等身大ぬいぐるみ ラブドール 6
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
3.2 (アダマールゲート, 位相ゲート, T ゲート) アダマールゲート H, 位相ゲート S, T ゲート T はそれ
H := √1 (|0⟩⟨0| + |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0| − |1⟩⟨1|) = √1 1 1
(3.8)
(3.9) (3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
2
2 1 −1
S:=|0⟩⟨0|+i|1⟩⟨1|= 1 0 0i
T:=|0⟩⟨0|+eiπ4 |1⟩⟨1|= 1 0 0 eiπ465 3.3 (回転ゲート) 回転ゲート RX , RY , RZ は定義される.
cosγ RX(γ):=e−iγX/2 =cosγ2I−isinγ2X= 2γ −i sin 2
−isinγ γ2
cos 2
cosγ −sinγ RY(γ):=e−iγY/2 =cosγI−isinγY = 2 2
2 2 sinγ2cosγ2
RZ(γ):=e−iγZ/2 =cosγI−isinγZ=e−iγ/2 0 2 2 0 eiγ/2
3.2.2 多量子ビットゲート69 多量子ビットゲートとは, n (≥ 2) 量子ビットに作用する
ユニタリ演算子 U のことである. 多量子ビットに
作用する多量子ビットゲート U は, 量子回路図上で /U/
のように描かれる. n ビットの初期状態 |ψ0⟩ に対して
量子ゲート U を作用させた結果, n ビットの状態が |ψ1⟩ に
変化したこと
|ψ1⟩ = U |ψ0⟩ (3.14)69 量子回路 を表現するとき,22 |ψ0⟩ / U / |ψ1⟩
多量子ビットゲートでは, 単一量子ビットゲートにはない
制御演算と呼ばれる演算が可能である. 制御演算とは,
制御量子ビットの量子状態が |1⟩ であるときに限り,
標的量子ビットに対してユニタリ演算を作用させる69 量子計算の議論において重要な制御演算の 計算基底による行列表現
3.4 (CNOT ゲート) 制御量子ビットを 1 量子ビット, 標的量子ビットを
1 量子ビットとする. 制御量子 ビットの量子状態が |1⟩ のときに限り,
標的量子ビットに X ゲートを作用させる演算を CNOT ゲート65 制御量子ビットが第 i 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットのとき,
CNOT ゲートを Cji [X] と書く. 2 量子ビットに作用する C10 [X] は,
C10 [X] = |00⟩⟨00| + |01⟩⟨01| + |11⟩⟨10| + |10⟩⟨11| = 0 0 0 1 0010
のように表され, 量子回路図上で3.5 (SWAP ゲート) 第 i 量子ビット,
第 j 量子ビットに作用する SWAP ゲート SWAPij は,
1000
0 0 1 0 SWAPij := Cji [X]Cij [X]Cji [X] = 0 1 0 0
(3.15)
1000 0 1 0 069 0001
(3.16)
SWAP ゲート SWAPij は, 第 i 量子ビットと第 j 量子ビットの状態を入れ替えるような働き
SWAP ゲートは, 量子コンピュータ上で隣接していない量子ビット間に 2 量子ビットゲートを
作用させると きに用いられる. ここでは, 図 3.1a のような量子ビットのトポロジーを持つ
3 量子ビットの量子コンピュータ上で, 隣接していない第 0 量子ビットと第 2 量子ビットに
CNOT ゲート C20 [X] を作用3.1b のように, SWAP12 で第 1 量子ビットと第 2 量子ビットの
状態を入れ替えたのち, 第 0 量子 ビットと第 1 量子ビットに CNOT ゲートを作用させ,
再び SWAP12 で第 1 量子ビットと第 2 量子ビット87 3.1: (a) のような量子ビットのトポロジーを持つ量子コンピュータ上で,
第 0 量子ビットと第 2 量子ビットに CNOT ゲート C20 [X] を作用させるには,
(b) のように SWAP ゲート3.6 (制御 U ゲート) CNOT ゲートを一般化4 制御量子ビットを 1 量子ビット, 標的量子ビットを 1 量子ビットとする
制御量子ビットの量子状態が |1⟩ のときに限り, 標的量子ビットに単一量子ゲート U を
作 用させる演算を制御 U ゲートという. 制御量子ビットが第 i 量子ビット,
標的量子ビットが第 j 量子ビットの とき, 制御 U ゲートを Cji [U]987 量子ビットに作用する C10 [U] は,
0 1 2C10 [U] = |00⟩⟨00| + |01⟩⟨01| + (I ⊗ U)|10⟩⟨10| + (I ⊗ U)|11⟩⟨11| =
のように表され, 量子回路図上でI 0 0U
(3.17)9 3.7 (トフォリゲート) 制御量子ビットを 2 量子ビット, 標的量子ビットを
1 量子ビットとする. 制御量子 ビットの量子状態が |11⟩ のときに限り,
標的量子ビットに X ゲートを作用させる演算をトフォリゲート37 制御量子ビットが第 i1, i2 量子ビット, 標的量子ビットが第 j 量子ビットのとき,
トフォリゲートを Ci1,i2 [X] と書く. 3 量子ビットに作用する C0,1 [X] は,
j2
C 0,1 [X ] = |000⟩ ⟨000| + |001⟩ ⟨001| + |010⟩ ⟨010| + |011⟩ ⟨011| 2
+ |100⟩ ⟨100| + |101⟩ ⟨101| + |111⟩ ⟨110| + |110⟩ ⟨111| (3.18)9 量子コンピュータでは, 量子ビットに対して量子ゲートを
作用させることで得た量子状態を測定することで,
計算結果を得る.単一量子ビットの測定を, 量子回路図上で
メーター記号を用いて描く. 特に断らない限り,
単一量子ビットの測定は, 計算基底による測定, つま り POVM
{|0⟩ ⟨0| , |1⟩ ⟨1|} (3.20) による POVM 測定を指す.
