等身大ぬいぐるみ ラブドール 6
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
混合状態 s に対して, 任意の物理量 A = 定値 a を得る確率は,
P (A = a | ρ) = piP (A = a | |ψi⟩) = pi ⟨ψi|Pa|ψi⟩ = Tr[ρPa] (2.17) ii
i
pi |ψi⟩ ⟨ψi|
(2.16) aPa の測定をして, a∈σ(A) 確率 pi で密度演算子 ρi ∈ S (H) で記述される混合状態 si を
準備するという確率混合の操作によっ て得られた混合状態 s もまた
ρ =と密度演算子 ρ で記述でき, 混合状態 s に対して, 任意の物理量 A =
(2.18) aPa の測定をして, 測定値 a を
得る確率は,
P (A = a | ρ) =
pi Tr[Paρi] = Tr[ρPa]
(2.19)
piρi
piP (A = a | ρi) = ii
i 合成系 S + E から部分系 S の状態を抽出する
操作によって得られる量子状態も密度演算子で記述
合成系S+Eにおける量子状態をρSE ∈S(HS ⊗HE)とし,
Sの任意の物理量Aの任意の固有値aに対し て,
量子状態ρS ∈S(HS)が
P (A = a | ρS) = P (A = a | ρSE) (2.20)
を満たすとき,ρS を合成系S+Eの部分系Sの量子状態6954 P(A=a|ρS)はρS に対して測定 をして測定値 a を得る確率,
P (A = a | ρSE) は ρSE に対して測定をして測定値 a を得る確率
このと き,全体系S+Eの量子状態ρSE ∈S(HS ⊗HE)の部分系Sの状態は
密度演算子TrEρSE ∈S(HS)で記述147 公理 2.21, 公理 2.22 を, 密度演算子の命題 2.25 量子系は
複素内積空間 H で表現され, 量子状態は ρ ∈ S (H) で表現
物理量は, エルミー ト演算子 A ∈ L(H) で表現され,
測定値はその固有値9874 量子状態 ρ ∈ S (H) の下で, 物理量 A ∈ L(H) を測定するとき,
測定値が A の固有値 a ∈ R となる確率 P (A = a | ρ) は,
P (A = a | ρ) = Tr[ρPa] (2.21) で与えられ,
測定値の期待値は Tr [ρA] で与えられる.
ここで, Pa ∈ L (H) は A の固有値 a の固有空間への射影演算子51 命題 2.26 閉じた系の時間発展はユニタリ演算子で記述
つまり, 時刻 t1 における量子状態 ρ(t1) と時刻 t2 における
量子状態 ρ(t2) との関係は, t1 と t2 だけに依存する
ユニタリ演算子 U を用いて
ρ(t2) = Uρ(t1)U† (2.22)
と関係づけられる.
a∈σ(A)6954 ρ, σ が純粋状態で, ρ = |ψ⟩⟨ψ|, σ = |φ⟩⟨φ| であるならば,
F(ρ,σ) を F(|ψ⟩,|φ⟩) と書く.
純粋状態 |ψ⟩, |φ⟩ に対しては,
F (|ψ⟩ , |φ⟩) = |⟨ψ|φ⟩| (2.24)が成立293 |ψ⟩ と |φ⟩ が, 位相因子を除いて等しい時にのみ忠実度は 1 になり,
直交している時 にのみ忠実度は 0 になる.
一般に, 純粋状態同士の忠実度に限らず,
F (ρ, σ) = 1 であることと ρ = σ であるこ とは同値294 2.4 量子系の時間発展の記述
例えば, 量子コンピュータと外界との相互作用によって
引き起こされる雑音は, 全体系で見ればユニタリ演 算子で記述
一方で, 量子コンピュータの部分系から見ると,
その雑音は必ずしもユニタリ演算子で記述 できる654 一般的な状態の時間変化は, 複素内積空間 HA で表現される量子系 A の
初期状態を複素内積空間 HB で表 現される量子系 B の終状態に移す
時間発展写像は, S (HA) から S (HB) への写像であるから, TP 写像6210 時間発展 写像はアフィン性を備える確率 p, 1 − p で, 量子状態 ρ, σ ∈ S (HA) が
混合した量 子状態 pρ + (1 − p)σ を, 時間発展写像 E で
時間発展させて得られた状態 E (pρ + (1 − p)σ) と
量子状態 ρ, σ ∈ S (HA) を時間発展写像 E で
時間発展させて得られた状態 E (ρ), E (σ) が
確率 p, 1 − p で混合した量子状 態pE(ρ)+(1−p)E(σ) E (pρ + (1 − p)σ) = pE (ρ) + (1 − p)E (σ) (2.25) が成立するべきであるからである.
