタリ演算子で記述 つまり, 時刻 t1 における量子状態 ρ(t1) と時刻 t2 における 量子状態 ρ(t2) との関係は, t1 と t2 だけに依存する ユニタリ演算子 U を用いて ρ(t2) = Uρ(t1)U† (2.22) と関係づけられる. a∈σ(A)6954 0827名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:28:28.76ID:??? ρ, σ が純粋状態で, ρ = |ψ⟩⟨ψ|, σ = |φ⟩⟨φ| であるならば, F(ρ,σ) を F(|ψ⟩,|φ⟩) と書く. 純粋状態 |ψ⟩, |φ⟩ に対しては, F (|ψ⟩ , |φ⟩) = |⟨ψ|φ⟩| (2.24)が成立293 0828名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:28:42.94ID:??? |ψ⟩ と |φ⟩ が, 位相因子を除いて等しい時にのみ忠実度は 1 になり, 直交している時 にのみ忠実度は 0 になる. 一般に, 純粋状態同士の忠実度に限らず, F (ρ, σ) = 1 であることと ρ = σ であるこ とは同値294 0829名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:29:03.84ID:??? 2.4 量子系の時間発展の記述 例えば, 量子コンピュータと外界との相互作用によって 引き起こされる雑音は, 全体系で見ればユニタリ演 算子で記述 一方で, 量子コンピュータの部分系から見ると, その雑音は必ずしもユニタリ演算子で記述 できる654 0830名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:29:21.99ID:??? 一般的な状態の時間変化は, 複素内積空間 HA で表現される量子系 A の 初期状態を複素内積空間 HB で表 現される量子系 B の終状態に移す 時間発展写像は, S (HA) から S (HB) への写像であるから, TP 写像6210 0831名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:29:43.34ID:??? 時間発展 写像はアフィン性を備える確率 p, 1 − p で, 量子状態 ρ, σ ∈ S (HA) が 混合した量 子状態 pρ + (1 − p)σ を, 時間発展写像 E で 時間発展させて得られた状態 E (pρ + (1 − p)σ) と 量子状態 ρ, σ ∈ S (HA) を時間発展写像 E で 時間発展させて得られた状態 E (ρ), E (σ) が 確率 p, 1 − p で混合した量子状 態pE(ρ)+(1−p)E(σ) 0832名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:30:04.01ID:??? E (pρ + (1 − p)σ) = pE (ρ) + (1 − p)E (σ) (2.25) が成立するべきであるからである. したがって, 時間発展写像 E : S (HA ) → S (HB ) は TP かつアフィンな写 像であるべきといえる 0833名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:30:43.40ID:??? 命題 2.28 ([40]) 写像 f : S (HA) → S (HB) はアフィン写像である このとき, 任意の ρ ∈ S (HA) に対して, f ̃(ρ) = f (ρ) なる TP かつ正写像な線型写像 f ̃: L(HA) → L(HB) が一意に定まる3654 0834名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:30:58.94ID:??? 命題 2.28 は, TP かつアフィンな時間発展写像 E : S (HA) → S (HB) を, TP かつ正写像な線型写像 E:L(HA)→L(HB)と論じてよいこと意味している 以後,時間発展写像は,アフィン写像E:S(HA)→ S (HB ) ではなく, TP かつ正写像な線型写像 E : L (HA ) → L (HB ) として議論5487 0835名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:31:31.89ID:??? 有限次元の量子論 時間発展写像は TP かつ正写像であるだけでなく, CP 写像であるべきである. 理由は以下の通りである 量 子系 A, B と相互作用しない複素内積空間 Cn で表現される n 準位系 Cn があった場合に, A + Cn の状態を B + Cn の状態へと写す 時間発展写像 E ⊗ In : L (HA ⊗ Cn) → L (HB ⊗ Cn) 65 0836名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:31:46.87ID:??? 議 論同様に, 任意の n に対して, 時間発展写像 E ⊗ In : L (HA ⊗ Cn) → L (HB ⊗ Cn) は TP かつ正写像である べきである つまり, E: L(HA) → L(HB) は CP 写像であるべき 0837名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:32:00.28ID:??? 時間発展を記述する写 像は CPTP 写像であるべきであると言えた 量子系の時間発展は少なくとも CPTP 写像であるべきだ 一方, CPTP 写 像による時間発展が, 量子論の公理に矛盾することなく 実現可能であるのかを議論52 0838名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:32:15.92ID:??? 