また, 単一量子ビットの測定結果を古典ビットの情報として
格納することを強調するとき, 量子回路図上87 2 重線の配線が古典ビット 量子回路 25 同様に,
n 量子ビットの第 i1,i2,...,ik (0 ≤ i1 < i2 < ··· < ik < n)
量子ビット測定は,I⊗i1 ⊗|j1⟩⟨j1|⊗I⊗i2−i1−1 ⊗|j2⟩
⟨j2|⊗···⊗|jk⟩⟨jk|⊗I⊗n−ik−1 |jl ∈{0,1}, l=1,2,...,k(3.21) による
POVM 測定を指す. 特に, n 量子ビット全てを測定する場合は,
n 量子ビットの計算基底による測定65 3.4 雑音量子コンピュータに対する雑音は,
CPTP 写像として記述できる. ここでは,
量子コンピュータに対する雑音のモデルとの例として,
ビット反転チャンネルと分極解消チャンネルを紹介する
3.4.1 ビット反転チャンネル
1 量子ビットを考える98 定義 3.8 (ビット反転チャンネル) ビット反転チャンネルを,
CPTP 写像 E : L (H) → L (H) で, A ∈ L (H)に対して,
E (A) = pA + (1 − p) XAX (3.22) なる写像87 p ∈ [0, 1] とした.定義 3.8 より, ビット反転チャンネル E は,
確率 p で始状態を保ち, 確率 1 − p で X を始状態に作用させる
雑音のモデルと理解できる.3.4.2 分極解消チャンネルn 量子ビット
H = (C2)⊗n とする i1 i2 . ik, n 量子ビットの第 i1 , i2 , . . . , ik 量子ビット測定は,
POVM量子回路 26 定義 3.9 (分極解消チャンネル)
分極解消チャンネルを, CPTP 写像 Dp : L(H) → L(H) で, A ∈ L(H) に
対して,
Dp (A) = pA + Tr [A] (1 − p) IH 2n
(3.23)(3.24)なる写像と定義
,p∈ − 1 ,1 とした. 4n −1
分極解消チャンネルの Kraus 演算子の集合は,
√ p + 1 − p M0 ∪ 1 − p Mα A ∈ L (H) に対して,
Np
N = ⃝ (Dpi ◦ Ui)
j=1
N(A)=Dp ◦U(A)
(3.25)
(3.26)
で定義する. このとき,
Np
N := ⃝ (Dpi ◦ Ui) (3.27)
j=1
N =Dp ◦U (3.28)
α̸=0
= i=0 σαi α∈{0,1,2,3}n とした.