したがって, 時間発展写像 E : S (HA ) → S (HB ) は TP かつアフィンな写
像であるべきといえる 命題 2.28 ([40]) 写像 f : S (HA) → S (HB) はアフィン写像である
このとき, 任意の ρ ∈ S (HA)
に対して, f ̃(ρ) = f (ρ) なる TP かつ正写像な線型写像 f ̃: L(HA) → L(HB) が一意に定まる3654 命題 2.28 は, TP かつアフィンな時間発展写像 E : S (HA) → S (HB) を,
TP かつ正写像な線型写像 E:L(HA)→L(HB)と論じてよいこと意味している
以後,時間発展写像は,アフィン写像E:S(HA)→ S (HB ) ではなく,
TP かつ正写像な線型写像 E : L (HA ) → L (HB ) として議論5487 有限次元の量子論
時間発展写像は TP かつ正写像であるだけでなく,
CP 写像であるべきである. 理由は以下の通りである
量 子系 A, B と相互作用しない複素内積空間 Cn で表現される
n 準位系 Cn があった場合に, A + Cn の状態を B + Cn の状態へと写す
時間発展写像 E ⊗ In : L (HA ⊗ Cn) → L (HB ⊗ Cn) 65 議 論同様に, 任意の n に対して,
時間発展写像 E ⊗ In : L (HA ⊗ Cn) → L (HB ⊗ Cn) は
TP かつ正写像である べきである
つまり, E: L(HA) → L(HB) は CP 写像であるべき 時間発展を記述する写 像は CPTP 写像であるべきであると言えた
量子系の時間発展は少なくとも CPTP 写像であるべきだ
一方, CPTP 写 像による時間発展が, 量子論の公理に矛盾することなく
実現可能であるのかを議論52 命題 2.25 で述べた量子系の状態, 物理量, 測定に関する公理
命題 2.26 で述べた閉じた量子系の時間発展に関する公理
公理 2.23 で述べた合成系の公理に矛盾するこ となく
実現可能65 2.5 量子系の測定の記述測定とは, 系の状態にある操作をすることで
測定値を得ることと言えよう. ここでは, 測定によって得られる 測定値は,
離散確率分布69 量子状態の測定 M は, アフィン性を満たすべきである. つ まり,確率p, 1−pで量子状態ρ,
σ∈S(H)が混合した量子状態pρ+(1−p)σの下で測定値mを得る確率 P(M =m|pρ+(1−p)σ)は,
P(M = m | pρ+(1−p)σ) = pP(M = m | ρ)+(1−p)P(M = m | σ) (2.26) 測定 M がアフィン性を満たすことは, 測定 M が POVM 測定であることと同値である
POVM 測定とは以下のように定義される. 定義 2.29 (POVM, POVM 測定 )
線型演算子の集合{Em:H→H}m∈M がPOVMであるとは,任意のm∈Mに対してEm ≥0かつ
Em = IH M は有限集合231 量子系における測定 M が POVM 測定であるとは,
状態 ρ ∈ S (H) の下で, 測定値 m ∈ M を得る確率
P (M = m | ρ) が, ある POVM {Em : H → H}m∈M を
用いて, P (M = m | ρ) = Tr [Emρ] 56 物理量 A = aPa の測定は, POVM {Pa} による POVM 測定である. a∈σ(A) a∈σ(A)
量子系の測定は少なくとも POVM 測定であるべきだということ
POVM 測定 が, 量子論の公理に矛盾することなく実現可能654 POVM 測定は, 命題 2.25 で述べた量子系の状態, 物理量, 測定に
関する公理, 命題 2.26 で述べた閉じた量子系m∈ 有限次元の量子論 の時間発展に関する公理, 公理 2.23 で
述べた合成系の公理に矛盾することなく実現可能である
量子回路では, 量子ビットと呼ばれる情報の媒体に対して
量子ゲートと 呼ばれる操作することで計算を行い,
測定によって計算654 量子回路の構成要素である量子ビット, 量子ゲート, 測 定について
量子コンピュータへの雑音のモデルの量子回路 による量子計算のための
SDK である Qiskit量子ビット 3.1.1 単一量子ビット単一量子ビットとは
複素内積空間 C2 で表現される量子系のこと
単一量子ビットのある正規直交基 底内積は ⟨i|j⟩ = δij で定まっている654 計算基底単一量子ビットは, 量子回路図上で1 本の配線として描かれる
多量子ビットn 量子ビットとは単一量子ビットを n 個合成した量子系のこと
n 量子ビットとはテンソル 積ヒルベルト空間 (C2)⊗n で表現される
量子系のことである. n 量子ビットのある正規直交基底をn−1 19|i0i1 ...in−1⟩ :=
|ik⟩ | ik ∈ {0,1}, k = 0,1,...,n − 1 (3.2)
k=065421 量子回路 20 と書く. この基底のことを計算基底添字 k に対応する複素内積空間 C2 を第 k 量子ビット
量子ビットを意味する添字は 0 オリジンとする. n 量子ビットは, 量子回路図上で 本の配線として描かれたり,
第 0 量子ビット, 第 1 量子ビット65 n 量子ビットの初期状態は |0⟩⊗n 単一量子ビットに作用するユニタリ演算子 U 公理 2.22 より,
単一量子 ゲートとは単一量子ビットの時間発展を決定する演算子単一量子ゲート U は, 量子回路図上で
Uのように描かれる. 量子回路図上で, 単一量子ビットの初期状態 |ψ0⟩ に対して量子ゲート U を
作用させた結果, 単一量子ビットの状態が |ψ1⟩ に変化ψ1⟩ = U |ψ0⟩ (3.3)を表現するとき,|ψ0⟩ U |ψ1⟩と描く
量子計算の議論において重要な単一量子ゲートの例を以下に挙げる. 計算基底による行列表現を用いる.