命題 2.25 で述べた量子系の状態, 物理量, 測定に関する公理 命題 2.26 で述べた閉じた量子系の時間発展に関する公理 公理 2.23 で述べた合成系の公理に矛盾するこ となく 実現可能65 0839名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:32:51.00ID:??? 2.5 量子系の測定の記述測定とは, 系の状態にある操作をすることで 測定値を得ることと言えよう. ここでは, 測定によって得られる 測定値は, 離散確率分布69 0840名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:33:04.74ID:??? 量子状態の測定 M は, アフィン性を満たすべきである. つ まり,確率p, 1−pで量子状態ρ, σ∈S(H)が混合した量子状態pρ+(1−p)σの下で測定値mを得る確率 P(M =m|pρ+(1−p)σ)は, P(M = m | pρ+(1−p)σ) = pP(M = m | ρ)+(1−p)P(M = m | σ) (2.26) 0841名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:33:31.98ID:??? 測定 M がアフィン性を満たすことは, 測定 M が POVM 測定であることと同値である POVM 測定とは以下のように定義される. 定義 2.29 (POVM, POVM 測定 ) 線型演算子の集合{Em:H→H}m∈M がPOVMであるとは,任意のm∈Mに対してEm ≥0かつ Em = IH M は有限集合231 0842名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:33:56.77ID:??? 量子系における測定 M が POVM 測定であるとは, 状態 ρ ∈ S (H) の下で, 測定値 m ∈ M を得る確率 P (M = m | ρ) が, ある POVM {Em : H → H}m∈M を 用いて, P (M = m | ρ) = Tr [Emρ] 56 0843名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:34:13.34ID:??? 物理量 A = aPa の測定は, POVM {Pa} による POVM 測定である. a∈σ(A) a∈σ(A) 量子系の測定は少なくとも POVM 測定であるべきだということ POVM 測定 が, 量子論の公理に矛盾することなく実現可能654 0844名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:34:26.84ID:??? POVM 測定は, 命題 2.25 で述べた量子系の状態, 物理量, 測定に 関する公理, 命題 2.26 で述べた閉じた量子系m∈ 0845名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:34:57.00ID:??? 有限次元の量子論 の時間発展に関する公理, 公理 2.23 で 述べた合成系の公理に矛盾することなく実現可能である 量子回路では, 量子ビットと呼ばれる情報の媒体に対して 量子ゲートと 呼ばれる操作することで計算を行い, 測定によって計算654 0846名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:35:13.64ID:??? 量子回路の構成要素である量子ビット, 量子ゲート, 測 定について 量子コンピュータへの雑音のモデルの量子回路 による量子計算のための SDK である Qiskit量子ビット 3.1.1 単一量子ビット単一量子ビットとは 複素内積空間 C2 で表現される量子系のこと 単一量子ビットのある正規直交基 底内積は ⟨i|j⟩ = δij で定まっている654 0847名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:35:44.22ID:??? 計算基底単一量子ビットは, 量子回路図上で1 本の配線として描かれる 多量子ビットn 量子ビットとは単一量子ビットを n 個合成した量子系のこと n 量子ビットとはテンソル 積ヒルベルト空間 (C2)⊗n で表現される 量子系のことである. n 量子ビットのある正規直交基底をn−1 19|i0i1 ...in−1⟩ := |ik⟩ | ik ∈ {0,1}, k = 0,1,...,n − 1 (3.2) k=065421 0848名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:36:01.29ID:??? 量子回路 20 と書く. この基底のことを計算基底添字 k に対応する複素内積空間 C2 を第 k 量子ビット 量子ビットを意味する添字は 0 オリジンとする. n 量子ビットは, 量子回路図上で 本の配線として描かれたり, 第 0 量子ビット, 第 1 量子ビット65 0849名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:36:16.22ID:??? n 量子ビットの初期状態は |0⟩⊗n 単一量子ビットに作用するユニタリ演算子 U 公理 2.22 より, 単一量子 ゲートとは単一量子ビットの時間発展を決定する演算子単一量子ゲート U は, 量子回路図上で Uのように描かれる. 量子回路図上で, 単一量子ビットの初期状態 |ψ0⟩ に対して量子ゲート U を 作用させた結果, 単一量子ビットの状態が |ψ1⟩ に変化ψ1⟩ = U |ψ0⟩ (3.3)を表現するとき,|ψ0⟩ U |ψ1⟩と描く 量子計算の議論において重要な単一量子ゲートの例を以下に挙げる. 