Mα:=(α0 ,α1 ,...,αn−1 )
4n
2n n−19 分極解消チャンネルを用いて, 量子コンピュータ上の
簡単な雑音のモデルを考える. 実際の量子コンピュータ上で,
初期状態 ρ ∈ S (H) に対して量子ゲート U を作用させる際には,
U をいくつかの基本 ゲートの積 U = UNg · · · U1 9 基本ゲート Ui を量子状態 に作用させる度に Dpi が作用するという
雑音のモデル N : L (H) → L (H) を考える. すると, CPTP 写像
Ui : L(H) ∋ A → UiAUi† ∈ L(H) として, 雑音95 U: L(H) ∋ A → UAU† ∈ L(H), p := pNg ...p2p1 示して いるように,
雑音のモデル N が, ユニタリ演算 U が作用したのちに分極解消チャンネル Dp が
作用する雑音 のモデルと等価であることを意味している
ここで述べた 2 つの雑音のモデルの等価性は後に用いるので,
命 題という形でまとめておく.命題 3.10 Ui ∈ L(H) (i = 1,2,...,Ng) を
ユニタリ演算子とし, Ui : L(H) ∋ A → UiAUi† ∈ L(H) とする
また, Dpi (i = 1,2,...,Ng) は分極解消987 CPTP 写像 N : L(H) → L(H) を,U:=UNg ···U2U1に対して,
U:L(H)∋A→UAU†∈L(H)とし,p:=Ng piとした. i=1
導出については E.154 各ゲート Ui が作用するたびに, 分極解消チャンネル Dpi が
作用する雑音のモデル(b) ゲート UNg · · · U2 U1 が作用したのちに,
分極解消チャンネル Dp:=pNg ...p2 p1 が作用する雑音のモデル
3.2: 2 つの雑音のモデル (a), (b) は等価69 3.5 QiskitQiskit は, IBM 社が中心となって開発を行っている,
量子回路による量子計算のためのオープンソースの
Python 用 SDKQiskit を用いて量子回路を作成し,
シミュレータや実機を用いてQiskit では, 量子回路を
QuantumCircuit オブジェクト78 QuantumCircuit オブジェク トは, 量子ビットに対応する
QuantumRegister オブジェクトや測定結果を保存する
古典ビットに対応 する ClassicalRegister オブジェクトを
コンストラクタの引数にとり初期化695 初期化した QuantumCircuit オブジェクトに,
量子ゲートや測定の操作をメソッドによって追加していき,
所望の量子回 路を得る. 図 3.3a にベル状態を生成し
全ての量子ビットを測定する量子回路を作るための
サンプルコードを 示し, 量子回路図541 Qiskit では, 雑音のない場合だけでなく自ら定義した雑音のモデルの下でも,
作成した量子回路をシミュ レータによって計算することができる
計算結果を double の精度で状態ベクトルや密度演算子として得る
シ ミュレータや有限回の測定まで考慮に入れた計算を行うシミュレータがある
測定回数が ∞ 回のシミュレータQiskit では, 作成した量子回路を
IBM 社が開発している超伝導型量子コンピュータ801 CPTP 写像 N : L(H) → L(H) を,U:=UNg ···U2U1に対して,
U:L(H)∋A→UAU†∈L(H)とし,p:=Ng piとした. i=1
導出については E.15487 各ゲート Ui が作用するたびに, 分極解消チャンネル Dpi が
作用する雑音のモデル(b) ゲート UNg · · · U2 U1 が作用したのちに,
分極解消チャンネル Dp:=pNg ...p2 p1 が作用する雑音のモデル
3.2: 2 つの雑音のモデル (a), (b) は等価659 Qiskit の transpile モジュールによって,
ibm lagos の量子ビットトポロジーの下,
トフォリゲートを基本ゲート
√
R Z ( π2 )
R Z ( π2 )
R Z ( π4 )
R Z ( π4 ) • • • R Z ( π4 ) • (b) 分解後のトフォリゲート
X, RZ, CNOT に分解した. (a) に示したサンプルコードに
よって分解されたトフォリゲートの量子回路図 を (b) 6598 分量子アルゴリズム NISQ デバイスを用いた代表的なアルゴリズムである
変分量子アルゴリズム (Variatonal Quantum Algorithm, VQA)
4.3 では, 変分量子アルゴリズムの抱えるバレンプラトー最適化問題,
つまり関数の最小化問題へ とマッピングする. 最小化すべき関数 C (γ) のことを
コスト関数という. ここで, コスト関数 C (γ) は, パラ メータ γ に依存541 量子ゲート U (γ) を用いて定義される. パラメータに依存する量子ゲートを
アンザッツ という. 変分量子アルゴリズムでは, 量子コンピュータを用いて
コスト関数の値や勾配の計算 を評価することと, 古典コンピュータを用いて
コスト関数を最小化するようにパラメータをアップデートする
交互に繰り返し行うことで, コスト関数の最小点を求める
コスト関数の最小点を探索するアル ゴリズムをオプティマイザー
変分量子アルゴリズムにおけるコスト関数,
アンザッツ, オプティマイザー4.1.1 コスト関数6321 変分量子アルゴリズムの最初の一歩は, 解きたい問題を数理最適化問題に
マッピングする, つまりコスト関 数を定義することである.
数理最適化問題では, 解きたい問題の解の候補を Γ ⊂ RNp 上の点として表現する.
コスト関数は, 解きたい問題の解が最小値に対応するように定義された関数で,
解と解の候補の差を定量的に 表現する関数 Γ → R である.
したがって, コスト関数を最小化するようなパラメータ γ 6 変分量子アルゴリズムにおける, 量子古典ハイブリッドループ
量子コンピュータを用いたコスト関数値や勾配の 評価と,
古典コンピュータを用いたパラメータのアップデートを
交互に繰り返し行うことで, コスト関数の最小点000 変分量子アルゴリズムのコスト関数は, C(γ)= fi Tr OiU(γ)ρiU(γ) (4.1)i
の形で定義される. ここで, 各 Oi は物理量, 各 ρi は入力状態, fi は
R → R の関数, U (γ) はアンザッツであ
る. 変分量子アルゴリズムでは, コスト関数を量子状態 ρi や
量子的な操作 U (γ) を用いて定義することで,
古 典コンピュータ上では計算不可能なコスト関数を
計算654 変分量子アルゴリズムのコスト関数が満たすべき条件として,
次の 4 点が提案されている
(C1) コスト関数の最小点が解きたい問題の解に対応する.