例 3.1 (パウリ行列) パウリ行列 I, X, Y , Z はそれぞれ,I :=|0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|= 1 0 (3.4) 01698 量子回路
(3.5) (3.6) (3.7)
X :=|1⟩⟨0|+|0⟩⟨1|= 0 1 10
Y :=i|1⟩⟨0|−i|0⟩⟨1|= 0 −i i0
Z :=|0⟩⟨0|−|1⟩⟨1|= 1 0 0 −1
と定義される987 3.2 (アダマールゲート, 位相ゲート, T ゲート) アダマールゲート H, 位相ゲート S, T ゲート T はそれ
H := √1 (|0⟩⟨0| + |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0| − |1⟩⟨1|) = √1 1 1
(3.8)
(3.9) (3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
2
2 1 −1
S:=|0⟩⟨0|+i|1⟩⟨1|= 1 0 0i
T:=|0⟩⟨0|+eiπ4 |1⟩⟨1|= 1 0 0 eiπ465 3.3 (回転ゲート) 回転ゲート RX , RY , RZ は定義される.
cosγ RX(γ):=e−iγX/2 =cosγ2I−isinγ2X= 2γ −i sin 2
−isinγ γ2
cos 2
cosγ −sinγ RY(γ):=e−iγY/2 =cosγI−isinγY = 2 2
2 2 sinγ2cosγ2
RZ(γ):=e−iγZ/2 =cosγI−isinγZ=e−iγ/2 0 2 2 0 eiγ/2
3.2.2 多量子ビットゲート69 多量子ビットゲートとは, n (≥ 2) 量子ビットに作用する
ユニタリ演算子 U のことである. 多量子ビットに
作用する多量子ビットゲート U は, 量子回路図上で /U/
のように描かれる. n ビットの初期状態 |ψ0⟩ に対して
量子ゲート U を作用させた結果, n ビットの状態が |ψ1⟩ に
変化したこと
|ψ1⟩ = U |ψ0⟩ (3.14)69 量子回路 を表現するとき,22 |ψ0⟩ / U / |ψ1⟩
多量子ビットゲートでは, 単一量子ビットゲートにはない
制御演算と呼ばれる演算が可能である. 制御演算とは,
制御量子ビットの量子状態が |1⟩ であるときに限り,
標的量子ビットに対してユニタリ演算を作用させる69 量子計算の議論において重要な制御演算の 計算基底による行列表現
3.4 (CNOT ゲート) 制御量子ビットを 1 量子ビット, 標的量子ビットを
1 量子ビットとする. 制御量子 ビットの量子状態が |1⟩ のときに限り,
標的量子ビットに X ゲートを作用させる演算を CNOT ゲート65 制御量子ビットが第 i 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットのとき,
CNOT ゲートを Cji [X] と書く. 2 量子ビットに作用する C10 [X] は,
C10 [X] = |00⟩⟨00| + |01⟩⟨01| + |11⟩⟨10| + |10⟩⟨11| = 0 0 0 1 0010
のように表され, 量子回路図上で3.5 (SWAP ゲート) 第 i 量子ビット,
第 j 量子ビットに作用する SWAP ゲート SWAPij は,
1000
0 0 1 0 SWAPij := Cji [X]Cij [X]Cji [X] = 0 1 0 0
(3.15)
1000 0 1 0 069 0001
(3.16)
SWAP ゲート SWAPij は, 第 i 量子ビットと第 j 量子ビットの状態を入れ替えるような働き
SWAP ゲートは, 量子コンピュータ上で隣接していない量子ビット間に 2 量子ビットゲートを
作用させると きに用いられる. ここでは, 図 3.1a のような量子ビットのトポロジーを持つ
3 量子ビットの量子コンピュータ上で, 隣接していない第 0 量子ビットと第 2 量子ビットに
CNOT ゲート C20 [X] を作用3.1b のように, SWAP12 で第 1 量子ビットと第 2 量子ビットの
状態を入れ替えたのち, 第 0 量子 ビットと第 1 量子ビットに CNOT ゲートを作用させ,
再び SWAP12 で第 1 量子ビットと第 2 量子ビット87 3.1: (a) のような量子ビットのトポロジーを持つ量子コンピュータ上で,
第 0 量子ビットと第 2 量子ビットに CNOT ゲート C20 [X] を作用させるには,
