もうFC2PPV作品しか抜けなくなっちゃいました15
もうFC2PPV作品しか抜けなくなっちゃいました15 測度
測度とはℝにおける長さの概念の拡張
[a, b]や[a, b)の長さはb−a
ℝ上の点集合をA、その測度をm(A)とする。
0≦m(A)≦+∞、A=∅の時, m(A)=0
{Aᵢ}を共通部分の無い点集合列とする。
m(A₁+…+Aₙ+…)=m(A₁)+…+m(Aₙ)+…∪[k=1, +∞] Aᵢは直和。
m([xa, b)=b−a、
点集合A≡点集合B⇒m(A)=m(B)
aᵢ=+∞となるiが存在すれば=+∞、その他は通常の級数の値
有限集合の場合を含む
ℝ2においては面積、ℝ3においては体積である 外測度
Borel−Lebesgueの被覆定理
被覆する、被覆
A⊂∪[λ∈Λ] A_λ
開被覆、有限被覆、
開近傍U(x)、x∈A
A⊂U(x) (x∈A)、Aの開被覆
Fは有界閉集合、Fの開被覆をGλ (λ∈Λ)
すなわちF⊂∪Gλ (λ∈Λ)
有限個のGλによってFの有限被覆とできる
ハイネ−Borelの定理 Fが有限被覆不可能と仮定する
a=InfF、b=SupFとおく
[a, b]、c=(a+b)/2
[ab]=[ac]∪[cb]、F∩I₁とF∩I₂のうちの少なくとも一方は有限被覆不可能である
もし両者が有限被覆可能ならばFが有限被覆可能となり矛盾
I₁またはI₂のうちF∩Iが有限被覆不可能であるものを選びそれをI₂とおきこれを繰り返す
もしF∩Iₙ=∅ならば∀Gᵢ⊃F∩Iₙ
なのでF∩Iₙは有限被覆可能となり矛盾
[aₙ, bₙ]⊂U(α, ρ)⊂U
αは閉集合Fの触点である
α∈Fᵃ=F
区間縮小法
内核 A_λⁱ 積分は微分の逆演算ではない。
質量=密度×体積
Mₖ=m(xₖ)v(Iₖ)で近似されるので
M=芭v
mのI上の積分∫_I m(x)dx
x=∫v(t)dt=∫(dx/dt)dt=∫dx=x
測度→積分→変位
V=∫S(x)dx=∫(dV/dx)dx=∫dV=V
断面積→積分→体積
n次元で考える。n=1, 2をイメージすれば良い。線分の上の積分、閉曲面上の積分 [a, b]はb−a、[ab]×[cd]=(b−a)(d−c)
長さ、面積、体積、n次元体積
直径は最長の距離
区間の分割 ℚは標数0の体。ℚを含む任意の体ℝ、ℂ、ℚ(x)も標数0の体
𝔽ₚ=ℤ/pℤは標数pの体、𝔽ₚ(x)も
自然な環準同型φ: n→n･1∈K
Imφ⊂Kは整域
準同型定理よりℤ/Kerφ≅Imφ
Kerφ⊂ℤは素Ideal、よってKerφ=(0)、(p)である。chK
(x+y)ᵖ=xᵖ+yᵖ+ₚCₖxᵏyᵖ⁻ᵏ k=1, p-1
ₚPₖ/k! ここでk=1~p-1であり分母は素数pを因数に持たないが分子にはpが存在するのでpの倍数である
Frob_q: x→x^qは体の準同型写像
qはpの冪pⁿ。φ(xy)=φ(x)φ(y)
xy→(xy)^q=x^q y^q
(x+y)→(x+y)^q=x^q+y^q
x^(pⁿ)、Frobenius準同型 環としての準同型、同型は体としても成り立つ。単射である
部分群、部分環、部分体
拡大体
L/Kは拡大体、体の拡大
MはL/Kの中間体、K⊂M⊂L
Mは体Lに含まれ、体Kを含む体
[L: K]をLのK上のVector空間としての次元→拡大次数
有限次拡大、無限次拡大
dの時, d次拡大
ℚ→代数体、Lの整数環
K準同型全体の集合をHomₖᵃˡ(A, B)
Aの自己同型群AutᵃˡA
AのK自己同型群AutₖᵃˡA
L₂の中への同型
[ℂ: ℝ]=2、基底は{1, i}と取れる
2次拡大 dを平方因子を持たない整数とする
L=ℚ[√d]、d≠1、a+b√d∈ℂ
a, b∈ℚ、[L: ℚ]=2、ℚ上{1, √d}で張られる、√d∉ℚ、
A=K[x] 環、L=K(x) 体
K(x)/Kは無限次拡大
ℚと𝔽ₚは素体という
Kが素体⇒AutₖᵃˡL=AutᵃˡL
AのK上の基底Π[k=1, n]xₖ^iₖ
x₁ⁱ⁽1⁾x₂ⁱ⁽2⁾…xₙⁱ⁽ⁿ⁾、
これはn→∞とすれば無限にある。係数を0にして有限次の多項式や有理式を作るという手続きになっている
すなわち無限次元Vector(…, aₙ, …, a₁, a₀)において…を全て0にして有限のn次元多項式としていると考える。 