(C2) コスト関数の値が小さい点ほど良い解に対応する.
(C3) コスト関数の値や勾配は, 量子コンピュータ上の測定と
必要があれば測定後の後処理を古典コンピュータに
よって効率的に計算できる.
(C4) コスト関数の最小点は効率的987 (C1), (C2) は, 変分量子アルゴリズムに限らず, 一般の
数理最適化問題が満たすべき条件である.
量子コンピュータ上の測定とは (4.1) の
Tr OiU (γ) ρiU (γ)† の期待値計算に対応し,
古典コンピュータ上の後処理とは, (4.1) の fi (·) の
計算や i についての足し合わせ計算987 変分量子アルゴリズム
32
RZ (2γ21) RZ (2γ22) RZ (2γ23) RZ (2γ24)
0 1 2 3
0 1 2 3
RX (2γ1) RX (2γ2) RX (2γ3) RX (2γ4)
RZ (2γ5) RZ (2γ6) RZ (2γ7) RZ (2γ8)
•
•
•
RX (2γ9) RX (2γ10) RX (2γ11) RX (2γ12)
RZ (2γ13) • RZ (2γ14) • RZ (2γ15) • RZ (2γ16)
RX (2γ17) RX (2γ18) RX (2γ19) RX (2γ20)
(a)
(b)69 Np 個のパラメータを持つ量子ゲート URPQC : [0, 2π)Np → U (2n) を
URPQC (γ) =
Uj (γj)Wj = UNp
(4.2)
Np
γNp WNp ...U2 (γ2)W2U1 (γ1)W1
j=19 URPQC(γ) はアンザッツである. URPQC(γ) を
Random Parametrized Quantum Cir-
cuit (RPQC)
Wj はパラメータを持たない量子ゲートとし, Uj (γj ) は
Vj2 = I を満たすエル ミート Vj を用いて, Uj (γj ) := exp [−iγj Vj ]78 orblem-agnositc アンザッツとは,
解きたい問題に関する前提知識を用いずに
設計された汎用的 なアンザッツのことをいう
一方で, problem-inspired アンザッツとは,
解きたい問題に関する前提知識を
組 み込んで設計されたアンザッツ87 量子ビットトポロジーを持つ量子コンピュータ上の
Hardware Efficient アンザッツ の例として,
隣接している量子ビット間でのみ
2 量子ビットゲートが作用している
アンザッ ツが挙げられる一般的に
定義したアンザッツ URPQC (γ) 987 変分量子アルゴリズム
• RZ(−φ) RY (−θ)
(a) A ゲート A (θ, φ) の RY ゲート, RZ ゲート, CNOT ゲートによる分解.
(b) 粒子数保存アンザッツ. A ゲートを繰り返し用いる
A ゲートと粒子数保存アンザッツの構造.
RY (θ) RZ(φ) •
A (θ0,0, φ0,0)
A (θ1,0, φ1,0)
A (θ2,0, φ2,0)
A (θ0,2, φ0,2)
A (θ1,2, φ1,2)
A (θ2,2, φ2,2)
A (θ0,1, φ0,1)
A (θ1,1, φ1,1)
A (θ2,1, φ2,1)6 粒子数とは, 量子状態の計算基底による表示において,
1 が立っている量子ビッ トの個数のことで,
古典コンピュータでいう popcount に対応する量
|0111⟩ の粒子数は 336 前提知識によってアンザッツで表現すべき量子状態の粒子数が
既にわかっている場合には, 粒子数保存アンザッツは有用
粒子数保存アンザッツを用いた
変分量子アルゴリズムのアンザッツ665 アンザッツの性質の指標として, エンタングルメント容量表現力表現度という
量が提案されている n 量子ビット系 H に作用するアンザッツ U : Γ → U (2n)87 アンザッツ U (γ) を量子状態 ρ ∈ S (H) に作用させることで,
量子状態 U (γ) ρU (γ)† を得ることができる. γ を
様々な値に変化させることで, U (γ) は
様々なユニタリ演算子となりうるので, U (γ) ρU (γ)† は
また様々 な量子状態874 γ が Γ の中の様々な値をとりうるという意味で分布 ν*2を持つ
Γ-値確率変 数と見なすことにすると, U (γ) もまた確率変数と
見なすことができる 一方で, U (2n) 上の “一様分布”7841 アンザッツ U : Γ → U (2n) は連続であると仮定する.