(b) のように SWAP ゲート3.6 (制御 U ゲート) CNOT ゲートを一般化4 制御量子ビットを 1 量子ビット, 標的量子ビットを 1 量子ビットとする
制御量子ビットの量子状態が |1⟩ のときに限り, 標的量子ビットに単一量子ゲート U を
作 用させる演算を制御 U ゲートという. 制御量子ビットが第 i 量子ビット,
標的量子ビットが第 j 量子ビットの とき, 制御 U ゲートを Cji [U]987 量子ビットに作用する C10 [U] は,
0 1 2C10 [U] = |00⟩⟨00| + |01⟩⟨01| + (I ⊗ U)|10⟩⟨10| + (I ⊗ U)|11⟩⟨11| =
のように表され, 量子回路図上でI 0 0U
(3.17)9 3.7 (トフォリゲート) 制御量子ビットを 2 量子ビット, 標的量子ビットを
1 量子ビットとする. 制御量子 ビットの量子状態が |11⟩ のときに限り,
標的量子ビットに X ゲートを作用させる演算をトフォリゲート37 制御量子ビットが第 i1, i2 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットのとき,
トフォリゲートを Ci1,i2 [X] と書く. 3 量子ビットに作用する C0,1 [X] は,
j2
C 0,1 [X ] = |000⟩ ⟨000| + |001⟩ ⟨001| + |010⟩ ⟨010| + |011⟩ ⟨011| 2
+ |100⟩ ⟨100| + |101⟩ ⟨101| + |111⟩ ⟨110| + |110⟩ ⟨111| (3.18)9 量子コンピュータでは, 量子ビットに対して量子ゲートを
作用させることで得た量子状態を測定することで,
計算結果を得る.単一量子ビットの測定を, 量子回路図上で
メーター記号を用いて描く. 特に断らない限り,
単一量子ビットの測定は, 計算基底による測定, つま り POVM
{|0⟩ ⟨0| , |1⟩ ⟨1|} (3.20) による POVM 測定を指す.
また, 単一量子ビットの測定結果を古典ビットの情報として
格納することを強調するとき, 量子回路図上87 2 重線の配線が古典ビット 量子回路 25 同様に,
n 量子ビットの第 i1,i2,...,ik (0 ≤ i1 < i2 < ··· < ik < n)
量子ビット測定は,I⊗i1 ⊗|j1⟩⟨j1|⊗I⊗i2−i1−1 ⊗|j2⟩
⟨j2|⊗···⊗|jk⟩⟨jk|⊗I⊗n−ik−1 |jl ∈{0,1}, l=1,2,...,k(3.21) による
POVM 測定を指す. 特に, n 量子ビット全てを測定する場合は,
n 量子ビットの計算基底による測定65 3.4 雑音量子コンピュータに対する雑音は,
CPTP 写像として記述できる. ここでは,
量子コンピュータに対する雑音のモデルとの例として,
ビット反転チャンネルと分極解消チャンネルを紹介する
3.4.1 ビット反転チャンネル
1 量子ビットを考える98 定義 3.8 (ビット反転チャンネル) ビット反転チャンネルを,
CPTP 写像 E : L (H) → L (H) で, A ∈ L (H)に対して,
E (A) = pA + (1 − p) XAX (3.22) なる写像87 p ∈ [0, 1] とした.定義 3.8 より, ビット反転チャンネル E は,
確率 p で始状態を保ち, 確率 1 − p で X を始状態に作用させる
雑音のモデルと理解できる.3.4.2 分極解消チャンネルn 量子ビット
H = (C2)⊗n とする i1 i2 . ik, n 量子ビットの第 i1 , i2 , . . . , ik 量子ビット測定は,
POVM量子回路 26 定義 3.9 (分極解消チャンネル)
分極解消チャンネルを, CPTP 写像 Dp : L(H) → L(H) で, A ∈ L(H) に
対して,
Dp (A) = pA + Tr [A] (1 − p) IH 2n
(3.23)(3.24)なる写像と定義
,p∈ − 1 ,1 とした. 4n −1
分極解消チャンネルの Kraus 演算子の集合は,
√ p + 1 − p M0 ∪ 1 − p Mα A ∈ L (H) に対して,
Np
N = ⃝ (Dpi ◦ Ui)
j=1
N(A)=Dp ◦U(A)
(3.25)
(3.26)
で定義する. このとき,
Np
N := ⃝ (Dpi ◦ Ui) (3.27)
j=1
N =Dp ◦U (3.28)
α̸=0
= i=0 σαi α∈{0,1,2,3}n とした.