計算基底による行列表現を用いる. 例 3.1 (パウリ行列) パウリ行列 I, X, Y , Z はそれぞれ,I :=|0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|= 1 0 (3.4) 01698 0850名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:36:39.02ID:??? 量子回路 (3.5) (3.6) (3.7) X :=|1⟩⟨0|+|0⟩⟨1|= 0 1 10 Y :=i|1⟩⟨0|−i|0⟩⟨1|= 0 −i i0 Z :=|0⟩⟨0|−|1⟩⟨1|= 1 0 0 −1 と定義される987 0851名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:36:54.78ID:??? 3.2 (アダマールゲート, 位相ゲート, T ゲート) アダマールゲート H, 位相ゲート S, T ゲート T はそれ H := √1 (|0⟩⟨0| + |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0| − |1⟩⟨1|) = √1 1 1 (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) 2 2 1 −1 S:=|0⟩⟨0|+i|1⟩⟨1|= 1 0 0i T:=|0⟩⟨0|+eiπ4 |1⟩⟨1|= 1 0 0 eiπ465 0852名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:37:17.86ID:??? 3.3 (回転ゲート) 回転ゲート RX , RY , RZ は定義される. cosγ RX(γ):=e−iγX/2 =cosγ2I−isinγ2X= 2γ −i sin 2 −isinγ γ2 cos 2 cosγ −sinγ RY(γ):=e−iγY/2 =cosγI−isinγY = 2 2 2 2 sinγ2cosγ2 RZ(γ):=e−iγZ/2 =cosγI−isinγZ=e−iγ/2 0 2 2 0 eiγ/2 3.2.2 多量子ビットゲート69 0853名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:37:41.08ID:??? 多量子ビットゲートとは, n (≥ 2) 量子ビットに作用する ユニタリ演算子 U のことである. 多量子ビットに 作用する多量子ビットゲート U は, 量子回路図上で /U/ のように描かれる. n ビットの初期状態 |ψ0⟩ に対して 量子ゲート U を作用させた結果, n ビットの状態が |ψ1⟩ に 変化したこと |ψ1⟩ = U |ψ0⟩ (3.14)69 0854名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:38:29.28ID:??? 量子回路 を表現するとき,22 |ψ0⟩ / U / |ψ1⟩ 多量子ビットゲートでは, 単一量子ビットゲートにはない 制御演算と呼ばれる演算が可能である. 制御演算とは, 制御量子ビットの量子状態が |1⟩ であるときに限り, 標的量子ビットに対してユニタリ演算を作用させる69 0855名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:39:05.47ID:??? 量子計算の議論において重要な制御演算の 計算基底による行列表現 3.4 (CNOT ゲート) 制御量子ビットを 1 量子ビット, 標的量子ビットを 1 量子ビットとする. 制御量子 ビットの量子状態が |1⟩ のときに限り, 標的量子ビットに X ゲートを作用させる演算を CNOT ゲート65 0856名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:39:23.59ID:??? 制御量子ビットが第 i 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットのとき, CNOT ゲートを Cji [X] と書く. 2 量子ビットに作用する C10 [X] は, C10 [X] = |00⟩⟨00| + |01⟩⟨01| + |11⟩⟨10| + |10⟩⟨11| = 0 0 0 1 0010 のように表され, 量子回路図上で3.5 (SWAP ゲート) 第 i 量子ビット, 第 j 量子ビットに作用する SWAP ゲート SWAPij は, 1000 0 0 1 0 SWAPij := Cji [X]Cij [X]Cji [X] = 0 1 0 0 (3.15) 1000 0 1 0 069 0857名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:39:48.54ID:??? 0001 (3.16) SWAP ゲート SWAPij は, 第 i 量子ビットと第 j 量子ビットの状態を入れ替えるような働き SWAP ゲートは, 量子コンピュータ上で隣接していない量子ビット間に 2 量子ビットゲートを 作用させると きに用いられる. ここでは, 図 3.1a のような量子ビットのトポロジーを持つ 3 量子ビットの量子コンピュータ上で, 隣接していない第 0 量子ビットと第 2 量子ビットに CNOT ゲート C20 [X] を作用3.1b のように, SWAP12 で第 1 量子ビットと第 2 量子ビットの 状態を入れ替えたのち, 第 0 量子 ビットと第 1 量子ビットに CNOT ゲートを作用させ, 再び SWAP12 で第 1 量子ビットと第 2 量子ビット87 0858名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:40:04.69ID:??? 