この仮定は合理的である. というのも, 変分量子アルゴリ
ズムに用いられる多くのアンザッツは, 回転ゲートと
パラメータを持たないゲートから成るので,
U (γ) の行列表示の各成分は, γ1, γ2, . . . , γNp に依存する
三角関数たちの線型和, つまり連続関数5 U (γ) の各成分が連続なので, ボレル可測，
つまり確率変数であるさらに, U (γ) の各成分が
確率変数ならば, U (γ) も確率変数987 変分量子アルゴリズム 34
ハール分布に従う確率変数 V を考えてみると,
V ρV † はユニタリ時間発展によって作り出せる
全ての量 子状態9854 確率変数 U (γ) と確率変数 V の差に対応する量として,
線型写像 A(t) : L (H⊗t) → L (H⊗t) を U(γ),ν
A(t) (·):= U(γ),ν
リ t - デザインであるという*5. そして, A(t) U(γ),ν
を用いて, 入力 X ∈ L (H) に対して, アンザッツ U (γ) の表
現力 ε(t) U(γ),ν
(X) を
⊗t μH(dV)V⊗t(·) V† −
⊗t ν(dγ)U(γ)⊗t(·) U(γ)† (4.3)
U(2n)98 t は自然数,
ν はアンザッツのパラメータ γ の分布,
μH はユニタリ群 U (2n) 上のハール
測度とした. 任意の X ∈ L (H⊗t) に対して
A(t) (X) = 0 であるとき, U (2n)-値確率変数 U (γ) はユニタ U(γ),ν
( t )98 シャッテン p - ノルムとした*6.
⊗ t X
( t )
εU(γ),ν (X) := AU(γ),ν
(4.4)54 アンザッツの表現力 ε(t) (X) は,
一般化フレームポテンシャルという量と
関係づけられる [39]. アンザッ U(γ),ν
ツ U (γ) とそのパラメータ γ の分布 ν,
X ∈ L (H) に対して, 一般化フレームポテンシャルを,t
F(t) (X) := ν (dγ) ν (dγ′) Tr XU (γ′)† U (γ) X†U (γ)† U (γ′)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
U(γ),ν98 U (2n)-値確率変数 U (γ) が,
ハール分布 μH に従うとき,
U(2n) とする. すると, X ∈ L (H) に対して,
が成り立ち, アンザッツの表現力 ε(t) U(γ),ν
F(t) U(γ),ν
U(2n)
(X) − F(t) (X) ≥ 0 H
F(t) (X) := H
t μH (dV ) μH (dW)Tr XW†V X†V †W
ΓΓ
Γ
(X) と一般化フレームポテンシャルとの関係は,
2 アンザッツの表現力は, A(t)
U(γ),ν
ε(t) U(γ),ν
(X) =
F(t) (X) − F(t) (X) U(γ),ν H
への入力 X に依存する量だった. そこで, 入力に依らない
アンザッツの表現力を定義874 2 つの線型写像 L (H⊗t) → L (H⊗t), μ (dV ) V ⊗t (·) V †⊗t
U(2n) H
と ν(dγ)U(γ)⊗t(·)U(γ)†⊗t の差を,
アンザッツの表現力として採用する.
一般に, 2つの線型写像3265 変分量子アルゴリズム
オプティマイザーがパラメータを更新していく様子.
パラメータ更新を繰り返すことで, コスト関数 C (γ) の最小 点を求める.
L (H1) → L (H2) 同士の差を定量化するノルムとして,
ダイアモンモンドノルム ‖·‖⋄ という量が知られ
アンザッツ U (γ) の表現力 ⋄ε(t) 98 アンザッツ U (γ) の表現力 ε(t)
U(γ),ν
εU(γ),ν := AU(γ),ν⋄ (4.9) (X), ⋄ε(t) は,
最も表現能力のあるユニタリ V との差として定義した
U(γ),ν⋄(t) (t)
U(γ),ν621 表現力の値が小さいほど, アンザッツがより豊かな
表現能力を持つという点に注意しなければならない.
以後, 本論文では表現力と表現能力を厳密に使い分ける.
4.1.3 オプティマイザーとは, 関数の最小点を求める
アルゴリズムのことをいう. 多くのオプティマイザーは,
関数のパラメータの更新を繰り返すことで関数の最小点0.021 第 t 回目のパラメータ更新を 第 t イテレーションと呼び,
第 t イテレーションにおけるパラメータの値を γ(t) と書く.
変分量子アルゴリズ ムでは, 量子コンピュータ上で
計算したコスト関数の値やその勾配の値をもとに,
古典コンピュータ上でパラ メータの更新69 オプティマイザーは, コスト関数の 1 階微分や 2 階微分の情報,
つまり勾配の情報を用いるオプティマイ ザーとコスト関数の
勾配の情報を用いないオプティマイザー84 確率的勾配降下法が挙げられる. 一方, コスト関数の勾配の
情報を用いないオプティマイザーとして, Nelder-Mead
COBYLA (Constrained Optimization By Linear Approximation optimizer)
SPSA (Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation)
ベイズ最適化 逐次最小化アルゴリズム954 逐次最小化アルゴリズムと Rotoselect は,
変分量子アルゴリズムのコスト関数に特化した
オプティマイ ザーである.