Mα:=(α0 ,α1 ,...,αn−1 )
4n
2n n−19 分極解消チャンネルを用いて, 量子コンピュータ上の
簡単な雑音のモデルを考える. 実際の量子コンピュータ上で,
初期状態 ρ ∈ S (H) に対して量子ゲート U を作用させる際には,
U をいくつかの基本 ゲートの積 U = UNg · · · U1 9 基本ゲート Ui を量子状態 に作用させる度に Dpi が作用するという
雑音のモデル N : L (H) → L (H) を考える. すると, CPTP 写像
Ui : L(H) ∋ A → UiAUi† ∈ L(H) として, 雑音95 U: L(H) ∋ A → UAU† ∈ L(H), p := pNg ...p2p1 示して いるように,
雑音のモデル N が, ユニタリ演算 U が作用したのちに分極解消チャンネル Dp が
作用する雑音 のモデルと等価であることを意味している
ここで述べた 2 つの雑音のモデルの等価性は後に用いるので,
命 題という形でまとめておく.命題 3.10 Ui ∈ L(H) (i = 1,2,...,Ng) を
ユニタリ演算子とし, Ui : L(H) ∋ A → UiAUi† ∈ L(H) とする
また, Dpi (i = 1,2,...,Ng) は分極解消987 CPTP 写像 N : L(H) → L(H) を,U:=UNg ···U2U1に対して,
U:L(H)∋A→UAU†∈L(H)とし,p:=Ng piとした. i=1
導出については E.154 各ゲート Ui が作用するたびに, 分極解消チャンネル Dpi が
作用する雑音のモデル(b) ゲート UNg · · · U2 U1 が作用したのちに,
分極解消チャンネル Dp:=pNg ...p2 p1 が作用する雑音のモデル
3.2: 2 つの雑音のモデル (a), (b) は等価69 3.5 QiskitQiskit は, IBM 社が中心となって開発を行っている,
量子回路による量子計算のためのオープンソースの
Python 用 SDKQiskit を用いて量子回路を作成し,
シミュレータや実機を用いてQiskit では, 量子回路を
QuantumCircuit オブジェクト78 QuantumCircuit オブジェク トは, 量子ビットに対応する
QuantumRegister オブジェクトや測定結果を保存する
古典ビットに対応 する ClassicalRegister オブジェクトを
コンストラクタの引数にとり初期化695 初期化した QuantumCircuit オブジェクトに,
量子ゲートや測定の操作をメソッドによって追加していき,
所望の量子回 路を得る. 図 3.3a にベル状態を生成し
全ての量子ビットを測定する量子回路を作るための
サンプルコードを 示し, 量子回路図541 Qiskit では, 雑音のない場合だけでなく自ら定義した雑音のモデルの下でも,
作成した量子回路をシミュ レータによって計算することができる
計算結果を double の精度で状態ベクトルや密度演算子として得る
シ ミュレータや有限回の測定まで考慮に入れた計算を行うシミュレータがある
測定回数が ∞ 回のシミュレータQiskit では, 作成した量子回路を
IBM 社が開発している超伝導型量子コンピュータ801 CPTP 写像 N : L(H) → L(H) を,U:=UNg ···U2U1に対して,
U:L(H)∋A→UAU†∈L(H)とし,p:=Ng piとした. i=1
導出については E.15487 各ゲート Ui が作用するたびに, 分極解消チャンネル Dpi が
作用する雑音のモデル(b) ゲート UNg · · · U2 U1 が作用したのちに,
分極解消チャンネル Dp:=pNg ...p2 p1 が作用する雑音のモデル
3.2: 2 つの雑音のモデル (a), (b) は等価659 Qiskit の transpile モジュールによって,
ibm lagos の量子ビットトポロジーの下,
トフォリゲートを基本ゲート
√
R Z ( π2 )
R Z ( π2 )
R Z ( π4 )
R Z ( π4 ) • • • R Z ( π4 ) • (b) 分解後のトフォリゲート
X, RZ, CNOT に分解した. (a) に示したサンプルコードに
よって分解されたトフォリゲートの量子回路図 を (b) 6598 分量子アルゴリズム NISQ デバイスを用いた代表的なアルゴリズムである
変分量子アルゴリズム (Variatonal Quantum Algorithm, VQA)
4.3 では, 変分量子アルゴリズムの抱えるバレンプラトー最適化問題,
つまり関数の最小化問題へ とマッピングする. 最小化すべき関数 C (γ) のことを