3.1: (a) のような量子ビットのトポロジーを持つ量子コンピュータ上で, 第 0 量子ビットと第 2 量子ビットに CNOT ゲート C20 [X] を作用させるには, (b) のように SWAP ゲート3.6 (制御 U ゲート) CNOT ゲートを一般化4 0859名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:41:19.98ID:??? 制御量子ビットを 1 量子ビット, 標的量子ビットを 1 量子ビットとする 制御量子ビットの量子状態が |1⟩ のときに限り, 標的量子ビットに単一量子ゲート U を 作 用させる演算を制御 U ゲートという. 制御量子ビットが第 i 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットの とき, 制御 U ゲートを Cji [U]987 0860名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:41:43.54ID:??? 量子ビットに作用する C10 [U] は, 0 1 2C10 [U] = |00⟩⟨00| + |01⟩⟨01| + (I ⊗ U)|10⟩⟨10| + (I ⊗ U)|11⟩⟨11| = のように表され, 量子回路図上でI 0 0U (3.17)9 0861名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:41:59.32ID:??? 3.7 (トフォリゲート) 制御量子ビットを 2 量子ビット, 標的量子ビットを 1 量子ビットとする. 制御量子 ビットの量子状態が |11⟩ のときに限り, 標的量子ビットに X ゲートを作用させる演算をトフォリゲート37 0862名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:42:12.06ID:??? 制御量子ビットが第 i1, i2 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットのとき, トフォリゲートを Ci1,i2 [X] と書く. 3 量子ビットに作用する C0,1 [X] は, j2 C 0,1 [X ] = |000⟩ ⟨000| + |001⟩ ⟨001| + |010⟩ ⟨010| + |011⟩ ⟨011| 2 + |100⟩ ⟨100| + |101⟩ ⟨101| + |111⟩ ⟨110| + |110⟩ ⟨111| (3.18)9 0863名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:42:53.55ID:??? 量子コンピュータでは, 量子ビットに対して量子ゲートを 作用させることで得た量子状態を測定することで, 計算結果を得る.単一量子ビットの測定を, 量子回路図上で メーター記号を用いて描く. 特に断らない限り, 単一量子ビットの測定は, 計算基底による測定, つま り POVM {|0⟩ ⟨0| , |1⟩ ⟨1|} (3.20) による POVM 測定を指す. また, 単一量子ビットの測定結果を古典ビットの情報として 格納することを強調するとき, 量子回路図上87 0864名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:43:10.13ID:??? 2 重線の配線が古典ビット 量子回路 25 同様に, n 量子ビットの第 i1,i2,...,ik (0 ≤ i1 < i2 < ··· < ik < n) 量子ビット測定は,I⊗i1 ⊗|j1⟩⟨j1|⊗I⊗i2−i1−1 ⊗|j2⟩ ⟨j2|⊗···⊗|jk⟩⟨jk|⊗I⊗n−ik−1 |jl ∈{0,1}, l=1,2,...,k(3.21) による POVM 測定を指す. 特に, n 量子ビット全てを測定する場合は, n 量子ビットの計算基底による測定65 0865名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:43:36.42ID:??? 3.4 雑音量子コンピュータに対する雑音は, CPTP 写像として記述できる. ここでは, 量子コンピュータに対する雑音のモデルとの例として, ビット反転チャンネルと分極解消チャンネルを紹介する 3.4.1 ビット反転チャンネル 1 量子ビットを考える98 0866名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:43:51.88ID:??? 定義 3.8 (ビット反転チャンネル) ビット反転チャンネルを, CPTP 写像 E : L (H) → L (H) で, A ∈ L (H)に対して, E (A) = pA + (1 − p) XAX (3.22) なる写像87 0867名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:44:08.93ID:??? p ∈ [0, 1] とした.