ダイアモンドノルム変分量子アルゴリズム
変分量子アルゴリズムにおける確率的勾配降下法と
逐次最小化アルゴリズム41 確率的勾配降下法変分量子アルゴリズムのコスト関数の勾配を
いかにして計算するかを述べる. パラメータ γ の第 j 成 分 γj に
関するコスト関数 (4.1) の勾配は,
∂C(γ) ∂⟨Oi⟩γ ∂fi(x) ∂γ = ∂γ ∂x
(4.10)
j i j
x=⟨Oi⟩γ54 Oi⟩γ := Tr OiU (γ) ρiU (γ)† この勾配を計算するには,
各 i に対して, ⟨Oi⟩γ と ∂γj ⟨Oi⟩γ を計算すれば良い.
⟨Oi⟩γ は, 量子状態 ρi にアンザッツ U (γ) を作用させて,
物理量 Oi を測定654 ∂γj ⟨Oi⟩γ は, 例えば差分法を用いることで
近似的に求めることができる.
ア ンザッツの構造によっては, パラメータシフトルール と呼ばれる方法で
∂γj ⟨Oi⟩γ を正確369 URPQC (γ) をとり,
いかにして ∂γj ⟨Oi⟩γ をパラメータシフ
トルールによって求めるかを述べる.
このとき, ⟨Oi ⟩γ = Tr Oi URPQC (γ ) ρi URPQC (γ )†
実数 a1, a2 a3 を用いて,
⟨Oi⟩γ = a1 sin2γj + a2 cos2γj + a3 γ の第 j 成分 γj をそれぞれ γj ± π/4 に置き換えたものを γ±
∂ ⟨Oi⟩γ = ⟨Oi⟩γ+ − ⟨Oi⟩γ− (4.12) ∂γj
を得る. つまり, 量子状態 ρi に
アンザッツ U (γ±) を作用させて,
物理量 Oi を測定して得られた結果 ⟨Oi⟩γ± から ∂γj ⟨Oi ⟩γ を
正確に計算654 ⟨Oi ⟩γ± を有限回の物理量の測定によって推 定するので,
その真の値を得ることはできず, 統計誤差が生じることに注意しておく.
このように ∂γj ⟨Oi⟩γ を 計算する方法をパラメータシフトルール25 URPQC (γ) のような構造を持つアンザッツの構造 に関する
パラメータシフトルールを考えたが, より一般的なアンザッツの構造に対する
パラメータシフトルー ル26 勾配の情報を用いる代表的なオプティマイザーの 1 つとして,
勾配降下法が挙げられる. 勾配降下法とは, コ スト関数のパラメータを
γ(0) に適当に初期化した後
γ(t+1) ← γ(t) − α∇C(γ(t)) (4.13)
のように, 勾配方向にパラメータの更新を行うことを
何度も繰り返すことで, コスト関数の最小点を求める
ア ルゴリズムである
α ∈ R を学習率という. 上述したように,
変分量子アルゴリズムにおけるコスト関
は, γj に依らない (4.11)5241 変分量子アルゴリズム 37
数の勾配の評価では, 有限回の物理量の測定によって
∇C γ(t) を推定していることに注意しなければならな い.
このように, コスト関数の勾配の値を推定する勾配降下法を
一般に確率的勾配降下法54 学習率 α はイテレーション t に依らない定数としていたが,
Adam オプティマイザー のように, 学習率 α を
イテレーション t ごとに更新させることで,
オプティマイザーの収束性を向上54 コスト関数が, 4.2 で述べる変分量子固
有値ソルバーや Fixed input state compiling と
呼ばれる変分量子アルゴリズムのように,
CRPQC (γ) = Tr OURPQC (γ) ρURPQC (γ)† (4.14) URPQC (γ)
この設定の下, パラメータ γj に
注目してコスト関数の解析的な性質
第 t イテレーションにおけるコスト関数の値 C おいて
, γj 以外のパラメータを固定した関数
RPQC
γ(t)に (4.15)
は, γ
C(t) (γj ) := CRPQC (γ)| (t) j γj′=γj′
に依らない実数 a(t), a(t), a(t) を用いて, j 123
′
C(t) (γ ) = a(t) sin2γ + a(t) cos2γ + a(t) jj1j2j3
(4.16) 実数 a(t), a(t), a(t) は, C(t) (γ ) の独立な
3 点の値から計算できる. 例えば, 独立な
123 jj3点として,γ(t),γ(t)+π,γ(t)−π を選べばよい.
すると,C(t)(γ )=a(t)sin2γ +a(t)cos2γ +a(t) は簡単
jj4j4 jj1j2j3 98 コスト関数のあるパラメータ γj について注目してみれば,
C(t) (γj) の最小点を求めることができる.