コスト関数という. ここで, コスト関数 C (γ) は, パラ メータ γ に依存541 量子ゲート U (γ) を用いて定義される. パラメータに依存する量子ゲートを
アンザッツ という. 変分量子アルゴリズムでは, 量子コンピュータを用いて
コスト関数の値や勾配の計算 を評価することと, 古典コンピュータを用いて
コスト関数を最小化するようにパラメータをアップデートする
交互に繰り返し行うことで, コスト関数の最小点を求める
コスト関数の最小点を探索するアル ゴリズムをオプティマイザー
変分量子アルゴリズムにおけるコスト関数,
アンザッツ, オプティマイザー4.1.1 コスト関数6321 変分量子アルゴリズムの最初の一歩は, 解きたい問題を数理最適化問題に
マッピングする, つまりコスト関 数を定義することである.
数理最適化問題では, 解きたい問題の解の候補を Γ ⊂ RNp 上の点として表現する.
コスト関数は, 解きたい問題の解が最小値に対応するように定義された関数で,
解と解の候補の差を定量的に 表現する関数 Γ → R である.
したがって, コスト関数を最小化するようなパラメータ γ 6 変分量子アルゴリズムにおける, 量子古典ハイブリッドループ
量子コンピュータを用いたコスト関数値や勾配の 評価と,
古典コンピュータを用いたパラメータのアップデートを
交互に繰り返し行うことで, コスト関数の最小点000 変分量子アルゴリズムのコスト関数は, C(γ)= fi Tr OiU(γ)ρiU(γ) (4.1)i
の形で定義される. ここで, 各 Oi は物理量, 各 ρi は入力状態, fi は
R → R の関数, U (γ) はアンザッツであ
る. 変分量子アルゴリズムでは, コスト関数を量子状態 ρi や
量子的な操作 U (γ) を用いて定義することで,
古 典コンピュータ上では計算不可能なコスト関数を
計算654 変分量子アルゴリズムのコスト関数が満たすべき条件として,
次の 4 点が提案されている
(C1) コスト関数の最小点が解きたい問題の解に対応する.
(C2) コスト関数の値が小さい点ほど良い解に対応する.
(C3) コスト関数の値や勾配は, 量子コンピュータ上の測定と
必要があれば測定後の後処理を古典コンピュータに
よって効率的に計算できる.
(C4) コスト関数の最小点は効率的987 (C1), (C2) は, 変分量子アルゴリズムに限らず, 一般の
数理最適化問題が満たすべき条件である.
量子コンピュータ上の測定とは (4.1) の
Tr OiU (γ) ρiU (γ)† の期待値計算に対応し,
古典コンピュータ上の後処理とは, (4.1) の fi (·) の
計算や i についての足し合わせ計算987 変分量子アルゴリズム
32
RZ (2γ21) RZ (2γ22) RZ (2γ23) RZ (2γ24)
0 1 2 3
0 1 2 3
RX (2γ1) RX (2γ2) RX (2γ3) RX (2γ4)
RZ (2γ5) RZ (2γ6) RZ (2γ7) RZ (2γ8)
•
•
•
RX (2γ9) RX (2γ10) RX (2γ11) RX (2γ12)
RZ (2γ13) • RZ (2γ14) • RZ (2γ15) • RZ (2γ16)
RX (2γ17) RX (2γ18) RX (2γ19) RX (2γ20)
(a)
(b)69 Np 個のパラメータを持つ量子ゲート URPQC : [0, 2π)Np → U (2n) を
URPQC (γ) =
Uj (γj)Wj = UNp
(4.2)
Np
γNp WNp ...U2 (γ2)W2U1 (γ1)W1
j=19 URPQC(γ) はアンザッツである. URPQC(γ) を
Random Parametrized Quantum Cir-
cuit (RPQC)
Wj はパラメータを持たない量子ゲートとし, Uj (γj ) は
Vj2 = I を満たすエル ミート Vj を用いて, Uj (γj ) := exp [−iγj Vj ]78 orblem-agnositc アンザッツとは,
解きたい問題に関する前提知識を用いずに
設計された汎用的 なアンザッツのことをいう
一方で, problem-inspired アンザッツとは,
解きたい問題に関する前提知識を
組 み込んで設計されたアンザッツ87 量子ビットトポロジーを持つ量子コンピュータ上の
Hardware Efficient アンザッツ の例として,
隣接している量子ビット間でのみ
2 量子ビットゲートが作用している
アンザッ ツが挙げられる一般的に
定義したアンザッツ URPQC (γ) 987 変分量子アルゴリズム
• RZ(−φ) RY (−θ)
(a) A ゲート A (θ, φ) の RY ゲート, RZ ゲート, CNOT ゲートによる分解.