定義 3.8 より, ビット反転チャンネル E は, 確率 p で始状態を保ち, 確率 1 − p で X を始状態に作用させる 雑音のモデルと理解できる.3.4.2 分極解消チャンネルn 量子ビット H = (C2)⊗n とする 0868名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:44:31.47ID:??? i1 i2 . ik, n 量子ビットの第 i1 , i2 , . . . , ik 量子ビット測定は, POVM量子回路 26 定義 3.9 (分極解消チャンネル) 分極解消チャンネルを, CPTP 写像 Dp : L(H) → L(H) で, A ∈ L(H) に 対して, Dp (A) = pA + Tr [A] (1 − p) IH 2n (3.23)(3.24)なる写像と定義 ,p∈ − 1 ,1 とした. 4n −1 分極解消チャンネルの Kraus 演算子の集合は, √ p + 1 − p M0 ∪ 1 − p Mα 0869名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:44:54.41ID:??? A ∈ L (H) に対して, Np N = ⃝ (Dpi ◦ Ui) j=1 N(A)=Dp ◦U(A) (3.25) (3.26) で定義する. このとき, Np N := ⃝ (Dpi ◦ Ui) (3.27) j=1 N =Dp ◦U (3.28) α̸=0 = i=0 σαi α∈{0,1,2,3}n とした. Mα:=(α0 ,α1 ,...,αn−1 ) 4n 2n n−19 0870名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:45:14.48ID:??? 分極解消チャンネルを用いて, 量子コンピュータ上の 簡単な雑音のモデルを考える. 実際の量子コンピュータ上で, 初期状態 ρ ∈ S (H) に対して量子ゲート U を作用させる際には, U をいくつかの基本 ゲートの積 U = UNg · · · U1 9 0871名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:45:31.23ID:??? 基本ゲート Ui を量子状態 に作用させる度に Dpi が作用するという 雑音のモデル N : L (H) → L (H) を考える. すると, CPTP 写像 Ui : L(H) ∋ A → UiAUi† ∈ L(H) として, 雑音95 0872名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:45:45.71ID:??? U: L(H) ∋ A → UAU† ∈ L(H), p := pNg ...p2p1 示して いるように, 雑音のモデル N が, ユニタリ演算 U が作用したのちに分極解消チャンネル Dp が 作用する雑音 のモデルと等価であることを意味している ここで述べた 2 つの雑音のモデルの等価性は後に用いるので, 命 題という形でまとめておく.命題 3.10 Ui ∈ L(H) (i = 1,2,...,Ng) を ユニタリ演算子とし, Ui : L(H) ∋ A → UiAUi† ∈ L(H) とする また, Dpi (i = 1,2,...,Ng) は分極解消987 0873名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:46:04.93ID:??? CPTP 写像 N : L(H) → L(H) を,U:=UNg ···U2U1に対して, U:L(H)∋A→UAU†∈L(H)とし,p:=Ng piとした. i=1 導出については E.154 0874名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:46:17.86ID:??? 各ゲート Ui が作用するたびに, 分極解消チャンネル Dpi が 作用する雑音のモデル(b) ゲート UNg · · · U2 U1 が作用したのちに, 分極解消チャンネル Dp:=pNg ...p2 p1 が作用する雑音のモデル 3.2: 2 つの雑音のモデル (a), (b) は等価69 0875名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:46:32.41ID:??? 3.5 QiskitQiskit は, IBM 社が中心となって開発を行っている, 量子回路による量子計算のためのオープンソースの Python 用 SDKQiskit を用いて量子回路を作成し, シミュレータや実機を用いてQiskit では, 量子回路を QuantumCircuit オブジェクト78 0876名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:46:59.63ID:??? QuantumCircuit オブジェク トは, 量子ビットに対応する QuantumRegister オブジェクトや測定結果を保存する 古典ビットに対応 する ClassicalRegister オブジェクトを コンストラクタの引数にとり初期化695 0877名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:47:22.33ID:??? 初期化した QuantumCircuit オブジェクトに, 量子ゲートや測定の操作をメソッドによって追加していき, 所望の量子回 路を得る. 図 3.3a にベル状態を生成し 全ての量子ビットを測定する量子回路を作るための サンプルコードを 示し, 量子回路図541 0878名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:47:41.94ID:??? Qiskit では, 雑音のない場合だけでなく自ら定義した雑音のモデルの下でも, 作成した量子回路をシミュ レータによって計算することができる 計算結果を double の精度で状態ベクトルや密度演算子として得る シ ミュレータや有限回の測定まで考慮に入れた計算を行うシミュレータがある 測定回数が ∞ 回のシミュレータQiskit では, 作成した量子回路を IBM 社が開発している超伝導型量子コンピュータ801 0879名無しさん＠ピンキー2024/09/28(土) 23:48:22.33ID:??? CPTP 写像 N : L(H) → L(H) を,U:=UNg ···U2U1に対して, U:L(H)∋A→UAU†∈L(H)とし,p:=Ng piとした. i=1 導出については E.15487