この最小点を求めるステップを, 注目する j
パラメータ γj の添字 j を変化させて何度も繰り返すことで,
コスト関数の最小点を探索するアルゴリズムを
逐次最小化アルゴリズム54 変分量子アルゴリズ ムのコスト関数を, より一般に
C (γ) = Tr OU (γ) ρU (γ)† (4.17) とし,
第 t イテレーションにおけるコスト関数の値 C γ(tにおいて,
γj 以外のパラメータを固定した関数を
C(t) (γj) とする. 逐次最小化アルゴリズムでは,
パラメータの添字 j を変化させて C(t) (γj) の最小点を求め jj
(j ̸=j)32 |ψ (γ)⟩ = U (γ) |ψ0⟩ は, 初期状態 |ψ0⟩ に
アンザッツ U (γ) を作用させて得られる量 子状態で, 試行状態という.
試行状態は n スピン系の量子状態であるから, 2n 次元の複素内積空間の
単位ベク トルで表現される. 試行状態を愚直に古典コンピュータ上で
表現するには O(2n) ビットが必要であるが, 量子 コンピュータ上であれば
n 量子ビット65 変分量子固有値ソルバーでは, 古典コンピュータ上で は表現しきれない程に
次元の大きい複素内積空間の試行状態から基底状態を探索することができよう.
4.2.2 Fixed input state compiling
Fixed input state compiling (FISC) とは,
n 量子ビットの状態 |ψ0⟩ に作用する V と同等の計算を行う量 子ゲートを求める
変分量子アルゴリズムである [22]. すると, U (γ) をアンザッツすれば, FISC の目的は
コスト関数 Cglobal (γ) = −F 理量
V |ψ0⟩ , U (γ) |0⟩
を最小化65 関数は, 物V |ψ0⟩ = U (γ) |0⟩⊗n (4.21)
を満たす γ を求めることにある.
2 つの量子状態 V |ψ0⟩, U (γ) |0⟩⊗n 間の近さは,例えば,
忠実度 F V |ψ0⟩ , U (γ) |0⟩⊗n987 (4.21) を近似的に満たす U (γ) を求めるには,
忠実度を最大化する γ を求めればよい. これは,
⊗n2
Oglobal :=−(|0⟩⟨0|)⊗n (4.22)
を用いて, Cglobal (γ) = Tr [Oglobal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] と書ける
|ψ (γ)⟩ := U (γ)† V |ψ0⟩ とした. Cglobal (γ) は, |ψ (γ)⟩ の
n 量子ビット全てを測定して |0⟩⊗n を得る確率に, −1 をかけることで得られる.
し たがって, Cglobal (γ) は −1 以上 0 以下の値をとりうる.
FISC では, Cglobal 以外のコスト関数847 物理量 Olocal を, n−1
Olocal :=−n
I ⊗|0⟩⟨0|⊗I
(4.23)
1 ⊗j ⊗n−j−1
j=0
として, FISC のコスト関数を
Clocal (γ) = Tr [Olocal |ψ (γ)⟩ ⟨ψ (γ)|] 9 Clocal (γ) は, −1
以上 0 以下の値をとり, γ が (4.21) を満たすときにのみ最小値 −1 をとる.
Clocal (γ) は, |ψ (γ)⟩ の第 j 量 子ビットのみを測定して |0⟩ が得られる
確率の, j = 0, 1, . . . , n − 1 に対する平均に −1 変分量子アルゴリズム 38
Algorithm 1 逐次最小化アルゴリズム
Require: コスト関数は, (4.14) で定義した CRPQC (γ) とする.
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
パラメータの初期値 γ(0) を定める. while t < tmax do
for j = 1,2,...,Np do for j′ = 1,2,...,Np do
if j′ = j then
C(t) γ(t) , C(t) γ(t) + π , C(t) γ(t) − π を推定し,
a(t), a(t), a(t) を求める. jjjj4jj4 123
γ(t+1) ← arg min a(t) sinγ + a(t) cosγ + a(t) j 1j2j3
else
(t+1) γj′
10: end if 11: end for 12: t←t+1 13: end for
14: end while
← γj′654 変分量子アルゴリズム 41バレンプラトーを引き起こす量子ビット数 n の
変分量子アルゴリズムにおいて, 必要な物理量の測定回数 Ntotal
勾配の情報を用いるオプティマイザー (gradient descent) に限らず,
勾配の情報を用いないオプティ マイザー (Nelder-Mead, Powell, COBYLA) についても,
量子ビット数に対して指数的に多くの物理量の測定5487 量子ビットの数 n に対して O (log n) 程の深さの Alternating Layerd Ansatz という
クラスのア ンザッツを用いた変分量子アルゴリズムについては, (4.22) で定義した
Oglobal のように全ての量子ビットに 作用するような物理量 O を用いる場合には
バレンプラトーが起こる一方で, (4.23) で定義した Olocal ように 一部の量子ビットに
作用するような物理量 O を用いる場合にはバレンプラトーが起こらないことが示されて いる
バレンプラトーが起こらないアルゴリズムの例として, 量子畳み込みニューラルネットワー クや
アンザッツがツリーテンソルネットワーク構造を持つ量子ニューラルネットワーク
バレンプラトーの影響を軽減するためのアルゴリズムも提案され始めている
パラメータの一部をランダムに初期化し, 残りのパラメータをアンザッツが恒等演算子と
なるように選ぶパラ メータ初期化の手法である
アンザッツのパラメータを層ごとに最適化 変分量子アルゴリズムにおける
逐次最小化アルゴリズムの疑似コード.