(b) 粒子数保存アンザッツ. A ゲートを繰り返し用いる
A ゲートと粒子数保存アンザッツの構造.
RY (θ) RZ(φ) •
A (θ0,0, φ0,0)
A (θ1,0, φ1,0)
A (θ2,0, φ2,0)
A (θ0,2, φ0,2)
A (θ1,2, φ1,2)
A (θ2,2, φ2,2)
A (θ0,1, φ0,1)
A (θ1,1, φ1,1)
A (θ2,1, φ2,1)6 粒子数とは, 量子状態の計算基底による表示において,
1 が立っている量子ビッ トの個数のことで,
古典コンピュータでいう popcount に対応する量
|0111⟩ の粒子数は 336 前提知識によってアンザッツで表現すべき量子状態の粒子数が
既にわかっている場合には, 粒子数保存アンザッツは有用
粒子数保存アンザッツを用いた
変分量子アルゴリズムのアンザッツ665 アンザッツの性質の指標として, エンタングルメント容量表現力表現度という
量が提案されている n 量子ビット系 H に作用するアンザッツ U : Γ → U (2n)87 アンザッツ U (γ) を量子状態 ρ ∈ S (H) に作用させることで,
量子状態 U (γ) ρU (γ)† を得ることができる. γ を
様々な値に変化させることで, U (γ) は
様々なユニタリ演算子となりうるので, U (γ) ρU (γ)† は
また様々 な量子状態874 γ が Γ の中の様々な値をとりうるという意味で分布 ν*2を持つ
Γ-値確率変 数と見なすことにすると, U (γ) もまた確率変数と
見なすことができる 一方で, U (2n) 上の “一様分布”7841 アンザッツ U : Γ → U (2n) は連続であると仮定する.
この仮定は合理的である. というのも, 変分量子アルゴリ
ズムに用いられる多くのアンザッツは, 回転ゲートと
パラメータを持たないゲートから成るので,
U (γ) の行列表示の各成分は, γ1, γ2, . . . , γNp に依存する
三角関数たちの線型和, つまり連続関数5 U (γ) の各成分が連続なので, ボレル可測，
つまり確率変数であるさらに, U (γ) の各成分が
確率変数ならば, U (γ) も確率変数987 変分量子アルゴリズム 34
ハール分布に従う確率変数 V を考えてみると,
V ρV † はユニタリ時間発展によって作り出せる
全ての量 子状態9854 確率変数 U (γ) と確率変数 V の差に対応する量として,
線型写像 A(t) : L (H⊗t) → L (H⊗t) を U(γ),ν
A(t) (·):= U(γ),ν
リ t - デザインであるという*5. そして, A(t) U(γ),ν
を用いて, 入力 X ∈ L (H) に対して, アンザッツ U (γ) の表
現力 ε(t) U(γ),ν
(X) を
⊗t μH(dV)V⊗t(·) V† −
⊗t ν(dγ)U(γ)⊗t(·) U(γ)† (4.3)
U(2n)98 t は自然数,
ν はアンザッツのパラメータ γ の分布,
μH はユニタリ群 U (2n) 上のハール
測度とした. 任意の X ∈ L (H⊗t) に対して
A(t) (X) = 0 であるとき, U (2n)-値確率変数 U (γ) はユニタ U(γ),ν
( t )98 シャッテン p - ノルムとした*6.
⊗ t X
( t )
εU(γ),ν (X) := AU(γ),ν
(4.4)54 アンザッツの表現力 ε(t) (X) は,
一般化フレームポテンシャルという量と
関係づけられる [39]. アンザッ U(γ),ν
ツ U (γ) とそのパラメータ γ の分布 ν,
X ∈ L (H) に対して, 一般化フレームポテンシャルを,t
F(t) (X) := ν (dγ) ν (dγ′) Tr XU (γ′)† U (γ) X†U (γ)† U (γ′)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
U(γ),ν98 U (2n)-値確率変数 U (γ) が,
ハール分布 μH に従うとき,
U(2n) とする. すると, X ∈ L (H) に対して,
が成り立ち, アンザッツの表現力 ε(t) U(γ),ν
F(t) U(γ),ν
U(2n)
(X) − F(t) (X) ≥ 0 H
F(t) (X) := H
t μH (dV ) μH (dW)Tr XW†V X†V †W
ΓΓ
Γ
(X) と一般化フレームポテンシャルとの関係は,
2 アンザッツの表現力は, A(t)
U(γ),ν
ε(t) U(γ),ν
(X) =
F(t) (X) − F(t) (X) U(γ),ν H
への入力 X に依存する量だった. そこで, 入力に依らない
アンザッツの表現力を定義874 2 つの線型写像 L (H⊗t) → L (H⊗t), μ (dV ) V ⊗t (·) V †⊗t
U(2n) H
と ν(dγ)U(γ)⊗t(·)U(γ)†⊗t の差を,
アンザッツの表現力として採用する.
一般に, 2つの線型写像3265 変分量子アルゴリズム
オプティマイザーがパラメータを更新していく様子.
パラメータ更新を繰り返すことで, コスト関数 C (γ) の最小 点を求める.
L (H1) → L (H2) 同士の差を定量化するノルムとして,
ダイアモンモンドノルム ‖·‖⋄ という量が知られ
アンザッツ U (γ) の表現力 ⋄ε(t) 98 アンザッツ U (γ) の表現力 ε(t)
U(γ),ν
εU(γ),ν := AU(γ),ν⋄ (4.9) (X), ⋄ε(t) は,
最も表現能力のあるユニタリ V との差として定義した
U(γ),ν⋄(t) (t)
U(γ),ν621 表現力の値が小さいほど, アンザッツがより豊かな
表現能力を持つという点に注意しなければならない.
以後, 本論文では表現力と表現能力を厳密に使い分ける.
4.1.3 オプティマイザーとは, 関数の最小点を求める
アルゴリズムのことをいう. 多くのオプティマイザーは,
関数のパラメータの更新を繰り返すことで関数の最小点0.021 第 t 回目のパラメータ更新を 第 t イテレーションと呼び,
第 t イテレーションにおけるパラメータの値を γ(t) と書く.
変分量子アルゴリズ ムでは, 量子コンピュータ上で
計算したコスト関数の値やその勾配の値をもとに,
古典コンピュータ上でパラ メータの更新69 オプティマイザーは, コスト関数の 1 階微分や 2 階微分の情報,
つまり勾配の情報を用いるオプティマイ ザーとコスト関数の
勾配の情報を用いないオプティマイザー84 確率的勾配降下法が挙げられる. 一方, コスト関数の勾配の
情報を用いないオプティマイザーとして, Nelder-Mead
COBYLA (Constrained Optimization By Linear Approximation optimizer)
SPSA (Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation)
ベイズ最適化 逐次最小化アルゴリズム954 逐次最小化アルゴリズムと Rotoselect は,
変分量子アルゴリズムのコスト関数に特化した
オプティマイ ザーである.
ダイアモンドノルム変分量子アルゴリズム
変分量子アルゴリズムにおける確率的勾配降下法と
逐次最小化アルゴリズム41 確率的勾配降下法変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配を
いかにして計算するかを述べる. パラメータ γ の第 j 成 分 γj に
関するコスト関数 (4.1) の勾配は,
∂C(γ) ∂⟨Oi⟩γ ∂fi(x) ∂γ = ∂γ ∂x
(4.10)
j i j
x=⟨Oi⟩γ54 Oi⟩γ := Tr OiU (γ) ρiU (γ)† この勾配を計算するには,
各 i に対して, ⟨Oi⟩γ と ∂γj ⟨Oi⟩γ を計算すれば良い.
⟨Oi⟩γ は, 量子状態 ρi にアンザッツ U (γ) を作用させて,
物理量 Oi を測定654 ∂γj ⟨Oi⟩γ は, 例えば差分法を用いることで
近似的に求めることができる.
ア ンザッツの構造によっては, パラメータシフトルール と呼ばれる方法で
∂γj ⟨Oi⟩γ を正確369 URPQC (γ) をとり,
いかにして ∂γj ⟨Oi⟩γ をパラメータシフ
トルールによって求めるかを述べる.
このとき, ⟨Oi ⟩γ = Tr Oi URPQC (γ ) ρi URPQC (γ )†
実数 a1, a2 a3 を用いて,
⟨Oi⟩γ = a1 sin2γj + a2 cos2γj + a3 レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