ることを繰り返す. そのアルゴリズムの
変分量子アルゴリズムを NISQ デバイ ス上で
実装するためには, アンザッツを U (γ) = UNg UNg −1 . . . U2U1 の
ようにハードウエア上で実装可能な 基本ゲートに分解する必要があった.
そこで, NISQ デバイスへの雑音のモデルとして, (3.25) で定義した
Np
N = ⃝ (Dpi ◦ Ui) (4.18)
j=198 Dpi (pi ∈ (0, 1]) は
分極解消チャンネルとし た. この雑音のモデルに対して,
逐次最小化アルゴリズムが剛健であることを裏付ける
次の定理 4.1 定理 4.1 (4.17) で定義したコスト関数 C (γ) を考える. (4.18) で
定義した雑音のモデル N の下で計算される コスト関数を C ̃ (γ) とする.
このとき, 物理量の期待値の推定のための測定回数が無限回であならば,
任意の 自然数 t に対して, 逐次最小化アルゴリズムによって求めた
第 t イテレーション後の C (γ) の最適点と C ̃ (γ) 9 Algorithm 2 一般的な逐次最小化アルゴリズム Require:
コスト関数は (4.17) の形で表される.
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:
10: 11: 12: 13:
パラメータの初期値 γ(0) を定める. while t < tmax do
for j = 1,2,...,Np do for j′ = 1,2,...,Np do
if j′ = j then
γ(t+1) ← arg min C(t) (γj)
else
(t+1) γj′
end if end for
t←t+1 end for
end while
(t) ← γj′
jj γj 一般的な逐次最小化アルゴリズムの疑似コード.
4.2 変分量子アルゴリズムの応用 4.2.1 変分量子固有値ソルバー
変分量子固有値ソルバー (Variational Quantum Eigensolove, VQE) は,
量子系の基底状態とその固有値 (基底エネルギー) を求める
変分量子アルゴリズム9874 変分量子固有値ソルバーでは, 量子コンピュータ上で量子系を表現する必要があるので,
対象となる量子系 をスピン系にマッピングする. 例えば, ジョルダン・ウィグナー変換 や
ブラヴィ・キタエフ変換 によって, フェルミオン系をスピン系にマッピングできる.
こうして, 対象となる量子系を n スピン系にマッ ピングしたハミルトニアン H とすると,
一般にハミルトニアン H は,
(4.19)
(4.20)
n−1 3 n−1 3iiijii
H = hασα + hαβσασβ +··· i=0 α=1 i,j=0 α,β=1 定義 4.2 Γ-値確率変数 γ は一様分布に従うとする
n 量子ビットの変分量子アルゴリズムのコスト関数を
C:Γ∋γ→C(γ)∈Rとし,コスト関数CはC1 級とする
このとき,C(γ)がパラメータγj に関してバ レンプラトーで
あるとは, パラメータ γj に関するコスト関数の 1 階微分の
∂γj C (γ) の期待値が 0 で，分散が ある b > 1 を用いて
O (b−n) ∂C (γ)∂C (γ) −n Eγ ∂γ =0, Vγ ∂γ =O b
jj
定義 4.2 にチェビシェフの不等式 (補題 A.15) を
用いると, 任意の δ > 0 に対し,2ν ∂C(γ)≥δ ≤ 1E
∂C(γ) = 1V ∂C(γ) =O b−n∂γj δ2 γ ∂γj δ2 γ ∂γj
ここで, ν は γ の従う一様分布とした. (4.26) は,
Γ から一様に γ を選んだ時に, その点での γj に
関 する勾配の大きさが δ 以上である確率が,
量子ビットの数 n に対して指数625 スト関数 CRPQC (γ) がバレンプラトーか否か
定義 4.2 に基づき, γ を一様分布 ν に従う確率変数と
みなし, γj に関するコスト関数の勾配の期待値と
分散を計算する
URPQC (γ) を注 目しているパラメータ γj に
依存する部分と依存しない部分に分解して
j−1
j′=1 ∂γj C (γ) が連続であれば,
∂γj C (γ) が確率変数になる
UR (γR = (γ1,γ2,...,γj−1)) := Wj
Uj′ (γj′)Wj′ (4.27)65 V
γ
∂CRPQC (γ) ∂γj
(4n − 1)2 2 Tr[X]2
Np
UL γL = (γj+1,γj+2,...,γNp) :=
として,
URPQC (γ ) = UL (γL ) Uj (γj ) UR (γR ) 6 レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
